Deviner la troisième progression harmonique

Swingmustard

Bonjour,
On nous donne deux des progressions harmoniques sur les diagonales d'un quadrilatère complet.
Peut-on deviner la troisième sans dessin, par exemple si on sait que les deux premières sont 3, 5, 15 et 4, 7, 28 ?
Pour vérification, voici quand même un dessin.
Amicalement,
Swingmustard

pappus

Mon cher SwingMustard
En quoi les deux progressions que tu nous exhibes sont elles harmoniques?
Et s'il faut trouver sans dessin, pourquoi en as tu fait un?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Swingmustard

Cher pappus,
Ai-je eu tort d'appeler "progression harmonique" trois nombres dont le deuxième est la moyenne harmonique des deux autres ? Quand $\dfrac{2}{h}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$, on a bien $\dfrac{1}{h}-\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{h}$, donc $a$, $h$ et $b$ ont bien leurs inverses en progression arithmétique, ce qui me paraissait la définition d'une progression harmonique.

Quoi qu'il en soit, me réclamant par exemple de Lebossé-Hémery p. 167, je dis que qu'une division harmonique recèle plusieurs moyennes harmoniques. Noircissant mon cahier de figures dont les sommets ont des coordonnées entières, j'ai constamment des rapports de distances rationnels, donc entiers à un facteur multiplicatif près.
Je rencontre régulièrement les triplets (2, 3, 6), (5, 8, 20) etc...
Ils m'aident à contrôler les divisions harmoniques présentes sur les figures.

Ne connaissant pas la réponse à ma question, j'ai anticipé une réponse négative "Non, on ne peut pas", et si tel est le cas, l'éventuel contradicteur pourra s'inspirer de mon dessin pour en proposer un autre, qui ait les mêmes deux premiers triplets, et un troisième différent du mien.

Si la réponse est positive, effectivement le dessin est inutile, et j'ai soif de connaître la relation entre les trois triplets, ou mieux : d'avoir le feu vert pour la chercher et la trouver tout seul, comme un grand.

Amicalement,
Swingmustard

pappus

Mon cher SwingMustard
Moi j'ai surtout vu naïvement que: $4\times 7=28$ et $3\times 5=15$
Encore une fois tu vends bien mal ta marchandise et on ne devine même pas la question que tu veux poser!!!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Swingmustard

Cher pappus,
N'est-ce pas plutôt que tu me lis à la vitesse de l'éclair ?
Le dessin réunit les progressions
$3, 5, 15$
$4, 7, 28$
$7, 12, 42$.
Poursuivons joyeusement dans la naïveté :
$3+4=7$; $5+7=12$; $15+28=42$ (sic).
Amicalement,
Swingmustard

Swingmustard

Bonsoir à tous,
En espérant être plus clair : pour moi, les progressions harmoniques lisibles sur ce triangle diagonal sont
$h_A=(3,5,15)$, $h_B=(5,8,20)$ et $h_C=(2,3,6)$.
Même connaissant deux d'entre elles, j'ai besoin du dessin pour lire la troisième.
Et vous ? N'avez-vous pas l'impression qu'on aurait assez d'information pour l'exprimer en fonction des deux premières ?
Amicalement,
Swingmustard

pappus

Mon cher SwingMustard
Tu ne sais pas ce qui serait le mieux?
Il est clair qu'une figure est indispensable si tu veux te faire comprendre.
Tu dessines un quadrilatère (complet ou non?) avec un étiquetage de tous les points de ta figure.
Tu dis précisément à tes lecteurs à quels segments de la figure correspondent tes triplets $(3,5,15)$ et $(4,7,28)$.
Ceci fait, tu poses toutes les questions que tu veux.
Au moins là, on peut te comprendre!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Swingmustard

Cher pappus,
$(AC'', AA', AB'')$, puis $(A''B', A''C'',A''B)$, enfin $(C'A'', C'C, C'B''$ me semblent respectivement proportionnelles à $h_A=(3,5,15)$, $h_B=(5,8,20)$ et $h_C=(2,3,6)$, pour le dessin le plus récent.
Le quadrilatère est complet, bien sûr.
Amicalement,
Swingmustard

gerard0

Heu ...si le quadrillage est d'unité 1, on a $AA'=\sqrt{10},\ AB"=\sqrt{73}$, le rapport des deux semble bien différent du rapport de 5 à 15.

Cordialement.

Swingmustard

Merci d'avoir jeté un coup d'oeil, gerard0, mais $A'$ n'est pas sur le quadrillage.
Amicalement,
S.

Dreamer

Bonjour.

Il est vrai que le rapport $\frac{|AB"|}{|AA'|}$ est bien égal à 3, comme le rapport de leurs projections sur BC'.

Malgré tout, c'est particulier un quadrillage d'unité irrationnelle.

À bientôt.

gerard0

Effectivement, erreur de ma part.

Swingmustard

Pappus doit avoir raison, je me fais mal comprendre.
Le quadrillage est tout ce qu'il y a de naturel.

Si vous préférez, on a $(1, \dfrac{AA'}{AC''}, \dfrac{AB''}{AC''})=(1, \dfrac{5}{3}, 5)$, résultat auquel j'ai préféré la présentation $h_A=(3,5,15)$.
Amicalement,
S.

Dreamer

Pas de soucis, j'ai extrapolé maladroitement une irrationnalité à cause de Pythagore.

Je suis d'accord avec les rapports rationnels.

À bientôt.

Swingmustard

La grosse tuile.
$(2, 3, 6)$ et $(5, 8, 20)$ ont cohabité ci-dessus avec $(3, 5, 15)$. Voilà qu'elles fricotent avec $(63, 112, 504)$.
Je crois bien que c'est râpé, les amigos.
Au moins je vais arrêter de cesser d'espérer une formule unique.
Pour ceux que ça intéresserait, quelques exemples rencontrés.
Bonne nuit,
Swingmustard

Swingmustard

Bonjour à tous.
Patatras à l'envers ! Tout va s'arranger.
Deux progressions harmoniques décrivent une même division harmonique, suivant le sens dans lequel on la parcourt.
J'ai voulu styliser l'ensemble, en gardant comme représentante celle des deux ayant le plus petit premier terme.
Exemples : à (3, 4, 6), j'ai préféré (2, 3, 6). À (30, 35, 42), j'ai préféré (7, 12, 42).
C'est bien joli, mais ça fait perdre une info capitale liée aux permutations circulaires...

Cette dernière expression vous mettra plus sur la voie que la pseudo-indication opportuniste suivante que, pourtant, je ne peux m'empêcher de vous donner. Ce week-end, soyons plus pentus que côtistes, car la côte, c'est presque la cote, qui est une longueur. Tandis que la pente est un rapport de longueurs... Ainsi vous pourrez dire avec moi : bien sûr, qu'on peut deviner la troisième progression harmonique ! Depuis bientôt deux mille ans au moins, d'ailleurs. Mais stop avec les indications.
Amicalement,
Swingmustard

Swingmustard

Désolé, un message est parti par mégarde.

Je n'arrive pas à le supprimer.

J'en profite : bravo et merci pour tout ce travail de rénovation / changement !

Amicalement,

Swingmustard

pldx1

Bonjour, 

On considère le quadrilatère formé par le trigone $ABC$ et par la tripolaire du point $f:g:h$. On a donc neuf points: les sommets du triangle, les coceviens de $F$ et le triangle diagonal du quadrilatère, qui n'est autre que l'anticévien de $F$. Cela donne:
\[ A,B,C,A',B',C',A'',B'',C''\simeq 
\left[ \begin {array}{ccc} 1&0&0\\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end {array} \right] ,
\left[ \begin {array}{ccc} 0&-f&f\\ g&0&-g\\ -h&h&0\end {array} \right] ,
\left[ \begin {array}{ccc} -f&f&f\\ g&-g&g\\ h&h&-h\end {array}  \right] \]
On calcule les trois lignes $ \left[
\dfrac{\overrightarrow{AB''}}{\overrightarrow{AB''}},
\dfrac{\overrightarrow{AB''}}{\overrightarrow{AA'}},
\dfrac{\overrightarrow{AB''}}{\overrightarrow{AC''}} \right] $ Cela donne
\[ \left[ \begin {array}{ccc} 1&{\dfrac {h-g}{f-g+h}}&{\dfrac {h-f-g}{f-g+h}} \\ 1&{\dfrac {f-h}{f+g-h}}&{\dfrac {f-g-h}{f+g-h}} \\
1&{\dfrac {g-f}{g+h-f}}&{\dfrac {g-f-h}{g+h-f}} \end {array} \right] \]

Multiplier par la colonne $1:-2:1$ donne la colonne nulle, prouvant l'harmonicité. Pour ce qui est des prévisions, c'est facile. L'élément $[3,1]$ vaut 1, parce que les constantes ne changent pas (on a, bien entendu, supposé que  $F$ n'est pas sur un côté du trigone de référence). L'élément $[3,3]$ vaut ce qu'il faut pour que le produit des éléments de la 3ème colonne soit $-1$. Quant à l'élément [3,2], ne serait-ce pas la moyenne de ses deux voisins ?

Cordialement, Pierre.