À propos de la fonction indicatrice d'Euler
Salut.
$\varphi$ est la fonction indicatrice d'Euler.
Conjecture. Soit $n$ un nombre entier dont les diviseurs premiers sont $p_1, p_2,\ldots p_r$, alors
$$
\sum_{i=1}^{r}p_{i}^{\varphi(n)}\equiv r - 1\ [n].
$$ En plus : $\forall i\,\in\,[\![1; r]\!], \ \forall a$ entier naturel, $p_i^{\varphi(n)}\equiv (p_i^a)^{\varphi(n)}\ [n]$.
Par exemple.
$2\times3 = 6,\ \varphi(6) = 2,\ 2^2 + 3^2 = 13 \equiv 1\ [6]$.
$2^2\times3^2 = 36,\ \varphi(36) = 12,\ 2^{12} + 3^{12} = 535537 \equiv 1\ [36]$.
$2\times3^3\times7^2 = 2646,\ \varphi(2646) = 1512,\ 2^{1512} + 3^{1512} + 7^{1512} \equiv 2\ [2646]$.
En plus
$3^{1512}\equiv 27^{1512}\equiv 243^{1512}\ [2646]$.
À vérifier et donner des idées pour une éventuelle preuve.
Merci.
$\varphi$ est la fonction indicatrice d'Euler.
Conjecture. Soit $n$ un nombre entier dont les diviseurs premiers sont $p_1, p_2,\ldots p_r$, alors
$$
\sum_{i=1}^{r}p_{i}^{\varphi(n)}\equiv r - 1\ [n].
$$ En plus : $\forall i\,\in\,[\![1; r]\!], \ \forall a$ entier naturel, $p_i^{\varphi(n)}\equiv (p_i^a)^{\varphi(n)}\ [n]$.
Par exemple.
$2\times3 = 6,\ \varphi(6) = 2,\ 2^2 + 3^2 = 13 \equiv 1\ [6]$.
$2^2\times3^2 = 36,\ \varphi(36) = 12,\ 2^{12} + 3^{12} = 535537 \equiv 1\ [36]$.
$2\times3^3\times7^2 = 2646,\ \varphi(2646) = 1512,\ 2^{1512} + 3^{1512} + 7^{1512} \equiv 2\ [2646]$.
En plus
$3^{1512}\equiv 27^{1512}\equiv 243^{1512}\ [2646]$.
À vérifier et donner des idées pour une éventuelle preuve.
Merci.
Réponses
-
La première partie de la conjecture (avant le "En plus") est vérifiée pour tout entier compris entre 2 et 1000000.
À vous de vérifier qu'elle n'a pas déjà été prouvée, ou de la prouver désormais. -
Le "En plus" est vérifié pour tout $n$ compris entre 2 et 1000 et tout $a$ compris entre 1 et 1000.
À vous de vérifier qu'il n'a pas déjà été prouvé, ou de le prouver désormais. -
Bonjour,
Rien de franchement mystérieux dans ces congruences, toutes deux faciles à établir.
Voici une certification de la première, qui se contente de faire appel à: $"a\wedge m =1 \implies a^{\varphi(m)}\equiv 1 \mod m."$
Soit $n = \displaystyle \prod _{i=1}^r p_i^{a_i},\:\: \:\:p_i\:\text{premiers distincts},\:\:a_i\in \N^*.\quad$ Alors: $\quad\forall i \in [\![1;r]\!], \: \:\: \varphi(p_i^{a_i})\:\text{divise}\: \varphi(n),\:\:\:\varphi(n) \geqslant a_i.$
$\forall i,j \in [\![1;r]\!], \quad p_j^{\varphi(n)}\equiv 0 \mod p_j^{a_j},\quad i\neq j \implies p_i ^{\varphi (p_j^{a_j})}\equiv 1,\:\:\:p_i ^{\varphi (n)} \equiv 1 \mod p_j^{a_j}.\qquad \displaystyle \sum_{i=1}^r p_i^{\varphi(n)}\equiv r-1 \mod p_j^{a_j}.$
$\forall j \in [\![1;r]\!],\quad p_j^{a_j}\:\text{divise}\: \displaystyle \sum_{i=1}^r p_i^{\varphi(n)} -(r-1),\qquad \sum_{i=1}^r p_i^{\varphi(n)}\equiv r-1 \mod n.$ -
Merci @LOU16, c'est vrai que c'était pas profond.
En fait, je m'étais posé la question du comportement des diviseurs de $n$ à la puissance $\varphi(n)$. Je remarque en fait que la somme des exposants $\varphi(n)$ des diviseurs de $n$ modulo $n$ a un comportement très particulier.
Je remarque par exemple que si $n$ est un nombre semi-premier à deux facteurs différents, alors la somme des exposants $\varphi(n)$ des diviseurs de $n^2$ est égale à $3$ modulo $n$ (quels que soient les deux facteurs).
De mème pour $n$ produit de trois nombres premiers distincts, on trouve une valeur constante pour cette somme...Mais bon si ça ne se trouve pas dans la littérature (je n'ai pas cherché), peut-être il n'y a [pas] trop d'intérêt à en tirer.
PS : de mon téléphone -
Salut.
On peut énoncer des conjectures pour certaines familles de nombres entiers si la conjecture suivante que je donne après quelques calculs est vérifiée.
Conjecture :
Soient $n = \displaystyle\prod_{i=1}^{r}p_i$, les $p_i$ premiers, et $m = \displaystyle\prod_{i=1}^{r}q_i$, les$q_i$ premiers, alors :
$\displaystyle\sum_{d/n}d^{\varphi(n^a)}\bmod n^a = \displaystyle\sum_{d/m}d^{\varphi(m^a)}\bmod m^a,\quad \forall a\in\mathbb{N}$.
Cordialement. -
Salut.
Message effacé car personne n'a intervenu). La conjecture était fausse.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres