Valeurs propres et modes propres - vibrations

Aguelord

Bonjour
En école d'ingénieurs on étudie la mécanique vibratoire et j'ai du mal à comprendre mathématiquement ce qui suit.

Lorsque l'on obtient un système matriciel (par exemple après écriture des équations d'équilibre) de la forme suivante :
$$
[A(\omega)]\{X\}=\{F\},

$$ on se ramène à une écriture sans second membre, car on veut étudier les états libres de la structure, i.e on veut étudier ses modes propres :
$$
[A(\omega)]\{X\}=\{0\}.

$$ D'après ce que j'ai compris, pour considérer les vibrations réelles de la structures (en gros en éliminant tout de suite la solution triviale), on veut que $[A]$ soit non-inversible (sinon à tous les coups on retombe sur la solution triviale $\{X\}=0_{\mathbb R^n}$), i.e on veut résoudre $$\det([A(\omega)])=0.

$$ On appelle valeurs propres, dans toute cette théorie, les pulsations qui annulent ce déterminant (qui peuvent être complexes, ce ne sont pas encore les pulsations propres). Pourtant d'après mes souvenirs de prépa, il ne me semble pas que pour une matrice non-inversible, les maths nous disent que les valeurs propres annulent le déterminant de la matrice (mais le déterminant de $X\cdot I_n-A$ plutôt)... parce que $\prod\lambda_i=\det([A])$. Si $\det([A(\omega)])=0$, ça veut dire qu'au moins une des valeurs propres est nulle, ce qui n'est pas intéressant.

En plus, les déformées modales sont les vecteurs propres associés aux valeurs propres, donc le terme "valeur propre" ne peut pas être un abus de langage, c'est une réalité mathématique que je ne saisis pas.
Voilà, si quelqu'un peut m'éclairer, merci beaucoup !

Aguelord

NB : quand je dis "ça veut dire qu'au moins une des valeurs propres est nulle, ce qui n'est pas intéressant". C'est faux, en ayant une des valeurs propres nulles, on a une équation de la forme $\lambda(\omega)=0$, ce qui nous donne une info supplémentaire sur les pulsations propres. Mais cela ne résout pas mon problème de compréhension.

Aguelord

Aussi, pour trouver les déformées modales de la structure, doit-on trouver les $\vec V_i$ tels que $$[A](\omega)\cdot \vec V_i=\omega_i\vec V_i,
$$ avec $\omega_i$ les "valeurs propres" trouvées par annulation du déterminant ou bien les valeurs propres réelles de la structure ? (sauf si ce sont les mêmes, mais j'en doute fortement).

Poirot

On ne peut pas vraiment te répondre, comment est-ce que ton système dépend de la variable $\omega$ ? Si ton système est de la forme $(M-\omega I_n)X=0$, on voit pourquoi on appelle les $\omega$ intéressants des valeurs propres ! Sinon, c'est sûrement juste une appellation physicienne inspirée du cas ci-dessus mais qui n'a rien à voir avec la notion mathématique de valeur propre.

YvesM

Bonjour,

$AX=F$ puis $AX=0$ pour les états libres (non exigés).

Si $A$ est inversible, seules les solutions nulles existent. Elles ne correspondent pas à tous les états du système.

On impose donc la nullité du déterminant $\det A=0.$

C’est la même équation que $\det (A- \lambda I)=0$ avec $\lambda=0.$

Il s’agit donc de la même équation aux valeurs propres dans laquelle on impose la nullité de la valeur propre, qui elle-même impose la nullité du déterminant, qui empêche l’inversibilité, qui évitent les solutions nulles partout et tout le temps.

Les $\omega$ qui annulent $\det A(\omega)$ ne sont pas les valeurs propres de la matrice $A.$

Il ne faut pas confondre les notions. On continue de parler de mode propre, ou mode résonnant, mais les fréquences ou pulsations propres sont celles qui annulent le déterminant et correspondent donc à la valeur propre $0.$

Aguelord

Merci pour vos réponses. Dans mes cours, on appelle cela les valeurs propres, d'où ma question. Les $\omega$ annulant le déterminant pouvant être complexes, les pulsations propres sont leurs parties imaginaires (en étudiant seulement les pulsations positives).

paul18

La recherche des fréquences de résonnance (fréquences propres) et des déformées modales (modes propres) se ramènent à un problème aux valeurs propres.

Le système à résoudre est celui qui a été évoqué plus haut : $\det \left( K - \omega^2 M \right) = 0$, où $K$ est la matrice de raideur, et $M$ la matrice de masse.

Telle quelle, la matrice $\left( K - \omega^2 M \right)$ est singulière, ce qui correspond en pratique à des mouvements de corps rigides : c'est la configuration "libre-libre" (cas d'un avion en vol par exemple) ; ce sont les conditions aux limites (encastrements typiquement) et pour lesquelles on supprime les lignes et les colonnes correspondantes qui rendent la matrice non-singulière.

• le calcul des valeurs propres donne les pulsations (et donc les résonances), c'est-à-dire les fréquences propres
• les vecteurs propres donnent la forme modale, c'est-à-dire les modes

Tu verras également qu'un problème de flambage se ramène au même calcul (et donc au même solveur) où $\omega^2$ est remplacé par $\lambda$, la charge critique.

En simplifiant, les solveurs éléments finis calculent les valeurs propres et les vecteurs propres d'une matrice creuse en analyse modale (et en flambage linéaire).

Un conseil de lecture "pratique" : "MATLAB Codes for Finite Element Analysis", Ferreira, A. J. M., Fantuzzi, Nicholas

paul18

Des résultats de modes propres ici