Petite taille dans $\mathbb R^n$

christophe c

Je me pose une question un peu vague qui vient de me venir en cliquant sur un autre fil sur la convexité.

En dimension1 une fonction convexe (définie partout) n'est non dérivable qu'en un nombre dénombrable de points. Par contre, ce n'est plus vrai en dimension finie quelconque (on ne s'intéresse pas à la dimension finie, disons).

Idem pour les points de discontinuité d'une fonction croissante où on ne peut même pas vraiment parler de ça en dimension $>1$. Je fixe $n$ quelconque.

Je note
$$ Petit := \{A\mid \exists f\in T: A\subset NoDer(f)\} ,

$$ où $T$ est l'ensemble des fonctions convexes définies sur $\R^n$ et $NoDer(f)$ l'ensemble des points où $f$ n'est pas différentiable.

Une droite est petite si $n=2$ par exemple.

Question : que sait-on de plus sur cette notion de petitesse ??? Est-ce que par exemple, sans l'axiome du choix, il est consistant que toute partie de $\R^n$ est régulière (en un sens spectaculaire et coolos de ce mot) à condition de modifier un "petit" nombre de ses éléments ?

Vue la vagueur (ou la vaguitude) de ce thème, je ne le numérote pas dans "il est facile de", mais si je trouve des déclinaisons formelles, je les mettrai ici.