Remarques logiques sur Cayley Hamilton

christophe c

J'ouvre ce fil pour éviter les moyades dans le fil L1-L2. Je regroupe ici de manière plus froide, des choses qui ont été échangées dans un autre fil. Ici présent, c'est plus adressé à la cible des gens intéressés par "la logique" des choses. Ces échanges ont eu lieu en marge du serpent de mer : $<< det(A-A.id)>>$ célèbre pour provoquer le réflexe estudiantin de confondre $\bullet$ dans $A\bullet id$ avec $\circ$, les amenant à utiliser $A\circ id=A$.

1/ Soit $K$ un corps, $n$ un entier $>1$, et $A\in M_n(K)$.

2/ Rappel: $(M_n(K), +, \circ)$ est un anneau non commutatif, mais le sous-anneau le plus petit qui contient les homothéties et $A$ est commutatif et je le note $B$.

3/ $T:=$ la matrice à coefficient dans $M_n(B)$ obtenue en multipliant chaque coefficient de $A$ par l'identité de $M_n(K)$.

4/ Je note aussi $P$ le polynôme caractéristique de $A$.

5/ Si $L$ est un surcorps de $K$ alors le polycar de $A$ calculé dans $M_n(L)$ est $P$ aussi.

6/ Dans la suite, je suppose donc $K$ algébriquement clos.

7/ Soit $Q$ un polynôme de degré minimum possible tel que $Q(A)=0$. Soit $a$ un racine de $Q$ et $R$ tel que $Q=(X-a)R$.

8/ $R(A)\neq 0$. En prenant $u\in K^n$ tel que $R(A)(u) \neq 0$, on obtient $A(R(A)(u)) = aR(A)(u)$, ce qui fait de $a$ une valeur propre de $A$.

9/ Il suit que $det(A-a.id) = 0$

10/ Ainsi, toute racine de $Q$ est une racine de $P$. Donc il existe $n\in \N: P^n(A)=0$. (Ce passage est facile, c'est pareil pour les entiers).



Remarque:
- je n'ai pas été inspiré
- j'ai utilisé quelques bases sur les surcorps, mais les plus "plates"
- j'ai utilisé la dimension sur $K$ de l'espace $M_n(K)$ qui m'a permis de dire qu'il existe au moins un polynôme non trivial annulant $A$ du fait que la famille $n\mapsto A^n$ ne peut pa sêtre libre.
- Et finalement sans rien faire, j'ai obtenu $P^n(A)=0$, ce qui n'est pas tout à fait le théorème de Cayley Hamilton qui dit que $P(A)=0$.


La puissance cachée est le point6. Je ne détaille pas, tout le monde sait qu'il est à la fois facile, mais "brutal" d'étendre des corps.

11/ Voici maintenant une Lapallissade: $A$ est racine de tout polynôme qui l'annule. On va passer à l'anneau $B$ et oublier le corps $K$.

12/ Pour les même raisons, $A$ est une valeur propre de $T$ et donc $det(T-A.id)$ est le déterminant d'une matrice non injective. IL suit que si $B$ était un corps (science-fiction), on aurait $P(A)= det(T-A.id) = 0$. Mais dans un anneau quelconque, un déterminant de matrice non injective est juste un diviseur de $0$ (un élément singulier, ça s'appelle).

13/ On a en fait un peu mieux: on ne peut pas étendre l'anneau et rendre cet élément inversible, on a donc qu'il est pas seulement singulier, mais nilpotent.

14/ A nouveau on obtient $P^n(A)=0$ et non pas $P(A)=0$ ce qui est "proche" du théorème de Cayley Hamilton.

15/ Je termine avec une question que je référence dans "il est facile de":

La matrice (qui vit dans $M_n(B)$ ) suivante: $T-A.id$ est-elle forcément nilpotente?

Georges Abitbol

Je n'ai pas bien compris qui est $T$ ?

christophe c

C'est juste $A$ mais regardée à coefficients dans l'anneau $B$ plutôt qu'à coefficients dans l'anneau $K$.

marsup

Si $A =
\begin{bmatrix}
a & c \\
b & d \\
\end{bmatrix}
\in M_2(\K)
$, alors $T =
\begin{bmatrix}
a\cdot I_2 & c\cdot I_2 \\
b\cdot I_2 & d\cdot I_2 \\
\end{bmatrix}
\in M_2\big(M_2(\K)\big)
$.

christophe c

Ah bin, je revenais mettre un lien vers : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2228212,2233336#msg-2233336

Merci marsup d'avoir posté aussi du coup.