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En hommage à Leibniz

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Réponses

  • Les 1700 vues affichées au compteur m’incitent à continuer ce fil bien que j’y sois tout seul à m’exprimer.

    En suivant les instructions données par Leibniz nous avons introduit une écriture des figures de la géométrie qui a fait apparaitre quatre relations fondamentales dont la quatrième, que j’ai appelée anoptrie, nous est inconnue. Ces relations simples, visiblement indissociables et étrangement semblables sont :

    (u,v)=)u,v( ssi les vecteurs u et v sont colinéaires
    (u,v)=)v,u( ssi les vecteurs u et v sont isométriques
    (u,v)=)u,-v( ssi les vecteurs u et v sont orthogonaux
    (u,v)=)v,-u( ssi les vecteurs u et v sont anoptriques


    La relation (u,v)=)v,-u( est une véritable provocation car elle n’a pas de sens dans le plan tel que nous le concevons depuis Euclide. Je rapproche cette situation de celle que connut Descartes devant l’équation x+5=0 qui de son temps n’avait elle non plus pas de sens dans l’ensemble des réels tels qu’on les concevait à son époque et qu’il ressentit lui aussi comme une provocation. Sous les sarcasmes de ses contemporains il passa outre et calcula avec ces nombres inconnus. Nous lui en savons gré aujourd’hui car il ouvrit ainsi la voie à toutes les extensions de nombres qui ont été réalisées depuis. Suivons son exemple et voyons ce qu’on peut dire de cette relation provocante.

    L’anoptrie est à l’isométrie ce que l’orthogonalité est à la colinéarité.

    Par exemple l’orthogonalité n’est pas transitive mais si deux vecteurs sont orthogonaux à un même vecteur ils sont colinéaires entre eux. De même l’anoptrie n’est pas transitive mais on a vu que si deux vecteurs sont anoptriques à un même vecteur ils sont isométriques entre eux

    L’anoptrie est à l’orthogonalité ce que l’isométrie est à la colinéarité

    L’isométrie et la colinéarité sont à la base des deux ensembles de points fondamentaux de la géométrie euclidienne que sont la droite et le cercle. L’orthogonalité et l’anoptrie ne définissent pas de nouveaux ensemble de points mais leur non transitivité commune ramène pour l’orthogonalité à la droite et pour l’anoptrie au cercle.

    Enfin l’anoptrie est à la colinéarité ce que l’isométrie est à l’orthogonalité.

    Le lien entre l’isométrie et l’orthogonalité vient de ces deux théorèmes
    - La médiane d’un triangle isocèle le partage en deux triangles rectangles
    - La médiane d’un triangle rectangle le partage en deux triangles isocèles

    Voyons si cette ressemblance entre l’isométrie et l’orthogonalité se retrouve entre l’anoptrie et la colinéarité. Pour cela considérons un triangle anoptrique ABC de sommet A ou I est le milieu du segment BC.
    On a (AB,AC)=)AC,BA( donc (AB+AC,AB+CA)=)AC+BA,AC+AB(
    Cad (2AI,CB)=)BC,2AI( cad (2AI,2CI)=)2IC,2AI( cad (AI,CI)=)IC,AI(
    Le triangle AIC est anoptrique et évidemment pareil pour le triangle AIB.

    Conclusion : la médiane d’un triangle anoptrique le partage en deux triangles anoptriques. Or si nous convenons de dire que trois points alignés forment un triangle aplati, on peut de même énoncer : la médiane d’un triangle aplati le partage en deux triangles aplatis énoncé effectivement copie conforme du précédent.

    L’anoptrie se révèle donc compatible, cohérente et complémentaire des trois autres relations fondamentales de la géométrie euclidienne. Reste a trouver son interprétation pratique !
  • Réponse a Swingmustard

    C'est en essayant de poster le précédent message que j'ai réalisé qu'il fallait passer à la page 2 et que j'ai découvert ton message dont je te remercie tardivement.

    Tu as raison dans tes observations et en particulier pour les arguments d'autorité. Mais vu le silence assourdissant de ce forum il se trouve que Einstein Poincaré et Descartes sont les seuls appuis que j'ai eu pour le moment.

    Par contre le fait que les vues augmentent sans cesse (on dépasse les 1800 !!!) montre que ce sujet intéresse les visiteurs. Le défi de trouver une interprétation a l'anoptrie est bien lancé.

    Pour mon sujet précédent les Hexamys ça a été pareil. Personne ne m'a jamais rien dit mais je vois qu'ils se sont répandus a l'université et même sur les sites anglophones. Ainsi est le monde des scientifiques et il faut bien s'y faire.

    En tous les cas merci de ton message et surtout merci de trouver les Bivecteurs Sympathiques

    Cordialement

    RP
  • Bonjour.

    "Par contre le fait que les vues augmentent sans cesse (on dépasse les 1800 !!!) montre que ce sujet intéresse les visiteurs" : Non. Je regarde pratiquement tous les nouveaux messages, même si le sujet ne m'intéresse pas. Donc sur les 1800, tu as une bonne vingtaines de vues de ma part, pour rien.

    Quand un sujet intéresse, les participants envoient des messages.

    Cordialement.

    NB : Ne compte pas ce message comme un signe d'intérêt. Juste une politesse.
  • Bonsoir, Pouzergues,
    Pour corroborer ce qu'a écrit gérard0, j'ai regardé moi aussi ce fil, une dizaine ou une quinzaine de fois, mais j'avoue que tout cela reste très hermétique pour moi, qui suis bien loin d'avoir la culture mathématique des intervenants habituels ...
    Ce sont plus des visites de courtoisie un peu curieuse qu'autre chose, parce que je n'ai absolument pas les moyens de discuter tes propositions ... Tout ce que je puis en dire, c'est que ce formalisme me paraît vraiment trop concis, trop "désincarné", pour être aisément utilisable ... Quant à cette notion d'anoptrie, je ne vois pas ce qu'elle peut apporter à la compréhension de la géométrie, mais je reconnais là mes limites ...
    Bien cordialement
    JLB
  • Bon, merci beaucoup. Par les chaleurs actuelles cette douche froide est peut être salutaire.

    Laissons donc tomber Leibniz et l'écriture des figures si, contrairement à ce que je croyais en me fiant au compteur de vues, au lieu d'intéresser elle importune sur le forum.

    Cordialement

    R P
  • Non, elle n'importune pas. Mais je voulais t'éviter de prendre des vessies pour des lanternes.

    Cordialement.
  • Non, Pouzergues, ce n'est pas "importun", de mon point de vue, et ce n'est pas totalement inintéressant, mais simplement, je pense que pour la plupart des intervenants, ça ne fait pas partie de leurs centres d'intérêt ...
    D'ailleurs, au début de ce fil, Jean-Louis Ayme t'avait signalé qu'à son avis (autorisé, s'il en est !), ce que tu proposes est une curiosité académique, peu susceptible d'intéresser un large public ...
    C'est un peu triste, j'en conviens, mais que veux-tu, on ne peut pas toujours taper dans le mille !
    Et tes hexamys, ça tourne toujours aussi bien ?
    Bien amicalement
    JLB
  • Bonjour à tous
    J'ai eu l'idée de parcourir le forum et j'y ai appris des trucs fort intéressants. En voici un petit aperçu.

    - C'est beaucoup plus varié que je le pensais et sur ce forum il y a un peu de tout. Par exemple je suis allé dans "Histoire des Mathématiques" et j'ai participé au fil "Histoire des nombres négatifs". Plusieurs parlent d'addiction et je les comprends car moi aussi je n'arrive pas à vous quitter.

    - Sur ce forum de Géométrie j'ai vu qu'il y a différentes pointures. Les plus grandes m'ont fait l'honneur au début de participer à ce fil mais l'ont définitivement classé depuis longtemps. Les sujets qui nous intéressent ne sont effectivement pas les mêmes. J'ai un immense respect pour ce qui les intéressent et qui me passe largement par dessus la tête. Ils pourraient apporter beaucoup à l'écriture de Leibniz mais ce sujet, je l'ai déjà dit, a la poisse.

    - Mais il y a plein de visiteurs comme moi qui n'ont pas ce haut niveau et que mon sujet devrait intéresser. Alors puisque le compteur n'arrête pas de tourner (ce compteur qui ne veut rien dire, je le sais, mais un compteur c'est un compteur) je vais poursuivre.

    Laissons tomber l'anoptrie qui fait l'unanimité contre elle (c'est d'ailleurs un signe qu'elle devrait intéresser !!!).

    Revenons à l'écriture des figures. Je rappelle que cette écriture contient en elle même toutes les propriétés de la figure qu'elle définit.

    Premier challenge. On va appeler figures fondamentales de la géométrie celles qui s'expriment à l'aide d'une seule relation. On y trouve le triangle isocèle, le triangle rectangle, le triangle équilatéral et plein d'autres figures encore plus compliquées comme le quadrangle harmonique d'écriture (AB,AC)=(DB,CD). Alors que le carré ou le losange ne font pas partie des figures fondamentales.
    Le premier challenge consistera donc à lister toutes les figures fondamentales de la géométrie. Faut du courage car il y en a un paquet.

    Deuxième challenge. Le grand apport de cette écriture des figures est donc de contenir en elle même toutes les propriétés de la figure concernée. Alors le deuxième challenge va consister à prendre une écriture quelconque par exemple celle du quadrangle harmonique et de la manipuler comme on le fait avec le Rubik's cube en s'arrêtant à chaque fois aux figures intéressantes qu'elle offre puisque toutes les propriétés de la figure sont contenues dans son écriture et que, si on ne les trouve pas, ce n'est pas qu'elles n'y sont pas mais c'est qu'on a mal manipulé l'écriture de même que lorsqu'on n'arrive pas à faire des belles figures avec le Rubik's cube c'est notre faute et pas celle du cube.

    Ces deux défis sont accessibles à tous les publics même aux élèves des lycées.
    Cordialement à tous.
    RP

    [Ernö Rubik (1944- ) prend toujours une majuscule. AD]
  • Bonjour Pouzergues,
    avez-vous lu mon message privé?

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Chers fantômes

    (Les fantômes ce sont ces visiteurs qui font illusoirement monter le compteur et qui ne laissent pourtant aucune trace de leur passage)

    Donc reprenons

    Chers fantômes

    Mes cogitations m’ont amené à penser que peut être vous seriez sympathiques et plein de bonne volonté mais que vous ne voyez pas comment participer. Alors je vais changer de braquet et je vais voir si vous êtes aussi sympa que cela.

    Rappel : toute relation de la forme (u,v)=(u’,v’) ou (u,v)=)u’,v’( signifie que les rapports des normes de ces vecteurs sont proportionnelles. Et ces égalités nous donnent l’écriture des figures vainement cherchée par Leibniz.

    Pour participer, vous écrivez donc une égalité quelconque du type
    (AB,AC)=(A’B’,A’C’) ou (AB,AC)=)A’B’,A’C’(
    Vous passez dans le plan complexe pour voir ce que cela donne et vous obtenez l’écriture d’une figure de la géométrie que vous communiquez ici.

    Exemple

    Prenons par exemple l’écriture (AB,AC)=(AC,BA)
    Dans le plan complexe posons l’origine en A et posons 1 pour affixe de B ;
    il nous faut donc chercher l’affixe x+iy du point C.

    Les rapports des normes de ces vecteurs devant être proportionnels on a
    (x+iy)/1 = -1/(x+iy) cad (x+iy)²= -1 cad x²-y²=-1 et xy=0
    Si y=0 alors x²= -1 ce qui est impossible pour le réel x
    Si x=0 alors y²= 1 cad soit y=1 soit y= -1

    L’écriture (AB,AC)=(AC,BA) est donc celle du triangle rectangle isocèle ABC de sommet A

    Voila. C’est tout. Et si chacun de vous apporte l’écriture d’une figure on aura vite un dictionnaire complet des figures fondamentales de la géométrie euclidienne.

    Au nom de Leibniz qui de là-haut nous regarde je vous en remercie.


    PS: Merci Jean Louis de ton message. Je ne connaissais pas cette possibilité de message privé. J'ai bien des choses a apprendre sur ce forum !!!!!
  • Bonjour, Pouzergues,
    Pour commencer, une petite chicanerie : ne sont-ce pas plutôt les normes des vecteurs qui sont proportionnelles ? Il me semble bien que le mot "rapports" est de trop ...
    D'autre part, j'avoue avoir du mal à voir un triangle rectangle isocèle derrière l'égalité que tu proposes ... même en admettant que les paires de lettres majuscules représentent un vecteur ... C'est bien ce que je disais dans l'un de mes précédents messages : cette écriture me semble trop concise, trop hermétique (au sens étymologique !), pour être utilisable ... D'ailleurs, si Leibniz lui-même n'a pas réussi à la populariser, il y a probablement une raison, ne crois-tu pas ? Ceci dit sans aucunement vouloir te décourager !
    Curieux de nature, je continuerai à suivre cette discussion, car après tout, le manque d'utilité pratique n'enlève rien à la beauté intrinsèque de ces formules hyper-concises ...
    Bien cordialement
    JLB
  • Bizarre, bizarre : "Les rapports des normes de ces vecteurs devant être proportionnels on a
    (x+iy)/1 = -1/(x+iy) "???
    Il n'est absolument pas question ici de rapports de normes de vecteurs, mais de rapports d'affixes de vecteurs.

    Je comprends pourquoi dès le départ j'avais décroché, changer le sens des mots ne permet pas de se faire comprendre.
    J'espérais qu'un géomètre compétent viendrait expliquer ce qui se passe, visiblement ils ont été rebutés.

    Cordialement.
  • A Jelobreuil et Gerard0

    Vous avez parfaitement raison, je me suis mélangé les pinceaux et je n'ai pas utilisé les mots justes. Mais disons grosso modo que le fond de mes explications est exact.

    Maintenant je vais essayer de ne venir sur ce forum que pour voir si d'aucuns ont accepté de jouer au jeu que j'ai proposé et qui consiste a proposer l'écriture d'une figure de la géométrie.

    Si personne ne veut participer on laissera tomber ce fil.

    Si quelques uns acceptent de participer on constituera un listing des figures fondamentales (au sens de Leibniz) de la géométrie. Et cette écriture en permettra par exemple un classement si on le juge souhaitable.

    Rappelons que nous appelons figure fondamentale au sens de Leibniz une figure dont l'écriture ne nécessite qu'une seule relation bivectorielle comme par exemple celle du triangle rectangle isocèle qui est (AB,AC)=(AC,BA).

    Le défi est lancé. Si personne n'y participe (probablité 99,99%) le fil actuel sera arrêté . Donc il sera tout a fait inutile de faire tourner le compteur a vide. Ne venez donc sur ce fil que si vous apportez votre pierre à l'édifice.

    Cordialement

    RP
  • Bonjour.

    Comment saura-t-on qu'il y a de nouveaux échanges si on est interdits de venir ?

    Pardon de le dire ainsi mais vous êtes en train de programmer la mort de votre sujet alors qu'aucune raison ne le justifie.

    En ce qui me concerne, je lis ce sujet avec intérêt même si je n'y peux rien apporter et je continuerais de la sorte.

    D'ailleurs, même si le sujet est fermé, cela n'empêchera pas le compteur d'incrémenter les visites je pense.

    Cordialement.

    Cherche livres et objets du domaine mathématique :

    Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.

  • Bonjour Pouzergues et à tous,

    ce qui m'intéresse c'est la quatrième écriture...je pense que les trois premières permettent d'écrire une preuve se référant à une figure traduisant une question classique de Géométrie...
    Si j'ai bien compris, la quatrième ne peut être associée à aucune figure...Cependant, elle engendre des relations avec les autres...
    Lesquelles?
    Dans mon honnête point de vue extérieur, cette quatrième écriture ouvre un regard sur l'intériorité de la Géométrie et peut-être sur les lois de la vie et non plus de celles de l'existence...
    J'ai pour ma part développé une telle approche (que je publierai un jour) à partir d'une séquence de calcul qui m'a permis de mieux me connaître...

    Qu'en pensez-vous, Pouzergues?

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Bonjour Dreamer

    Je te comprends parfaitement. Mais d'un autre coté je ne peux pas continuer à soliloquer tout seul (redondance!!) indéfiniment. Donc faut bien trouver une solution.

    Pour résumer ce fil j'ai essayé de frapper à tous les niveaux

    Pour intéresser les débutants j'ai proposé un challenge très facile. Il faut écrire une égalité bivectorielle quelconque et voir de quelle figure du plan elle va être l'écriture. J'en connais quelques unes mais il y en a un paquet. C'est très facile a faire, c'est gratuit et ça ne rapporte rien bien évidemment.

    Pour les plus forts un autre genre de problème se pose si on accepte l'idée que l'écriture contient en elle même toutes les propriétés de la figure qu'elle définit. Par exemple si on est d'accord que l'écriture (AB,AC)=)AB,CA( est bien celle du triangle ABC rectangle en A, la question se pose de savoir comment par exemple on peut en déduire le théorème de Pythagore. Je ne sais pas faire ça. Mais sur ce forum il y a surement des membres qui en seraient capables.

    Enfin pour les plus audacieux j'ai montré que cette écriture fait apparaitre une relation mystérieuse que j'ai appelée anoptrie. De quoi éveiller la curiosité des chercheurs. Quelle peut être son interprétation graphique ? On sait que pour les complexes cette interprétation demanda beaucoup de temps. Et quand on l'aura trouvée quel domaine inconnu va t elle ouvrir? Que de questions passionnantes.

    Or rien ne marche. Le compteur parait tourner à vide. Ce sujet est sans doute pour le forum politiquement incorrect dans la mesure ou il sort des sujets classiques habituels. Ce conformisme me déçoit beaucoup.

    Cher Dreamer reconnais qu'Il y a bien de quoi se décourager.

    Cordialement

    RP
  • Bonjour.

    Non et pour une raison simple : rien ne dis qu'un intervenant régulier du forum n'est pas en train de tester formellement votre écriture.
    Certaines personnes très compétentes prennent le temps de rédiger des réponses souvent très longues et pleines de richesses.

    Ce sont des choses qui prennent du temps à être formalisées (comme je l'ai dit, j'en suis incapable, quel que soit le niveau car je n'ai pas la visualisation qui m'est nécessaire, mais cela ne concerne que moi).

    J'ai déjà vu des sujets continuer à vivoter pendant des mois* avant que quelqu'un donne des résultats, ce n'est par contre pas une garantie pour ce sujet-ci, bien évidemment.

    Ce qui est par contre sûr, c'est que si vous interdisez les consultations et faites fermer le sujet, il y a encore plus de chances qu'il ne ressorte jamais.

    Cordialement.

    *des fois, c'est même des années plus tard et c'est d'ailleurs mal vu de remonter un vieux sujet.

    Cherche livres et objets du domaine mathématique :

    Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.

  • Mon cher Pouzergues, permets-moi de te le dire, là, tu exagères !
    Qu'est-ce que tu vas chercher comme explication ! RIEN de purement mathématique ne peut être taxé de "politiquement incorrect",ou alors je ne sais plus ce que parler veut dire ! Et ce n'est pas à cause d'un hypothétique "conformisme" que la plupart de tes lecteurs ne réagissent pas ou ne veulent pas te suivre, c'est plutôt, à mon sens, qu'ils ne le peuvent pas, tout simplement, ou qu'ils n'en sentent pas l'utilité, car la vision que tu proposes de la géométrie est pour le moins, reconnais-le, assez particulière et inhabituelle ...
    Il se trouve simplement que le titre de ton sujet est suffisamment "accrocheur" pour intriguer quelque peu, et que ce sujet a eu suffisamment d'échos pour rester jusqu'à maintenant, grâce à tes messages, aux miens et à ceux des autres intervenants, dans les dix ou quinze derniers sujets modifiés, ce qui a eu pour effet de le laisser bien en vue, depuis le début et jusqu'à maintenant, sur la première page de ce sous-forum ...
    D'un autre côté, une question (un peu vicelarde ?) me vient à l'esprit : quelle est la formulation qui représente un cercle ?
    Il me vient à l'instant que c'est peut-être là, justement, que gît l'anoptrie ... ou que, tout au moins, c'est peut-être sur cette voie que s'en trouve l'explication ... Mais ce n'est de ma part qu'une émission d'idée en l'air, et je ne m'attends nullement à ce qu'il y ait quelque retombée intéressante que ce soit !
    Bien cordialement
    JLB
  • Réponse a Jean Louis

    Comme je suis probablement le doyen de ce forum on me pardonnera de tutoyer tout le monde et tutoyez moi aussi.

    Merci Jean Louis de ton message et pour être complet je le reprends et y réponds a mesure

    JL: ce qui m'intéresse c'est la quatrième écriture...je pense que les trois premières permettent d'écrire une preuve se référant à une figure traduisant une question classique de Géométrie...
    Si j'ai bien compris, la quatrième ne peut être associée à aucune figure..


    RP: C'est bien la quatrième écriture qui valorisera un jour le pressentiment de Leibniz. La 4° relation n'est effectivement associable a aucune figure du plan tel que nous le concevons depuis Euclide.

    La démonstration est facile par les complexes et pour ne pas avoir de nouveaux reproches de Gerard0 je vais essayer de faire attention mais les complexes ca fait plus de 60 ans que j'y ai pas touché

    Le triangle anoptrique (AB,AC)=)AC,BA( n'existe effectivement pas

    Posons dans le plan complexe l'origine en A, le point B d'affixe 1 et le point C d'affixe x+iy.
    L'affixe du vecteur AB est donc 1, celle de BA est -1,celle de AC est x+iy et celle du conjugué de AC est x-iy car n'oublions pas que dans l'égalité (AB,AC)=)AC,BA( le second membre est le conjugué de (AC,BA).
    Cette égalité impose l'égalité des rapports des affixes des vecteurs . Elle se traduit donc algébriquement par
    (x+iy)/1= -1/(x-iy) cad (x+iy)(x-iy)=-1 cad x²+y²=-1 qui dans R est bien sans solution.

    JL: .Cependant, elle engendre des relations avec les autres...
    Lesquelles?

    RP: je les ai justement exposées il y a deux ou trois jours

    JL: Dans mon honnête point de vue extérieur, cette quatrième écriture ouvre un regard sur l'intériorité de la Géométrie et peut-être sur les lois de la vie et non plus de celles de l'existence...
    RP Tu as raison. Je crois que c'est par la Géométrie que nous sortirons de cette caverne dans laquelle Platon nous imagine enfermés. C'est d'ailleurs pour cela que, dans mon fichier joint, je mets cette citation d'Einstein; " Le principe fondamentalement créateur se trouve dans les mathématiques"

    JL:J'ai pour ma part développé une telle approche (que je publierai un jour) à partir d'une séquence de calcul qui m'a permis de mieux me connaître...
    RP: Bon, on a chacun nos convictions. La mienne est que Leibniz a eu un pressentiment génial qui va révolutionner notre conception de la géométrie depuis Euclide. Mais je désespère de la voir jamais de mon vivant.

    Cordialement à toi.

    RP

    PS: plus tard je répondrai a Dreamear et Jelobreuil.
  • Cher Jelobreuil

    Tu m’écris « Mon cher Pouzergues, permets-moi de te le dire, là, tu exagères !
    Qu'est-ce que tu vas chercher comme explication ! RIEN de purement mathématique ne peut être taxé de "politiquement incorrect", ou alors je ne sais plus ce que parler veut dire !
    »

    Je vais donc mieux m’expliquer. Pour moi être politiquement correct c’est suivre sans état d’âme le train train coutumier général. Ceci dit donnons deux exemples :

    Enoncé d’autrefois à la manière de Diophante : quel est l’arithme qui est quadruplé quand on lui ajoute neuf ? Et la solution proposée est du même style. Diminuons les deux quantités d’un arithme alors l’arithme cherché est tel que son triple vaut 9 et cet arithme est donc le nombre 3.

    Enoncé d’aujourd’hui : résoudre x+9=4x de solution immédiate

    Enoncé d’autrefois à la manière d’Euclide : Pour construire un parallélogramme ABCD on prend deux droites sécantes en O. Sur la première de part et d’autre de O on porte les segments égaux OA et OC, et sur la seconde encore de part et d’autre de O, on porte les segments égaux OB et OD. La figure ABCD est un parallélogramme.

    Enoncé d’aujourd’hui: kif kif sur les livres de nos collégiens. Pourquoi ? Parce que nous disposons d’une écriture algébrique qui permet un Calcul Algébrique alors que nous ne disposons toujours pas d’une écriture des figures qui permettrait un Calcul Géométrique.

    C’est cette lacune qui heurta Leibniz. Or elle perdure encore aujourd’hui dans l’indifférence générale alors que j’ai montré qu’il était extrêmement facile d’y mettre fin. Pourquoi cette indifférence ? Je l’attribue à un conformisme inné qui nous fait préférer ce à quoi nous sommes habitués aux dépens de ce qui est nouveau. C’est ce que j’appelle le politiquement correct.

    Cette sujétion au politiquement correct est blâmable, j’en conviens, surtout chez les mathématiciens mais elle est de tous les temps. C’est elle par exemple qui a fait rejeter les nombres faux de Descartes lequel, sans doute dégouté de notre obscurantisme, est allé mourir à l’étranger. C’est elle aussi qui jadis s’est opposée à l’introduction des chiffres arabes en remplacement des chiffres romains (il fallait adopter les chiffres des hérétiques. Quelle horreur !). Et comme tu le devines on pourrait trouver bien d’autres exemples.

    Oui, cher Jelobreuil, notre obstruction à l’introduction du Calcul Géométrique de Leibniz ne vient plus désormais de son inexistence mais de notre réticence a changer nos raisonnements traditionnels. Autrement quels arguments pour justifier cette réticence ?

    Cordialement

    RP

    PS Ensuite ma réponse a Dreamer
  • "... alors que nous ne disposons toujours pas d’une écriture des figures qui permettrait un Calcul Géométrique."Tu te trompes nettement, Pouzergues. D'abord parce que la géométrie n'est pas une "écriture des figures", mais aussi parce que entre la géométrie analytique (née à l'époque de Leibnitz), la géométrie descriptive, le calcul vectoriel, l'utilisation des complexes, l'algébrisation de la géométrie est très large, au point que des logiciels de vérification de preuves géométriques existent (et ils ne font pas des figures).

    Il serait bon que tu essaies de comprendre pourquoi ta proposition n'a pas intéressé les principaux géomètres qui viennent sur ce forum. Peut-être simplement parce que tu n'as pas montré que tes notations donnent des preuves nouvelles simples sur des problèmes classiques (pour ma part, je n'y vois qu'une sténographie - et pour en avoir fait, je sais que c'est pénible à lire pour celui qui n'a pas écrit !). par exemple, une preuve en quelques lignes de la convergence des trisectrices d'un triangle, ou la construction du cercle tangent à trois cercles donnés.

    Cordialement.
  • Cher Dreamer

    C’est à toi que je réponds en dernier car c’est pour te remercier de ton souhait de voir continuer ce sujet. Ca me touche évidemment beaucoup mais tu reconnaitras toi-même, comme l’ont fait déjà sans doute de nombreux visiteurs, qu’on commence en tourner en rond. Ces redites finissent par être lassantes. Et le dernier message de Gérard0 qui écrit "l'algébrisation de la géométrie est très large" montre que l'esprit de cette recherche n'est même pas compris car c'est justement cette algébrisation que Leibniz voulait éviter et c'est justement cette algébrisation qui occulte l'anoptrie comme elle a occulté autrefois la découverte de la Géométrie Projective.

    Je suis évidemment déçu de la réticence générale car je proposais un jeu amusant qui consistait à écrire au hasard des égalités bivectorielles comme par exemple (AB,AC)=(BC,BA) et ensuite a trouver de quelle figure de la géométrie elles sont l’écriture. J’imaginais sur ce forum une abondance d’échanges de toutes sortes avec des propositions tous azimuts car les bivecteurs cachent de nombreux mystères (ils font apparaitre le nombre d’or, le quadrangle harmonique y est une figure fondamentale etc etc ).

    Mais comme tu peux le constater, malgré les bons scores affichés au compteur, il n’y a jamais eu une seule proposition et personne n'a même essayé de donner une chance au jeu que je proposais. Les visiteurs restent dans ce que j’appelle peut être improprement le politiquement correct ( !!!!!) c’est a dire les recherches et la méthode classiques et aucun ne veut se mouiller en participant. Le combat va donc cesser faute de combattants.

    Mais tu as raison. Il y a peut-être parmi les visiteurs fantômes un jeune qui va poursuivre des recherches dans son coin. Je lui souhaite alors bonne chance. Et s’il arrive à trouver la signification de l’anoptrie il fera faire à la géométrie euclidienne un pas de géant qu’elle n’a jamais fait depuis Euclide. Par contre il lui faudra beaucoup de courage et de volonté pour vaincre la réticence traditionnelle de nos scientifiques dont ce forum ne donne qu’une faible idée.

    Cordialement

    RP
  • Merci pour cette réponse que j'attendais désespérément (j'ai bien cru que vous ne répondriez pas) avant d'ajouter des considérations personnelles.

    Tout d'abord la Géométrie d'Euclide qui n'a pas bougé d'un pouce en deux millénaires, c'est un peu normal, étant entendu que ce modèle a pendant toute cette période donné grande satisfaction et il a fallu des efforts considérables de très grands esprits pour pouvoir remettre en question ce monument, cela a donné les géométries sphérique et hyperbolique, rien de moins.

    Ensuite Descartes : Le monde n'aurait pas tourné comme il l'a fait si ce monsieur ne s'était pas posé un jour la question, en regardant le plafond lézardé de sa chambre, de savoir comment les repérer par rapport à un des coins*, ce qui a donné le repère cartésien, et une grande part de l'algébrisation de la Géométrie.

    Au sujet de la Géométrie de ce fil : Quand il a été question de grands géomètres venant sur ce sujet et n'y écrivant rien, je tiens à dissiper les doutes, je suis vraisemblablement très nul en Géométrie, je ne comprends pas comment on définit un angle, je me fourvoie certainement à considérer que les Céviennes n'ont pas de longueur et un bivecteur est, pour moi un tenseur, j'ai d'ailleurs une compréhension toute personnelle de cet objet que je ne compte pas partager de peur de faire rire tout le monde.
    C'est sans doute pour beaucoup dans la difficulté que j'ai à comprendre cette notation et les explications qui sont données dessus, elles demandent incontestablement un grand effort de pédagogie.

    Ensuite, et c'est un handicap regrettable, mais je ne comprends bien que ce qui est exemplifié : une notation aussi concise remplaçant une figure devrait, pour que je la comprenne, être assortie d'un dessin qui la met en pratique, au minimum. Sans doute cela vous paraît trop trivial, mais c'est bloquant chez moi.

    Par contre, s'il y a moyen de formellement transcrire les opérations calculatoires que vous mentionnez en transformations syntaxiques, pour peu qu'elles soient complètes et parfaitement définies (et par exemple ces histoires de parenthèses en ordre opposé, cela me bloque aussi), je pourrais essayer de mettre au point une sorte de simplificateur syntaxique (cela devient un jeu sur des chaînes de caractères, j'ai déjà fait cela, même si je n'en raffole pas) et alors il serait possible de faire une exploration exhaustive de toutes les propriétés qu'il est possible d'en déduire, en fonction de l'intelligence placée dans le simplificateur.

    Je peux éventuellement essayer de faire cela, mais les conditions pour que je sois en mesure de le faire (en bref la compréhension, en plus d'un emploi du temps un peu chargé jusqu'à la fin de cette année au moins) font défaut encore à l'heure actuelle.

    C'est la raison pour laquelle je réitère ma demande d'exemple et veux bien croire que si vous les avez déjà donnés, cela puisse vous désespérer, mais si les mathématiques avaient eu la possibilité d'être construites sans efforts et rapidement, cela se serait déjà passé.
    L'intérêt est de continuer.

    À bientôt.

    * Cet événement est très certainement une fantasmagorie de ma part, désolé.

    Cherche livres et objets du domaine mathématique :

    Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.

  • Bonjour a tous

    Il y a à peu près un mois je lançais sur ce forum le sujet «En hommage à Leibniz » (au fait peut-on lire la date des messages postés ?). Je poste ce message d’anniversaire pour vous demander votre avis et aussi pour faire remonter ce sujet

    Plusieurs membres ont participé aux échanges et je les en remercie. Une majorité s’est abstenue et c’est aussi à elle que je voudrais demander un avis sur deux points.

    1° question. Avec la référence que nous a donnée Pappus vous avez pu consulter sur Gallica la Logique de Leibniz. Ma question est donc : l’écriture bivectorielle proposée ici répond-elle effectivement aux souhaits de Leibniz ? Et si vous pensez que non pouvez-vous dire pourquoi ? Par exemple pensez-vous qu'une écriture des figures est inutile? Ce point de vue sera très intéressant car en général l'introduction d'une écriture a toujours marqué un progrès de la Science.

    2° question ; L’écriture bivectorielle d’une figure contient elle effectivement en huit lettres seulement toutes les propriétés de cette figure ? Par exemple l’écriture du triangle rectangle ABC qui est (AB,AC)=)AB,CA( contient elle véritablement toutes les propriétés du triangle ABC ? Si non pour quelle raison ? Si oui comment peut-on en déduire le théorème de Pythagore ? Car tout se passe pour le moment comme si on était devant un coffre-fort contenant un trésor et dont on n’aurait pas la clef !!!!!

    Je considère le silence de ceux qui s’abstiennent de participer comme réprobateur. N’ayez pas peur de me dire pourquoi. Je vous en remercie par avance.

    Cordialement

    RP
  • Mon cher Pouzergues,
    Pourquoi considérer comme réprobateur un silence qui ne signifie, à mon avis, qu'un manque de répondant ?
    Et pour répondre à ta deuxième question par une autre question : est-ce que ton écriture d'un triangle rectangle exprime de manière évidente la propriété du triangle ABC rectangle en A d'être inscrit dans un demi-cercle de diamètre BC ?
    Personnellement, je ne pense pas que ce soit le cas ... Et comment, par quel jeu d'écriture, pourrait-on, selon toi, mettre cette propriété de tout tel triangle en évidence ? Cela rejoint d'ailleurs la question que je te posais il y a deux semaines : dans le "système d'écriture de Leibniz", comment "s'écrit" un cercle ? Question à laquelle tu n'as pas répondu ... C'est peut-être là que gît le nœud gordien de cette histoire ... et ce qui explique le fait que Leibniz n'ait pas réussi à imposer son écriture bivectorielle des figures ...
    D'un autre côté, je vois mal comment utiliser cette écriture dans la démonstration de la réponse à un problème juste "un peu" compliqué ...
    Par exemple, peux-tu écrire ce que serait la démonstration du problème que j'ai proposé ces jours-ci http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,2276576 ? Comme l'a indiqué Poulbot, des considérations de symétrie, d'orthogonalité et de parallélisme suffisent pour ce faire ... (bien entendu, cette question s'adresse aussi à tout lecteur intéressé !)
    Bien cordialement
    JLB
  • Bonjour Jelobreuil

    Dans ton message tu écris "la question que je te posais il y a deux semaines : dans le "système d'écriture de Leibniz", comment "s'écrit" un cercle ? Question à laquelle tu n'as pas répondu ..".

    Or, monsieur l'étourdi, cette écriture a été donnée dés le début de l'écriture bivectorielle. Je donnais en effet

    (AB,AM)=)AB,AM( est l'écriture de la droite passant par A et B
    (OM,OA)=)OA,OM( est l'écriture du cercle de centre O passant par A
    et aussi
    (MA,MB)=)MA,BM( est l'écriture du cercle de diamètre AB

    avec SVP la démonstration bivectorielle du passage d'une écriture à l'autre !!!! C'est dans le fichier joint que j'ai ajouté il y a deux ou trois semaines.

    Au fait y a-t-il un moyen d'avoir les dates des messages ?
    Cordialement
    RP
  • 1° sept :Bonjour à tous

    En cette rentrée de septembre les anciens me pardonneront de relancer un sujet d’avant les vacances, car parmi les nouveaux arrivants (ou parmi leurs relations) il y aura peut-être enfin celui qui est impatiemment attendu.

    Je conseille d’abord à tous les nouveaux de lire le fichier joint à ce message. Il résume ce qu’aurait été le Calcul Géométrique cherché par Leibniz s’il l’avait mené à bien. En effet sa recherche n’a pas abouti de son temps pour la seule raison que les vecteurs n’étaient pas encore connus. Or d’après lui ce Calcul Géométrique qui était tout simplement une écriture des figures, devait révolutionner la géométrie comme l’écriture des équations venait de révolutionner l’algèbre.

    Ce sera effectivement le cas si on trouve quelqu’un qui ait le courage et le génie de Descartes. Le génie de Descartes a consisté en particulier à refuser d’admettre que l’équation x+5=0 soit considérée comme impossible. Et son audace a consisté à lui imposer une solution malgré les sarcasmes de tous ses contemporains, dont Pascal, qui s’accommodaient tranquillement de cette impossibilité

    Dans le Calcul Géométrique de Leibniz apparait pareillement une anomalie ou le génie consistera à trouver une explication à cette anomalie et l’audace sera ici aussi de braver l’inertie de tous les mathématiciens actuels qui s’en accommodent eux aussi tranquillement sans problème.

    R Pouzergues
  • 1° octobre

    Aucune intervention ni de vous ni de moi et pourtant le compteur qui le 1° sept était à 6000 vues est a présent à 7500 vues. Mystère!!! Mais en les temps que nous vivons ou les propos désobligeants sont monnaie courante aucun message désagréable. Félicitation au forum pour sa bonne tenue.

    En l'absence d'avis extérieurs je suis obligé de gamberger tout seul. Dommage. Je comprends que l'écriture des figures ne vous séduit pas et moi aussi ( pardon Leibniz !) je la trouve décevante. Mais voici une question que je me pose:

    Descartes voyant que les équations x-2=0 et x-3=0 et x-4=0 avaient des solutions mais pas x+5=0 a trouvé ça anormal et il a eu l'idée des nombres négatifs. Plus tard d'autres voyant que x²=1 avait des solutions et pas x²=-1 ont eu l'idée des nombres négatifs. Plus tard voyant que certaines droites du plan se coupaient et pas d'autres, Poncelet a eu l'idée de faire se couper toutes les droites. Etc etc . Il semble que toujours en mathématiques les anomalies et les exceptions aient chaque fois trouvé leur solution.

    Avez vous un exemple de bizarrerie en mathématique qui soit restée inexpliquée? En effet on me dit que (u,v)=)-v,u( n'a pas de solution parce que c'est comme ça. J'aimerais avoir un autre exemple de ce genre qui serait lui aussi laissé sans solution. Certes l'explication de (u,v)=)-v,u( est incompréhensible mais devons nous pourtant l'accepter?

    Dites moi ce que vous en pensez.

    Cordialement

    RP
  • Bonjour Pouzergues,
    Je vois que tu persévères (et c'est bien !) dans ta recherche ...
    Une petite erreur, évidemment de "copier-coller", dans ton message ci-dessus : la deuxième occurrence de "négatifs" devrait être "imaginaires" ...
    J'ai trouvé tout récemment, chez un bouquiniste, une édition bilingue latin-français de "La Caractéristique Géométrique" dans la collection Mathesis de la Librairie Philosophique J. Vrin (préparée par Javier Echeverria et Marc Parmentier). Il va me falloir "un certain temps" pour lire ce livre, d'autant que les notations utilisées sont assez inhabituelles et déroutantes, pour le moins ...
    Pour répondre à ta question, non, personnellement, je n'ai pas d'exemples de situations inexpliquées à te proposer ...
    Bonne continuation, bien cordialement
    JLB
  • " Plus tard d'autres voyant que x²=1 avait des solutions et pas x²=-1 ont eu l'idée des nombres négatifs. "

    Bien sûr, il faudrait corriger négatifs en imaginaires. Mais, le problème est que les imaginaires ne sont pas apparus de cette façon. Personne n'a jamais eu l'idée d'introduire les nombres imaginaires pour résoudre $x^2=-1$, parce qu'il est "évident" que cette équation n'a pas de solution et l'on ne résout pas des équations qui n'ont pas de solution.
    Les nombres imaginaires/complexes apparaissent avec la résolution d'équations du troisième degré (comme l'expliquent les livres d'histoire de maths sérieux).
  • Vous avez évidemment raison tous les deux pour ma coquille Il faut évidemment lire "Plus tard d'autres voyant que x²=1 avait des solutions et pas x²= -1 ont eu l'idée des nombres imaginaires ".

    Bien sùr je connais l'origine exacte des nombres imaginaires. J'ai d'ailleurs montré dans mon fichier joint du 1° sept que c'est sans doute Descartes qui dans l'histoire des maths en parle le premier. Quoi qu'il en soit ce qui compte c'est que c'est leur introduction qui a permis de franchir une impossibilité.

    Car le problème posé par l'écriture de Leibniz est ici aussi l'impossibilité de trouver un sens à la relation (u,v)=)-v,u(.Je fais a nouveau appel aux contempteurs qui pourraient me décharger de cette obsession en me donnant en mathématiques des exemples d'impossibilités qu'on accepte aussi sans se poser de questions.

    RP
  • Bonjour.

    "des exemples d'impossibilités qu'on accepte aussi sans se poser de questions. " La classique fraction de dénominateur 0; la preuve du cinquième postulat d'Euclide à l'aide des 4 premiers, l'impossibilité de tout démontrer dans une théorie comprenant l'arithmétique de Peano, etc.

    Cordialement.
  • Bonjour, Pouzergues
    "Des impossibilités qu'on accepte sans se poser de questions", vraiment ?
    Ne serait-ce pas plutôt des "choses" dont on a reconnu, après moult essais, débats et invectives de part et d'autre, qu'elles étaient effectivement impossibles ? Comme la quadrature du cercle, ou la duplication du cube et la trisection d'un angle à la règle et au compas, qui ont longtemps occupé nos anciens géomètres, illustres ou non ...
    Bien cordialement
    JLB
  • Bonjour,

    GaBuZoMeu a déja indiqué que $gd\left(u,v\right)$ semblait se traduire par $v/u$, tandis que $dg\left(u,v\right)$ semblait se traduire par $conjugate$$\left(v/u\right)$. Mais personne n'a encore signalé que cette interprétation entrait en conflit avec:
    Démonstration : Si $gd\left(u,v\right)=dg\left(u,v\right)$ et si $gd\left(v,w\right)=dg\left(v,w\right)$ alors $gd\left(u,v\right)+gd\left(v,w\right)=dg\left(u,v\right)+dg\left(v,w\right)$ càd $gd\left(u,w\right)=dg\left(u,w\right)$ cqfd.

    La réponse de Pouzergues ne me donne pas l'impression que GaBuZoMeu ait moins bien compris la "méthode Pouzergues" que Pouzergues lui-même. Quant à l'invocation du défunt Leibniz qui regarde tout cela de là-haut, du haut du ciel, sa demeure dernière! Est-il content son colonel, est-il content, ou du moins je l'espère!

    Quittons Offenbach et voyons les fameux quatre cas, en fixant $
    \def\vz{\mathrm{\mathbf{Z}}}
    \def\vzz{\overline{\mathcal{Z}}}
    \def\vt{\mathrm{\mathbf{T}}}
    $ $u$ (description non projective de $z:t:\zeta$) et en laissant mobile $v$ (description non projective de $\vz:\vt:\vzz$).
    • $gd\left(u,v\right)=+dg\left(u,v\right)$ correspond à $\vt\left(\vz\zeta-\vzz\,z\right)=0$, the radial line through $M$
      $\,$
    • $gd\left(u,v\right)=-dg\left(u,v\right)$ correspond à $\vt\left(\vz\zeta+\vzz\,z\right)=0$, the associated orthoradial line
      $\,$
    • $gd\left(u,v\right)=+1/dg\left(u,v\right)$ correspond à $\vz\vzz\,t^{2}-\vt^{2}\zeta\,z=0$, the visible circle through $M$.
      $\,$
    • $gd\left(u,v\right)=-1/dg\left(u,v\right)$ correspond à $\vz\vzz\,t^{2}+\vt^{2}\zeta\,z=0$, the associated imaginary circle.
    Il n'y a pas de quoi crier à la nouveauté innovante. On ne fait que retrouver les quatre cycles usuellement pris comme base de l'espace des .cycles (utilisation de la projection stéréographique comme plongement de Veronese). 1891, ah les belles maths modernes!

    Et on arrive à la question de Gerard0: utiliser tout cela pour déterminer le cycle orthogonal à trois cycles qui ne sont pas du même faisceau.

    Cordialement, Pierre.
  • Bonjour a tous

    Je crois qu’il y a maldonne, car il n’y a pas de « méthode Pouzergues » ni de prétention quelconque comme l’écrit ironiquement GaBuZoMeu dans son message du 3 juin (gloire à Pouzergues le Descartes ou le Leibniz des temps modernes)
    .
    En venant sur ce forum je voulais simplement attirer l’attention sur cette recherche de Leibniz comme n’importe qui aurait pu le faire tant il y a d’analogie entre les deux situations dont j’ai déjà parlé plusieurs fois et qu’on me pardonnera de rappeler à nouveau.

    Dans son livre La Géométrie, René Descartes utilise l’introduction récente d’une écriture pour les équations de l’algèbre qui permet dorénavant un Calcul Algébrique. On a introduit les signes opératoires + et -, le signe =, et la lettre x désigne l’inconnue. Alors, utilisant cette écriture, il s’étonne que sur les quatre équations x-2=0 et x-3=0 et x-4 =0 et x+5=0 les trois premières aient une solution et qu’on admette sans s’étonner que la quatrième n’en ait pas. Il en déduit avec juste raison que la connaissance des réels de son temps doit être élargie et il découvre les nombres négatifs où x+5=0 a enfin une solution comme les trois autres. Dans la foulée il pressent aussi les nombres imaginaires. C’est dés ce moment le véritable essor de l’algèbre. (Voir mon fichier joint du 1° septembre où j’ai donné le lien sur Gallica qui permet de vérifier tout ça).

    Dans son livre La Logique de Leibniz, Louis Couturat nous apprend que Leibniz envisage de faire la même chose en géométrie en y introduisant une écriture des figures qui va permettre un Calcul Géométrique. Il donne la méthode qui est d’utiliser les similitudes et il n’échoue que parce qu’il ne connait pas encore les vecteurs. C’est donc un jeu pour nous de suivre ses instructions et nous tombons de suite sur les 4 relations (u,v)=)u,v( et (u,v)=)v,u( et (u,v)=)u,-v( et (u,v)=)-v,u(. Or ici aussi les trois premières ont un sens et on admet sans s’étonner que la 4° n’en ait pas. Il semble donc ici aussi normal d’en déduire que la connaissance que nous avons du plan doit être élargie.

    Tout ceci est très simple, à la portée d’un élève de Lycée et sans avoir besoin de signes cabalistiques compréhensibles par les seuls initiés.

    Reste la question de savoir quelle est cette extension du plan qui apportera la solution au problème posé et que Leibniz aurait peut être trouvé car lui, pour le coup, était un véritable génie.

    Cordialement à tous

    R Pouzergues
  • Bonjour,

    citation: "On admet sans s’étonner que la 4° n’en ait pas".

    Qui donc est ce fameux "on" qui admet que $z \overline z +t^ 2 = 0$ n'ait pas de solution ? Des solutions, il y en a tout un cercle ! Et le cercle mobile est orthogonal à ce cercle là lorsque le cercle mobile coupe $z \overline z - t^2 = 0$ selon un diamètre. Quoi de plus visuel ?

    Exercice: décrire l'inversion par rapport au cercle $z \overline z +t^ 2 = 0$ en évitant tout ce qui pourrait effrayer le passant qui passe.

    Cordialement, Pierre.
  • Bonjour Pldx1

    Vous écrivez dans votre message "Qui donc est ce fameux "on" qui admet que zz¯+t2=0 n'ait pas de solution ? Des solutions, il y en a tout un cercle !" (le copier coller semble mal passer mais peu importe)

    Je crois comprendre que vous auriez donc tout un tas de solutions à cette relation (u,v)=)-v,u( qui semble au contraire sans solution au commun des mortels *. Mais ce serait aimable de m'expliquer le lien entre cette relation et celle que vous écrivez. D'où sort par exemple le t dont il est question ? Est-ce un réel ? Peut-il être choisi comme on veut ?

    Cordialement
    RP

    * Pour répondre à votre question qui est ce "on" c'est par exemple Mr Henri Cartan, académicien aujourd'hui décédé, quand il m'a reçu chez lui dans les années 90. Comme je lui présentais la relation (u,v)=)-v,u( il s'est isolé un moment derrière son bureau puis il m'a dit "c'est absurde de vouloir donner un sens à cette relation".
  • Qui est le $t$ de $z\overline z +t^2 =0$ ? Ben, c'est écrit là:
    Quittons Offenbach et voyons les fameux quatre cas, en fixant $u$ (description non projective de $z:t:\zeta$) et en laissant mobile $v$ (description non projective de $\def\vz{\mathrm{\mathbf{Z}}} \def\vzz{\overline{\mathcal{Z}}} \def\vt{\mathrm{\mathbf{T}}} \vz:\vt:\vzz$).

    Il est donc question de regarder les fameux quatre cas dans le cadre de la géométrie projective complexe. En effet, il semblerait que supprimer la notion de conjugaison complexe ferait tourner au canular la relation $gd(u,v)=dg(u,v)$. Et d'autre part, on sait que la géométrie finit toujours par devenir projective: autant se placer tout de suite dans le bon cadre. Il y a tout un tas de bouquins sur le sujet. On peut même consulter le fil géométrie projective pour agrégatifs.

    On fixe donc un point $z:t:\zeta$. On laisse mobile le point $ \vz:\vt:\vzz$, on explicite les définitions et on trouve que $gd\left(u,v\right)=-1/dg\left(u,v\right)$ se traduit par $$ (\vz/\vt)\div(z/t)=-(\zeta/t)\div(\vzz/\vt) $$ que l'on réécrit sous la forme projective générale: $$\vz\vzz\,t^{2}+\vt^{2}\zeta\,z=0.$$ C'est alors le moment de s'écrier : oh, ne serait-ce pas le cercle imaginaire associé au cercle $$\vz\vzz\,t^{2}-\vt^{2}\zeta\,z=0 ?$$ On peut verifier que le point $\vz:\vt:\vzz\simeq 1:0:0$ est sur le cercle. En fait, il est sur tous les cercles, c'est même lui, et son complice $0:0:1$ qui servent à définir les figures cycliques.

    Cordialement, Pierre.
  • Bonjour Pierre

    Je ne suis pas assez compétent pour suivre vos démonstrations mais il semble bien que votre Rantanplan soit l’extension du plan qui apporte effectivement une réponse à la relation « impossible » (u,v)=)-v,u(. C’est bien dommage car certes l’écriture bivectorielle inspirée par Leibniz a mis cette relation étonnante en évidence mais hélas la solution est encore une fois apportée par l’analytique.

    A moins qu’il reste un espoir. Dans votre présentation du Rantanplan vous écrivez
    « Scholie. Supposons que la scène précédente (le fameux rantanplan) soit observée par deux vice-présidents du Jury, l'un placé à l'étage au-dessus, l'autre placé à l'étage en-dessous, et supposons en outre que le Président du Jury ait une autorité suffisante pour imposer à ses vice-présidents de synchroniser les sens de rotation de leur montres …. » et plus loin « L'expérience ci-dessus peut être reproduite sans une mise en scène aussi grandiose. Il suffit que l'élève regarde son rantanplan non pas par au dessus, mais par transparence. Alors "tout se met à tourner dans l'autre sens".

    Ceci laisse supposer une vulgarisation possible qui permettrait de concrétiser la relation (u,v)=)-v,u(. Pensez vous pouvoir la faire ? Je pense que je ne serais pas le seul à vous en remercier.

    Mais pour jouer le jeu il faudrait s’en tenir aux relations bivectorielles car par exemple je ne comprends pas ce que la notation gd(u,v)=1/dg(u,v) a de plus simple que la notation (u,v)=)v,u(.

    En tous les cas merci beaucoup pour votre contribution qui, si vous désirez en rester la, mettra donc fin a ce thread.

    RP
  • Citation: "je ne comprends pas ce que la notation gd(u,v)=1/dg(u,v) a de plus simple que la notation (u,v)=)v,u(".

    Les notations doivent aider à automatiser la pensée. Les parenthèses ouvrantes ouvrent, les parenthèses fermantes ferment. Ecrire un parseur qui recode ")xxx(" en "droite-gauche ouvrez xxx fermez" n'est pas bien difficile... et le résultat est bien plus facile à lire ... (100% des personnes interrogées ont confirmé cette opinion, sondage réalisé sur un échantillon d'une seule personne). Et alors, on peut se focaliser sur le signifié plus que sur le signifiant.

    Cordialement, Pierre.
  • Merci de votre réponse. Vous dites "Les parenthèses ouvrantes ouvrent, les parenthèses fermantes ferment". Dont acte. Reste a savoir s'il est possible, sans utiliser l'analytique, de donner une explication aussi claire de la relation d'anoptrie dans ce plan que vous appelez rantanplan.

    Cordialement

    RP
  • Bonjour à tous

    Faisons le point

    Ainsi Mr Cartan et tous les autres qui trouvaient absurde de vouloir donner un sens à la relation (u,v)=)-v,u( avaient tort, puisque d’après Pldx il suffit de se placer dans le cadre de la géométrie projective complexe pour qu’elle ait autant de sens que les trois autres. En effet il écrit « Il n'y a pas de quoi crier à la nouveauté innovante. On ne fait que retrouver les quatre cycles usuellement pris comme base de l'espace des cycles (utilisation de la projection stéréographique comme plongement de Veronese) ».

    Dans le lien qu’il donne pour information, il introduit un nouveau plan qu’il appelle rantanplan et dans lequel les points ont des affixes différentes selon que le plan est regardé par-dessus ou par-dessous. C’est une hypothèse que je n’ai jamais rencontrée même dans ma préparation a l’agrég (en 1962 !) mais elle me séduit. Reste à trouver la traduction graphique de l’anoptrie puisque par exemple pour les nombres complexes on sait qu’on a travaillé plus de 200 ans avec eux avant de connaitre leur signification géométrique.

    Chers visiteurs sauf rebondissement inattendu qui donnerait aussi cette traduction graphique indispensable, on va en rester là de ce thread.

    Merci encore à Pldx pour sa contribution. Et j’espère qu’il ne verra pas d’objection à ce que, si un jour l’anoptrie a enfin droit de cité, on appelle Plan de Leibniz par opposition au Plan Euclidien ce plan qu’il a plaisamment baptisé rantanplan.

    Ainsi ce thread aura effectivement rendu hommage à Leibniz ce qui, dès le début, a été le seul but recherché.

    R Pouzergues
  • Bonjour a tous

    Ai-je inventé le mouvement perpétuel ? Ce thread est arrêté depuis une dizaine de jours et le compteur de vues, sur sa lancée, continue pourtant à tourner au point qu’il approche maintenant d’un nombre à 5 chiffres.

    Pour rappel le challenge de ce thread est toujours le même à savoir :

    Au XV° siècle la mise au point d’un Calcul Algébrique a montré que notre conception de l’espace des nombres de dimension 1 devait être élargi en découvrant que nous n’en connaissions depuis l’antiquité que la partie positive. A ce nouvel espace de dimension 1 ainsi complété a été donné le nom de Droite des Réels.

    Au XVII° siècle Leibniz pressent un Calcul Géométrique qui montre que notre conception de l’espace plan de dimension 2 doit être élargi comme si nous n’en connaissions depuis Euclide que la partie positive. A ce nouveau plan de dimension 2 quand il sera complété ( c'est le challenge!) j’ai proposé, en reconnaissance de sa prémonition, qu’on donne le nom de Plan de Leibniz

    Au XX° siècle Sakharov à la suite du paradoxe de la « violation de symétrie CP » (voir Wikipedia) propose que notre conception de l’espace de dimension 3 soit élargi comme si nous n’en percevions depuis l’antiquité que la partie positive. A ce nouvel espace à 3 dimensions ainsi complété on a donné le nom d’Univers Jumeaux.

    Cordialement

    RP
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