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En hommage à Leibniz

Si vous aimez le Rubics cube ou les constructions de Lego vous serez passionné comme moi par le sujet que je propose a condition que vous connaissiez bien les vecteurs enseignés dés la classe de 3°.

Bref rappel. La géométrie était considérée comme la reine des sciences par les anciens. Mais ses démonstrations sont toujours difficiles car il faut les justifier par de longues explications fastidieuses. Alors Descartes inventa l'analytique qui mettait tout en équation et certains trouvèrent que c'était une bonne idée. Seulement ça fait des calculs a n'en plus finir. Leibniz trouva que ce n'était pas la bonne méthode et il chercha à inventer un outil qui permettrait en Géométrie d’écrire les figures comme en Algèbre on écrit les équations. Mais il fallait pour cela utiliser les vecteurs qui étaient inconnus a son époque et sa recherche échoua.

Ce n'est plus le cas aujourd'hui. On peut désormais mettre au point une écriture des figures de la géométrie et s'en servir pour faire les démonstrations de problèmes. Pour arriver à la solution on rassemble les écritures des hypothèses et on les combine comme un jeu de Lego pour arriver à la solution. C'est fantastique et Leibniz le pressentait. Vous aurez toutes les précisions dans le groupe de Facebook que j'ai appelé "En hommage a Leibniz". C'est une reconnaissance qu'il a bien méritée.

Alors je voudrais constituer sur ce forum un groupe de recherche qui résoudrait les problèmes posés par la méthode de Leibniz. Pour le moment je propose de s'en servir pour démontrer le Théorème de Pythagore. Voulez vous essayer? C'est assez dur mais passionnant
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Réponses

  • Bonjour,
    merci pour cette belle idée...pour laquelle j'avais envisagé de la développer...avant de m'intéresser à la méthode synthétique qui me correspondait le mieux...

    (Ayme J.-L., Méthodes et Techniques en Géométrie, A propos de la Droite de Newton, Ellipses, Paris, 2003.) p. 112-137

    Avez-vous un premier exemple à proposer ?

    Sincèrement
    Jean-Louis.
  • Merci de votre message. Pour que nous sachions si nous parlons de la même chose dites-moi si vous avez lu mon texte du groupe En Hommage à Leibniz sur Facebook.
    Merci d'avance.
  • Pouvez-vous nous envoyer le lien?

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Bonjour, Pouzergues, pour moi vecteur et repère sont les mêmes chose. C'est de l'analytique mais bien sûr avec de l'algèbre. Par exemple juste exemple il y a un exercice posté par Jean Louis ici
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,2183716,2183878#msg-2183878

    alors la réponse entre autre pourrait être avec des vecteurs (Leibniz?), cependant c'est juste un calcul dans un repère donné, ( la réponse que je l'ai posté )


    Le lien facebook https://m.facebook.com/groups/746690679322951/

    Cordialement
  • Message supprimé car par erreur j'avais envisagé de faire un groupe sur Facebook
  • Bonjour,
    personnellement, je pense que cette voie que vous désirez ouvrir est sans issue pour un large public...académiquement, une curiosité...
    Cette réflexion n'engage que moi-même...

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • "Sans issue pour un large public" vous avez raison. Mais quelle curiosité de voir regroupées les trois relations fondamentales de la géométrie que sont le parallélisme, la perpendicularité et l'isométrie. en trois formules étrangement ressemblantes ce qui ne se produit dans aucune autre des approches de la géométrie.

    Cordialement
  • Bonjour.

    Je viens d'essayer de suivre les liens, ils nécessitent de se connecter à Facebook.

    Pourriez-vous, s'il vous plaît, faire des captures écran de ces publications ?

    Avec uniquement les exemples cités sur ce sujet, il est difficile de se faire une idée de la profondeur de cette écriture.

    Merci d'avance et à bientôt.

    Cherche livres et objets du domaine mathématique :

    Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.

  • Croyez vous que ce texte qui est assez long pourrait etre publié sur ce forum?
  • Ernö Rubik (1944-)122626
  • Merci d'avoir mis une photo du bon inventeur de ce casse-tête, parce qu'entre lui, son père et son fils, il y a moyen de se tromper...

    Pouzergues : il y a souvent eu des photos de texte. À ma connaissance cela ne pose aucun problème si les photos sont dans le thème et appropriées (pas de vulgarité ou d'atteinte à la dignité,...).

    À bientôt.

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  • Bonjour, Pouzergues
    Si ce n'est qu'une question de formalisme d'écriture, je crains que tout cela n'ait qu'un intérêt bien anecdotique ...
    En outre, il me semble qu'écrire quelque chose sous la forme la plus condensée possible nécessite un tel bagage de règles d'écriture et de lecture (car ce n'est pas le tout de savoir écrire, encore faut-il que quelqu'un d'autre sache lire ce qu'on écrit...) que ce que vous proposez s'apparenterait presque aux idéogrammes chinois ...
    Par ailleurs, sachez bien que je me refuse absolument à mettre ne serait-ce que la rognure de l'ongle de mon petit doigt dans cet engrenage vers le caniveau qu'est FESSE DE BOUC !!!
    Donc, si vous tenez à essayer de me convaincre de l'utilité de votre oeuvre, vous savez ce qu'il vous reste à faire ...
    Bien cordialement
    JLB
  • Avant d'être aussi catégorique, j'aimerais vraiment avoir les exemples.

    J'aurais bien voulu voir (façon de parler) quelqu'un donner des arguments similaires à Feynman quand il a inventé ceci, pourtant cette construction est insuffisante, bien qu'utile.

    Il est vrai que c'est le sens contraire à ce qui semble exposé ici.

    À bientôt.

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  • Vous avez raison de me demander des preuves alors je vais présenter ici les rudiments de cette écriture des figures de la géométrie vainement cherchée par Leibniz car il ne connaissait pas les vecteurs. Pour ne pas faire de texte trop long je ferai cette présentation en 4 pages. Novice sur ce forum je suis ouvert à toutes les suggestions.

    Page 1/4

    Nous travaillons dans le plan euclidien. A la base de ce nouvel outil on trouve donc les vecteurs, enseignés en classe de 3°, et dont les propriétés de groupe additif sont supposées parfaitement connues du visiteur. Leur présence constante dans nos calculs impose d’adopter pour eux une notation très simple. Aussi nous les noterons u,v,w,....sans la flèche qui les surmonte souvent et nous noterons aussi tout simplement AB le vecteur d’origine A et d’extrémité B. Dans les rares cas ou cette notation devra désigner autre chose nous préciserons « droite AB », « segment AB », « corde AB » « hauteur AB » « diamètre AB » etc etc.


    Présentation de l’outil fondamental

    Nous appellerons bivecteur l’outil fondamental qui sera composé de deux vecteurs.

    Nous écrirons (AB,AC) = (A’B’,A’C’) ssi les triangles ABC et A’B’C’ sont directement semblables
    cad que leurs cotés seront respectivement proportionnels
    et leurs angles seront respectivement égaux

    Nous écrirons (AB,AC)=)A’B’,A’C’( quand les triangles ABC et A’B’C’ seront inversement semblables cad que
    leurs cotés seront respectivement proportionnels
    et leurs angles seront respectivement opposés

    Les propriétés de ce nouvel outil sont faciles à démontrer mais nous ne le ferons pas ici pour ne pas alourdir cette présentation qui se veut élémentaire. Nous accepterons donc que :

    1° On a (u,v)=(ku,kv) et )u,v(=)ku,kv( quels que soient les vecteurs u et v et le réel k non nul
    2° Quels que soient u,v et u’ il existe un et un seul v’ tel que (u,v)=(u’,v’) ou (u,v)=)u’,v’(
    3° On a la relation de Chasles (u,v)+(v,w)=(u,w) groupe commutatif
    4° Si (u,v)=(u’,v’) alors (au+bv,cu+dv)=(au’+bv’,cu’+dv’) qqs les réels a,b,c d non tous nuls
    5° Si (u,v)=)u’,v’( alors (au+bv,cu+dv)=)au’+bv’,cu’+dv’( qqs les réels a,b,c d non tous nuls

    Et surtout
    6° u est colinéaire (ex parallèle) a v ssi (u,v)=)u,v(
    7° u est orthogonal (ex perpendiculaire) a v ssi (u,v)=)u,-v(
    8° u est isométrique (même longueur ) à v ssi (u,v)=)v,u(


    A cette étape on peut déjà observer la particulière simplicité et surtout l’étrange rapprochement des trois relations fondamentales de la géométrie euclidienne que sont le parallélisme, la perpendicularité et l’isométrie, rapprochement qui ne se trouve dans aucune des autres approches classiques de la géométrie



    a
  • Bonjour,

    Je ne connaissais pas ces travaux de Leibniz et du coup j'ai fait une petite recherche pour trouver :
    La logique de Leibniz, Louis Couturat, 1901
    La caractéristique géométrique de Leibniz, Thomas de Vittori, 2015
    Les notations que tu proposes Pouzergues sont intéressantes. Mais vite illisibles non ? Car comment entrer dans une démonstration un peu longue, j'ai l'impression que ton jeu de lego va vite devenir un gros casse-tête. Au fond il me semble que pour expliquer on ne fera jamais mieux que des phrases précises et concises, avec juste ce qu'il faut comme équations.
    Cela dit, qui dit lego dit informatique, et il y a peut-être là des choses à programmer. J'attends moi aussi les premiers exemples pour y voir plus clair.
  • Page 2/4

    Les égalités posées dans la page 1 nous permettent dés lors d’écrire les figures de la géométrie car depuis Euclide et malgré tous nos progrès nous n’y sommes encore jamais arrivés. En effet si nous savons écrire une opération numérique, écrire une équation ou écrire une intégrale, l’expression écrire un triangle isocèle ou écrire un triangle rectangle n’a pour le moment jamais eu de sens.

    Dorénavant chaque égalité bivectorielle sera l’écriture d’une figure de la géométrie. Ainsi

    (AM,AB)=)AM,AB( sera l’écriture de la droite AB
    (AM,AB)=)AM,BA( l’écriture de la droite perpendiculaire en A à la droite AB
    (OM,OA)=)OA,OM( l’écriture du cercle de centre O passant par A
    (AB,AC)=)AC,AB( l’écriture du triangle isocèle ABC de sommet A
    (AB ,AC)=)AB,CA( sera l’écriture du triangle ABC rectangle en A
    (MA,MB)=)MA,BM( celle du cercle de diamètre AB.


    Le grand intérêt de cette écriture est de n’être pas conventionnelle mais bien de contenir en elle-même toutes les propriétés de la figure qu’elle définit et qui n’ont donc plus dorénavant à faire l’objet de théorèmes. Désormais les démonstrations se font en assemblant et en combinant les bivecteurs qui traduisent les hypothèses de même que dans un jeu de Lego on combine les briques pour faire des constructions.

    Comme exercice d’entrainement à la fin de cette seconde page je propose au lecteur d’écrire une égalité bivectorielle de son choix et de chercher quelle est la figure de la géométrie à laquelle elle se rapporte. Observons que ces égalités ne sont pas obligatoirement mixtes et par exemple il découvrira que (AB,AC)=(DB,CD) est l’écriture du quadrangle harmonique ABCD.
  • Page 3/4


    Dans cette page nous allons apprendre à manier les bivecteurs par dix exercices élémentaires.

    1° : Le parallélisme (ou colinéarité) des vecteurs est transitif c’est-à-dire que
    si u est parallèle a v et si v est parallèle a w alors u est parallèle a w
    Démonstration : Si (u,v)=)u,v( et si (v,w)=)v,w(
    Alors (u,v)+(v,w)=)u,v(+)v,w( cad (u,w)=)u,w( cqfd

    2° : L’isométrie des vecteurs est transitive c’est-à-dire que
    si u est isométrique a v et si v est isométrique a w alors u est isométrique a w
    Démonstration : Si (u,v)=)v,u( et si (v,w)=)w,v(
    Alors (u,v)+(v,w)=)v,u(+)w,v( cad (u,w)=)w,u( cqfd

    3° : L’orthogonalité des vecteurs est n’est pas transitive c’est-à-dire que
    si u est orthogonal a v et si v est orthogonal a w alors u n’est pas orthogonal a w
    Démonstration : Si (u,v)=)u,-v ( et si (v,w)=)v,-w(
    Alors (u,v)+(v,w)=)u,-v(+)v,-w( = )u,-v(+)-v,w( cad (u,w)=)u,w( cqfd
    u est parallèle et non orthogonal a w

    4° La sommes des trois angles d’un triangle ABC est l’angle plat
    Démonstration
    (AB,AC)+(CA,CB)+(BC,BA)=(AB,AC)+(AC,BC)+(BC,BA)=(AB,BA) cqfd

    5° Par un point du plan on peut mener une et une seule parallèle a une droite donnée. C'est à dire que si un point C et un vecteur AB sont donnés alors CM et CN sont colinéaires a AB ssi CM et CN sont colinéaires
    Démonstration (AB,CM)=)AB,CM( et (AB,CN)=)AB,CN( par addition (CM,CN)=)CM,CN( cqfd

    6° Par un point du plan on peut mener une et une seule perpendiculaire a une droite donnée. C'est à dire que si un point C et un vecteur AB sont donnés alors CM et CN sont orthogonaux a AB ssi CM et CN sont colinéaires
    Démonstration (AB,CM)=)AB,MC( cad ( CM,AB)=)MC,AB( et (AB,CN)=)AB,NC( par addition (CM,CN)=)CM,CN( cad (MC,NC( cqfd

    7° Si un triangle ABC est rectangle en A alors
    sa médiane AI le partage en deux triangles isocèles
    Démonstration
    (AB,AC)= )AB,CA( cad (AB+AC,AB+CA)=)CA+AB,AB+AC( cad
    (2AI,CB)=)CB,2AI( cad (2AI,2CI)=)2CI,2AI( cad (AI,CI)=)CI,AI( cqfd

    8° Si un triangle ABC est isocèle de sommet A alors
    sa médiane AI le partage en deux triangles rectangles
    Démonstration
    (AB,AC)= )AC,AB ( cad (AB+AC,AB+CA)=)AC+AB,BA+AC ( cad
    (2AI,CB)=)2AI,BC ( cad (2AI,2CI)=)2AI,2IC ( cad (AI,CI)=)AI,IC ( cqfd

    9° Si un triangle a deux cotés égaux il a aussi deux angles égaux
    Démonstration
    (AB,AC)=)AC,AB( cad (BA,BA+AC)=)CA,CA+AB( cad (BA,BC)=)CA,CB( cqfd

    10° D’un point M situé sur un cercle de centre O
    on voit tout diamètre d’extrémités A et B sous un angle droit
    Démonstration
    Par hypothèse (OM,OA)=)OA,OM( et (OM,OB)=)OB,OM(
    Donc par combinaisons évidentes,
    (MA,OA)=)AM,OM( et (MB,OB)=)BM,OM( donnant (BO,BM)=)OM,BM(
    Mais OB = AO cad BO=OA donc par addition membre à membre
    (MA,OA)+(OA,BM) = )AM,OM(+)OM,BM(
    cad (MA,BM)=)AM,BM( ou mieux (MA,BM)=) MA,MB ( cqfd)

    Conclusion

    Ici se termine la page 3. Pour ceux qui auront utilisé le lien donné plus haut par LUDWYG sur le calcul géométrique de Leibniz ils auront pu voir que nous respectons à la lettre ses impératifs. On y lit par exemple qu'il souhaitait "exprimer complètement une figure en n’utilisant que des caractères, sans l’aide d’explications verbales et sans y adjoindre de figure ; (Leibniz, la Caractéristique Géométrique, [CG] p.47)"

    Comme on est toujours plus attiré par les anciennes méthodes que par les nouvelles beaucoup préfèreront la méthode rhétorique d'Euclide ou bien l'analytique de Descartes. C'est évidemment leur droit. Mais je serais heureux de trouver ici un noyau de défenseurs de Leibniz qui m'aiderait à perfectionner cet outil. Par exemple si (u,v)=(u',v') on peut permuter les moyens ou les extrêmes etc etc.

    Enfin l'idée profonde de Leibniz était que l'introduction d'une écriture bien adaptée est toujours la source d'un prolongement inattendu. Ce fut le cas pour l'arithmétique, pour l'algèbre, pour la chimie etc etc. Ce sera le sujet de la page 4

    Cordialement
  • Bonjour,
    Pouzergues a écrit:
    Croyez vous que ce texte qui est assez long pourrait etre publié sur ce forum?

    Le mieux serait que tu rédiges un pdf propre à base de $\LaTeX$ résumant l'essentiel. et que tu le mettes ici en pièce jointe.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Félicitations a LUDWIG car les documents dont il donne le lien sont effectivement excellents pour comprendre l'esprit dans lequel Leibniz cherchait a approcher la géométrie. J'invite les lecteurs a utiliser ces liens et dans l'ouvrage La Logique de Leibniz il faut aller au chapitre Calcul géométrique dont voici le lien

    https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k110843d/f401.image

    on y verra les efforts désespérés de Leibniz pour se faire comprendre de mathématiciens comme Huygens ou de l'Hopital mais en vain car il n'arrive pas a mettre au point cet outil qui permettra d'écrire les figures comme on écrit les équations de l'algèbre. Ceux ci veulent des preuves et il ne peut pas en donner.

    Or il se trouva que pour le bicentenaire de la naissance de Leibniz une société scientifique de Leipzig, la société Jablonowski, mit au concours la question suivante « Reconstituer et développer le Calcul Géométrique inventé par Leibniz, ou instituer un calcul semblable ». C'est le mémoire de Grassmann, le seul présenté, qui fut couronné le 1° juillet 1846. Il y présentait les vecteurs et il ébauchait ce qui allait devenir plus tard les Espaces Vectoriels dans lesquels malheureusement, contrairement à l'exigence de Leibniz, il faisait aussi intervenir les nombres. Mais son travail ne fut pas pris en considération par les mathématiciens de son époque et il est aujourd'hui considéré comme l'un des grands innovateurs ignorés du XIX° siècle..
  • Bonjour a tous

    Merci a tous ceux qui ont suivi jusqu'ici le fil de notre discussion et merci de la bonne tenue de ce forum. Ceux qui auront un peu de perspicacité auront compris que je ne suis plus de la première jeunesse et d'ailleurs je suis probablement le doyen de ce forum (j'ai eu mon bac en 58). Donc je n'ai plus la fertilité de la jeunesse et maintenant j'ai besoin de vous car lorsque les choses se corsent je suis débordé.

    Les exercices proposés à la page 3 étaient élémentaires. Ils ont seulement démontré la cohérence des notations proposées. L'outil de Leibniz doit permettre de faire mieux.

    Prenons par exemple le théorème suivant.
    La hauteur AH d'un triangle ABC rectangle en A partage ce triangle en deux triangles HBA et HAC inversement semblables à ABC.

    Obéissons a Leibniz c'est a dire écrivons ces figures sans avoir besoin de les représenter.

    Les hypothèses sont
    ABC rectangle en A cad (AB,AC)=)AB,CA(
    HBA rectangle en H cad (HB,HA)=)HB,AH( cad )BH,HA(
    HAC rectangle en H cad (HA,HC)=)HA,CH(

    et il nous faut démontrer au choix que (AB,AC)=)HB,HA( ou que (AB,AC)=)HA,HC(

    Observons qu'il est inutile de poser que H est sur le coté BC puisque
    (HB,HA)+(HA,HC)=)BH,HA(+)HA,CH( cad (HB,HC)=)BH,CH( cad (HB,HC) cqfd

    Quand nous aurons démontré que (AB,AC)=)HB,HA( et que (AB,AC)=)HA,HC( on pourra par exemple utiliser les proportions qui en résulteront pour démontrer Pythagore.

    Mais j'ai beau tortiller les hypothèses dans tous les sens je n'arrive pas a faire la démonstration. Ca me fait effectivement penser au Rubics cube que j'ai lui aussi beau tortiller de toutes les façons sans que ça me donne ce que je cherche.

    Merci de ma part et aussi de la part de Leibniz (la ou il est, il ne me contredira pas !) a ceux qui sauront faire cette résolution.

    Et s'ils trouvent que c'est facile j'ai d'autres Pb pour eux

    Par exemple deux droites AB et CD se coupent en I. Si ABCD sont cocycliques montrer que (IA,IC)=)ID,IB(

    Cordialement
  • Mon cher Pouzergues
    Pour démontrer l'axiome de Pythagore et le transformer ainsi en théorème, c'était bien la méthode suivie autrefois, à ceci près qu'on avait pas besoin de montrer que les triangles en question étaient indirectement semblables au triangle $ABC$, soit dit en passant la notion de similitude indirecte n'était pas dans les programmes de l'enseignement secondaire à cette époque!
    Il suffisait de montrer qu'ils étaient seulement semblables au triangle $ABC$ pour ce faire!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Bonjour a tous

    Inutile de tergiverser, mon hommage à Leibniz fait un flop. Je le regrette évidemment car le sujet me passionne et je pensais sur ce forum trouver au moins quelques autres intéressés. Or le sujet meurt de sa belle mort, sans aucune participation depuis presque une semaine, et les deux défis que j'ai lancés n'ont eu aucun des deux une réponse (entre temps j'ai résolu le premier et je suis en train de chercher à résoudre le second).

    amicalement à tous
  • Pour ce que je comprends du premier message. Je me rappelle avoir vu sur le web la présentation d'un logiciel de démonstration automatique de théorèmes de géométrie qui utilisait le calcul d'aires si je me rappelle bien.
    Ce n'est pas un programme qui vérifie si la démonstration d'un théorème est correcte (genre COQ) mais un programme qui fournit automatiquement un raisonnement pour démontrer un théorème. Hélas je ne me souviens plus de l'url de ce site.
  • Cher Pouzergues,

    Pourquoi la relation (u,v)=)v,-u( ne pourrait-elle pas avoir absolument aucun sens ? Et pourquoi la rapprocher de l'opération $3 - 5$ ? Je n'y vois rien de commun. Si on avait loupé quelque chose en ce qui concerne la géométrie du plan, on s'en serait aperçu non, depuis 2000 ans ?
    Je crois plutôt qu'il faut simplement accepter que des notations - juste des notations - puissent ne rien dire de nouveau, même si leur simplicité d'écriture et leur caractère "rassembleur" questionne.
  • Bonjour,

    Quelle différence entre ce formalisme et le fait d'utiliser des affixes complexes dans le plan euclidien, avec $(u,v)= \dfrac{v}{u}$ et $)u,v(=\overline{(u,v)}$ ?
  • Réponse a toutes les questions sur le site que je veux créer. J'avais fait une longue réponse a Ludwig mais le message a refusé de partir.
  • Peux-tu faire ici un copier-coller de ton message prévu Pouzergues ? Cela m'intéresse de le lire.
  • Mes messages courts passent mais pas mes messages longs Mystère
  • Réponse a GaBuZoMeu

    Tu me demandes Quelle différence entre ce formalisme et le fait d'utiliser des affixes complexes dans le plan euclidien

    La notation (OM,OA)=)OA,OM( est simple et opérationnelle et contient toutes les informations utiles : centre du cercle et rayon et seulement celles ci alors que les complexes sont trop riches d'informations. Pour enfoncer une pointe on n'utilise pas un manteau piqueur mais un simple marteau.
  • Réponse a Ludwig

    Mes messages semblent ici bridés quand ils sont trop longs donc mes réponses a tes questions ne passent pas. Désolé
  • Bonjour,

    Pouzergues, pourrais tu nous montrer un exemple de problème avec sa solution utilisant tes notations, que nous puissions voir sur pièce si c'est plus simple qu'avec des nombres complexes, ou du calcul barycentrique ?
    Autrement dit, je demande à voir ton "marteau" en action à côté du "manteau piqueur", ça me "pique" quelque part.

    Cordialement,

    Rescassol
  • réponse a Rescassol

    Je fais court car je ne sais pas quelle longueur de message m'est tolérée désormais. Donc pas possible de faire ici la démonstration demandée. Mais en fait je fais entre les visiteurs la partition suivante: d'un coté ceux que fascinent les trois relations (u,v)=)u,v( et (u,v)=)v,u( et (u,v) =)u,-v( et les autres. Pour le moment du 1° coté je suis seul.
  • Bonjour,

    Il m'est impossible d'être "fasciné" par des outils au repos, il me faut les voir en action.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Rappel : un message qui ne passe pas peut être envoyé en pièce jointe.
  • Je vais raconter une histoire en espérant qu'elle passera. En 1950 j'étais en 6° et le prof de maths avait posé un pb de géométrie. Je lève le doigt et je propose une solution. Il me regarde quelques instants puis me dit "votre solution est juste (en ce temps-là on vouvoyait même les gosses de 6°! ) mais nous ne la garderons pas car elle n'est pas élégante". Cette idée d'élégance liée a la géométrie fut une révélation pour moi et m'a fait devenir prof de maths. Malgré les années j'ai toujours gardé cette même fascination pour elle. Voila pourquoi le Calcul géométrique de Leibniz m'a plu dés le début alors que je trouve l'analytique "moche" même si elle est efficace. Et j'ai, dans ce même esprit, développé une autre idée que vous trouverez exposée sur le site http://hexamys.free.fr/ ou je trouve aussi très élégante la méthode qui consiste à résoudre un pb de géométrie en seulement 12 lettres.
  • Pouzergues, tu ne me convaincs pas du tout.

    $\dfrac{u}{v}=\dfrac{\overline v}{\overline u}$ traduit bien que $|u|=|v|$
    $\dfrac{u}{v}=\dfrac{\overline u}{\overline v}$ traduit bien que les vecteurs d'affixe $u$ et $v$ sont colinéaires.
    $\dfrac{u}{v}=\dfrac{-\overline u}{\overline v}$ traduit bien l'orthogonalité des vecteurs d'affixes $u$ et $v$

    Et pour ta démonstration
    10° D’un point M situé sur un cercle de centre O
    on voit tout diamètre d’extrémités A et B sous un angle droit
    Démonstration
    Par hypothèse (OM,OA)=)OA,OM( et (OM,OB)=)OB,OM(
    Donc par combinaisons évidentes,
    (MA,OA)=)AM,OM( et (MB,OB)=)BM,OM( donnant (BO,BM)=)OM,BM(
    Mais OB = AO cad BO=OA donc par addition membre à membre
    (MA,OA)+(OA,BM) = )AM,OM(+)OM,BM(
    cad (MA,BM)=)AM,BM( ou mieux (MA,BM)=) MA,MB ( cqfd)
    C'est kif kif
    $\dfrac{m-o}{a-o}=\dfrac{\overline{a-o}}{\overline{m-o}}$ qui donne $\dfrac{a-m}{a-o} = \dfrac{\overline{m-a}}{\overline{m-o}}$,
    $\dfrac{m-o}{b-o}=\dfrac{\overline{b-o}}{\overline{m-o}}$ qui donne $\dfrac{b-m}{b-o} = \dfrac{\overline{m-b}}{\overline{m-o}}$ et $\dfrac{m-b}{a-o} = \dfrac{\overline{m-b}}{\overline{m-o}}$,
    d'où par division membre à membre
    $\dfrac{a-m}{m-b} = \dfrac{\overline{m-a}}{\overline{m-b}}$.
  • Bonjour Pouzergues,
    j'ai bien aimé votre lien et surtout la technique de manipulation proposée...

    Pour ma part, j'avais il y a quelques années étudié l'hexagramme de Pascal et ses développement Steiner, Kirkman, Cayley, Salmon, Plüker, en ayant mise au point une technique tabulaire...

    http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/vol12.html

    puis

    Hexagramma mysticum...

    Actuellement, je suis sur un autre sujet...
    Merci de m'avoir fait partager un agréable instant géométrique...

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Bonjour a Jean Louis

    Je suis allé voir ton site et effectivement ce sont les mêmes sujets qui nous intéressent. Mais aujourd'hui je ne suis plus capable de faire un site comme celui que j'ai fait pour les Hexamys. Dommage, on aurait pu s'encourager l'un l'autre.
    Cordialement
    RP
  • Bonjour GaBuZoMeu

    Je n'essayerai pas de te convaincre car nous sommes dans un domaine ou c'est impossible. Ca me fait penser à la dispute qu'il y eut autrefois entre Leibniz et Newton qui avaient jeté tous les deux les bases du calcul intégral mais avec des notations différentes chacun soutenant évidemment que la sienne était meilleure. L'histoire a tranché et finalement on a gardé les notations de Leibniz plus pratiques. Pour en rester aux anglais ils gardent le système des pieds, pouces, miles, etc pour leurs mesures de longueur et nous n'arrivons pas a les convaincre que notre système métrique est meilleur.

    Donc merci pour ta contribution mais je continue a penser que la notation (u,v) égal à )u,v( ou )v,u( ou )u,-v( est plus légère donc plus facile d'utilisation que celle que tu donnes avec les complexes et dont je ne peux même pas faire un copier coller tant cette notation est compliquée.

    Et dans la notation que je propose l'absence de (u,v)=)v,-u( devient provocante tandis que dans la complexité de la notation par les complexes elle passe inaperçue.
  • Bof. $\dfrac{u}{v}=\dfrac{\overline v}{-\overline u}$ entraîne $u=v=0$, ce qui est embêtant pour prendre des quotients comme pour parler de triangles semblables directement ou indirectement.

    Autre possibilité, toujours avec les affixes complexes : plutôt que $\dfrac{u}{v}$ et $\dfrac{\overline u}{\overline v}$, utiliser $(u:v)$, point de la droite projective complexe $P^1(\mathbb C)$ et son conjugué $(\overline u:\overline v)$. Mais bien sûr, on n'a toujours pas de $(0:0)$.
  • Merci a toi et a tout le forum aussi pour la bonne tenue des échanges. Comme disait Socrate c'est agréable de discuter sans disputer.

    Je ramène tout a Descartes qui devant l'équation (x-2)(x-3)(x-4)(x+5)=0 s'est senti provoqué par le fait qu'on n'attribuait a cette équation que les solutions 2,3 et 4 acceptant que x+5=0 soit absurde. C'est ainsi qu'il a réalisé que l'univers des nombres était a élargir et il les a appelés "nombres faux".

    Je trouve l'impossibilité de (u,v)=)v,-u( aussi provocante et il est sans doute temps aussi d'élargir la conception du plan que nous a laissée Euclide. Au fond l'existence pour une pièce de monnaie d'avoir un coté pile implique forcément qu'elle a un coté face. Faisons nous avec la conception du plan le même oubli que les anciens faisaient en ne considérant les nombres que sur une demi droite ?

    J'aurai les rieurs contre moi mais Descartes lui aussi eut tout les mathématiciens contre lui ... jusqu'en 1800 avec Carnot qui se moquait encore de lui !!!!
  • Gloire à Pouzergues, le Descartes (ou le Leibniz) des temps modernes !

    Au fait, pour Pythagore, avec les affixes complexes $(u+v)(\overline{u+v})=u\overline u + v\overline v$ est bien sûr équivalent à $u\overline v+\overline u v=0$, qui est bien $(u:v)=(\overline u:\overline{-v})$, pourvu que $u$ et $v$ ne soient pas tous les deux nuls.
  • Bonjour Pouzergues,

    merci d'avoir ouvert des points de vue...ce qui est rare de notre temps...

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Je tente le pari que parmi les 900 visites portées au compteur il y en ait un (ou plusieurs, le rêve est toujours permis!) qui soit lui aussi intrigué par cette impossibilité dans le plan tel que nous le concevons de la relation (u,v)=)-v,u(

    Observons que pour les complexes on a longtemps travaillé avec eux sans savoir les interpréter. Il est possible de faire pareil avec la notation bivectorielle qui a été introduite. Je lui ai donné le nom d'anoptrie (étymon privatif a et optos visible donc "qui n'est pas visible"). Comme antécédant j'ai, dans le passé, donné le nom d'hexamys a une figure particulière du plan et je vois que cette appellation est reprise maintenant par l'université et même sur les sites anglophones !

    Il est facile de voir que l'anoptrie est compatible avec les trois relations fondamentales de la géométrie que sont le parallélisme, la perpendicularité et l'isométrie. Mais quelles sont ses propriétés propres?

    Posons nous par exemple la question de savoir si l'anoptrie est transitive cad si u et v sont anoptriques a w est ce que u et v sont anoptriques ? On a (u,v)=(u,w)+(w,v)=)-w,u(+)v,-w(=)v,u(
    Moralité: si u et v sont anoptriques a w alors u et v sont isométriques
  • Je récapitule tous nos échanges et vos observations dans un fichier PDF que vous trouverez a la fin.
    RP
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  • Chers amis

    Mystère mystère mystère. Le compteur continue de tourner et vient de dépasser les 1600 consultations et toujours pas un seul mot d'un de ces visiteurs mystérieux.

    Je vais donc prendre congé de vous en vous remerciant pour votre collaboration du début. Je vous ai exposé un sujet qui me passionne depuis des années sans que j'arrive a trouver une explication a la relation impossible (u,v)=)v,-u( que je ressens à chaque fois que j'y pense comme une véritable provocation.

    Je comptais évidemment trouver sur ce forum au moins un ou deux membres aussi susceptibles que moi qui auraient partagé ma curiosité. Mais ce n'est pas le cas. Dommage.

    J'aurais bien aimé mettre ce sujet sur un forum anglophone mais je ne parle pas l'anglais. Dommage encore.

    Mais qu'on ne s'y trompe pas: tout le mérite doit en revenir à Leibniz qui a si précisément pressenti les pas de géants que nous ferait faire l'introduction d'une écriture des figures de la Géométrie. Mais hélas ce sujet avait la poisse, puisqu' il n'est pas arrivé de son temps a intéresser quelqu'un, et ce sujet continue à avoir la poisse puisque maintenant non plus il n'intéresse personne.

    Amicalement à tous

    R Pouzergues

    PS: Je supprime ici en cette veille de 15 aout le résumé PDF de mes exposés successifs, mais en septembre, avec la rentrée des grandes écoles, je reprendrai ce sujet en postant à nouveau dans un document PDF les grandes lignes de ce Calcul Géométrique que chercha Leibniz. En espérant toujours tomber sur celui qui se passionnera lui aussi pour ce sujet.
  • Bonjour Pouzergues,

    Désolé de ne pas pouvoir te proposer de traduction en anglais.
    pappus m'a parfois reproché de mal "vendre ma marchandise", et je ne lui donne pas tort.
    J'espère donc que tu ne prendras pas en mauvaise part le fait que je me demande si, toi aussi, tu ne pourrais pas augmenter tes chances. Proposer le même contenu qui t'intéresse, sous une forme différente qui, peut-être, amènerait vers toi les personnes avec lesquelles tu sembles vouloir dialoguer ?

    Par exemple, certains passages me font penser à l'expression "argument d'autorité". Qu'Einstein, Leibniz, Descartes aient dit ceci ou cela, nous éloigne du coeur de ton sujet.

    Si l'anoptrie apporte vraiment quelque nouveauté, peux-tu illustrer davantage que par les exemples que tu as déjà fournis obligeamment ?

    Bref, à ta place, je tenterais une version courte, et j'ajouterais des dessins. Tu as raison de dire que les gens reculent devant la nouveauté, mais c'est pour ça qu'il faut les aider à l'aborder, voire les appâter, et ne pas te décourager : les bivecteurs ont l'air bien sympathique !

    Amicalement,
    Swingmustard
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