Les sorciers du bus
La discussion initiée par JP2021 sur les implications logiques m’a fait penser à ce (célèbre) puzzle original ?
L’autre jour, j’étais dans le bus et j’écoutais la conversation de deux sorciers (un bleu et un rouge) assis devant moi.
$\textbf{Sorcier bleu}$: J’ai un nombre entier positif d’enfants dont les âges sont des entiers positifs.
La somme de ces âges est le numéro du bus et leur produit est mon âge.
$\textbf{Sorcier rouge}$: Très intéressant ! Si vous me disiez votre âge et le nombre de vos enfants, est-ce que je pourrais en déduire les âges respectifs de vos enfants ?
$\textbf{Sorcier bleu}$: Non, vous ne le pourriez pas !
$\textbf{Sorcier rouge}$: Ah ! Mais au moins, maintenant, je connais votre âge !
$\textbf{Question}$ Quel est le numéro du bus ?
...
L’autre jour, j’étais dans le bus et j’écoutais la conversation de deux sorciers (un bleu et un rouge) assis devant moi.
$\textbf{Sorcier bleu}$: J’ai un nombre entier positif d’enfants dont les âges sont des entiers positifs.
La somme de ces âges est le numéro du bus et leur produit est mon âge.
$\textbf{Sorcier rouge}$: Très intéressant ! Si vous me disiez votre âge et le nombre de vos enfants, est-ce que je pourrais en déduire les âges respectifs de vos enfants ?
$\textbf{Sorcier bleu}$: Non, vous ne le pourriez pas !
$\textbf{Sorcier rouge}$: Ah ! Mais au moins, maintenant, je connais votre âge !
$\textbf{Question}$ Quel est le numéro du bus ?
...
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Réponses
df et gebrane se rencontrent dans un bufé organisé par raoul-s
gebrane annonce à df qu'il a 3 soeurs
Curieux, raoul-s demande leurs âges.
Et gebrane répond ainsi:
Si on multiplie leurs trois âges, on obtient 36.
df , perplexe, lui rétorque:
Je ne peux pas déterminer leurs âges avec si peu d'information.
gebrane ajoute :
La somme de leur âges est égale au numéro de la maison de raoul-s
df déclare :
Non, je ne peux toujours pas déterminer leurs âges.
Alors,gebrane regarde son ami raoul-s dans les yeux et dit :
L'aînée est blonde...
Le visage de son ami raoul-s s'éclaire et il annonce :
Ça y est ! Maintenant je sais. l’aîné a neuf ans et les deux autres partagent l'age de deux ans
Comment raoul a su l'âge de ma sœur aînée
À la main j'ai trouvé 10 triplets distincts possibles, il y en a deux dont la somme vaut 13: (1,6,6) et (2,2,9).
L'info "il y a une sœur plus âgée que les deux autres" permet de conclure.
Par contre celle de df il y a trop d'inconnues, les 2 triplets ci-dessus répondent à la question, donc le numéro du bus serait 13. Mais je n'arrive pas à me convaincre que cette solution est unique.
Avertissement : spoiler
Voici la réponse à l'énigme en lettres blanches : Le numéro du bus est le 12 et le sorcier a 48 ans. Les âges de ses enfants sont [4,4,3,1] ou [6,2,2,2].
Montrons que c'est bien la solution. On utilise la lettre $a$ pour désigner les âges possibles du sorcier bleu, $e$ pour son nombre d'enfants et $b$ pour le numéro du bus. Pour les vraies données, on rajoute une barre au-dessus de la lettre ($\bar a$ est le vrai âge du sorcier bleu, etc.). On ne suppose pas de limite sur le nombre d'enfants ou l'âge des personnes (après tout, on parle de sorciers ; tout est possible !). Et on suppose que les deux sorciers connaissent le numéro du bus.
- Soit $\cal T$ l'ensemble des triplets $t=(a,e,b)$ tels qu'il existe au moins deux familles (i.e. liste des âges des enfants) distinctes associées à $t$. La réponse à la question du sorcier rouge montre que $(\bar a,\bar e,\bar b) \in \cal T$.
- Soit ${\cal B} := \{b \mid \exists! a, \exists e, (a,e,b) \in \cal T\}$. La dernière réplique du sorcier rouge montre que $\bar b\in\cal B$.
Pour démontrer que $\bar b=12$, il faut donc montrer que ${\cal B} =\{12\}$.Si tu dis que le numéro de bus est nécessairement 12, je crois qu'il y a une faille quelque part dans ton raisonnement , rappelons ce discours
Si je te donne 36 comme age du sorcier et 3 comme nombre de ses enfants, tu verras qu'on ne peut pas trancher: déduire les âges respectifs des 3 enfants: il y a deux situations. Mais dans cette situation le numéro du bus est 13 !
…
Un petit programme en Maple donne par exemple qu'avec au plus 30 enfants il y a deux solutions pour un âge<200.
a) le bus 12 avec un âge de 48 ans
b) le bus 56 avec un âge raisonnable de 192 ans pour un jeune sorcier.
Et un sorcier peut-être un sacré chaud lapin avec de multiples compagnes à qui il aura fait de multiples enfants et dans les mêmes périodes.
Enfin, bon....c'est cette histoire de sorcier qui me pose des questions et me fait délirer.
Si c'est une histoire de bons pères de familles sans histoires, monogames et fidèles, on peut en effet s'accorder sur la solution (12,48).
Pour ceux qui comme moi aiment bien ces problèmes logiques , il y en a un sur le site Diophante : casse-tête du mois . Il n'est pas très difficile mais il serait bon de pas révéler la solution ici avant la fin du mois :-)
Domi
a) (bus 12,âge 48) avec 4 enfants :
[1, 3, 4, 4] ou
[2, 2, 2, 6]
b) (bus 56,âge 192) avec 30 enfants :
[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 12, 16] ou
[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 24]
C'est très "réaliste" comme situation pour un si jeune sorcier plein de vigueur ;-)
Domi
…
Domi
Je crois comprendre. En tout cas tu as mieux compris le langage des sorciers que moi...je vais finalement devoir lire Harry Potter.
Enfin je me souviens que ce livre contenait des problèmes dans le genre, assez tordus car on a l'impression que les infos données ne servent à rien mais ils n'étaient pas aussi tordus que celui-ci.
Toute l'histoire concerne deux tribus : les purs et les pires. Les purs disent toujours la vérité et les pires mentent toujours. Il y a un type (Abercrombie) qui débarque sur leur île et doit avoir affaire avec eux et leurs bizarreries... autant d'énigmes logiques à résoudre. Mais ce n'est que vers la fin qu'on trouvait des énigmes dans le genre de celle de df.
Je regrette de l'avoir balancé.
Raoul.s, ce qui est terrible dans les ouvrages de Smullyan, ce sont les déclinaisons justement: il y a les purs et les pires mais il y a aussi ceux qui mentent en croyant dire la vérité, ceux qui disent la vérité en étant convaincu de mentir, il y a les versatiles, ceux qui viennent du Nord ou du Sud, ceux qui refusent de répondre à certaines questions etc…
On raconte une histoire à propos du philosophe grec Epiménide qui aurait un jour fait un pèlerinage pour rencontrer Bouddha.
Épiménide lui aurait demandé:
« Quelle est la meilleure question qui puisse être posée et quelle est la meilleure réponse qu’on puisse lui faire ? »
Bouddha aurait répondu:
« La meilleure question qui puisse être posée est la question que tu viens de poser et la meilleure réponse qu’on puisse lui faire est la réponse que je suis en train de te faire. »
(Ça y est, je suis fou !!, Raymond Smullyan.)
…
Il n'est pas dans mes intentions de court-circuiter ce site ami mais de comparer mon approche avec celle du site ( nous avions déjà eu une différence d'interprétation pour un problème de classement il y a quelque temps ) .
Domi
PS : le texte en clair :
Zig a rendu visite à Alice (A), Benjamin (B) et Cunégonde (C). Il a inscrit sur le front de chacun d’eux un entier positif en leur signalant que l’un des trois entiers est la somme des deux autres . Le dialogue suivant s’établit entre les trois amis :
Alice : Je ne connais pas mon nombre.
Benjamin : Je ne connais pas mon nombre.
Cunégonde : Je ne connais pas mon nombre.
Alice : Je connais mon nombre qui est 95 .
Quels sont les nombres écrits sur les fronts de Benjamin et Cunégonde ?
Domi
Domi
Domi
Pour Domi, les anciennes conventions françaises faisaient la distinction entre nombres positifs, nombres négatifs et le zéro, soit positif et négatif, soit ni positif ni négatif.
Je renvoie aux Lebossé-Hemery d'avant les réformes de 1967 pour les détails.
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Je sais que l'usage fait évoluer continuellement la signification des mots en mathématique(s) comme ailleurs . On doit pouvoir tout de même supposer qu'un texte proposé aujourd'hui à un public francophone utilise les conventions actuelles .
Domi
Par contre, il se fait que l'évolution de certaines notions n'est pas homogène sur tout le globe, d'où parfois certaines incompréhensions (légitimes, cela va sans dire).
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Ceci dit , il faut revenir au(x) problème(s) .
Domi
Pour cacher, tu peux peut-être mettre en blanc sur blanc à l'edit?
Idem pour les éventuels autres solutions aux autres énigmes du fil.
J'aimerais surtout une confirmation pour le cas où on accepte le 0 car on trouve des solutions pour l'autre problème dans la littérature .
Domi
Domi
57 pour Benjamin et 38 pour Cunégonde
Domi
Pour ceux qui cherchent encore , la solution est complètement dans l'indice que je donnais précédemment , il suffit de distinguer les cas $B>C$ et $B<C$ sans oublier que $B+C=95$ ..
Domi