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Conjecture de Frankl version infini

CC m'a souvent dit qu'il doutait très fortement qu'il existât un énoncé qui généralise de façon pertinente la conjecture de Frankl pour des ensembles infinis. J'ai senti que c'était pour des raisons qui m'échapperaient même s'il me les expliquait... mais en ajoutant quelques hypothèses très simples (qui n'ont pas d'incidence sur l'énoncé fini) je n'arrive pas à trouver de contre-exemple infini à l'énoncé ainsi généralisé :


Soit $F$ un ensemble de parties de $E$. Pour $x\in E$ on note :
$F_x=\left\{f\in F, x\in F\right\}$ et $F^c_x$ son complémentaire dans $F$.

On suppose que :
1) pour tout $G\subset F$, $\bigcap G\in F$
2) Il n'existe aucune chaine dans $C\subset F$ tel que $\bigcup C^c\subset \bigcap C$


QUESTION : Existe-t-il $x\in X$ tel que $card(F_x^c)\geq card(F_x)$?

[Edit : merci CC j'avais inversé l'innegalité]

La conjecture de Frankl dit que si $F$ est de cardinal fini, la réponse est Oui.


La conjecture est habituellement énoncée pour l'union, mais j'ai machinalement écrit la version intersection (qui m'est plus familière et qui est plus en adéquation avec beaucoup notions standard sous un certain angle) mais ça n'a aucune importance évidemment, les deux énoncés sont parfaitement duaux l'un de l'autre.

Remarquons que 1) impose une intersection quelconque et pas seulement finie, bien sur dans le cas fini cette distinction est sans intérêt.
Par contre, notons que 2) est nécessaire AUSSI dans le cas fini : en il y a un unique cas qui pose problème : le cas $F=\left\{E\right\}$.

Les deux exemples typiques qui "ne marchent pas à l'infini" habituels (en tous cas pour moi) sont
A) les parties co-finies d'un ensemble infini non dénombrable
B) une chaine infinie

A) vérifie 2) et pas 1) et B) ne vérifie pas 2 (on peut la compléter pour qu'elle vérifie 1)

Bien sûr on peut affiner ces deux exemples typiques : pour A) prendre un ultrafiltre ou plein d'autres trucs mais qui sont stables par intersection finie et non pas quelconque et pour B) considérer une famille finie dominée par chaque élément d'une chaine infinie, mais ça ne vérifiera pas 2)


Donc si vous avez un contre-exemple infini qui vérifie 1 et 2 mais pas la QUESTION ça m'intéresse... je suis sur qu'il doit y en avoir pleins, autrement CC ne m'aurait pas dit ce dont je parle au début...

Réponses

  • Il y a plusieurs erreurs de frappe qui rendent difficile la compréhension de ce que tu veux demander. Par exemple il y a autant d'ensembles fini à contenir 3 que d'ensembles finis à ne pas le contenir (dans $\N$) alors que tu présentes ça comme un contre-exemple.

    Et j'imagine que tu as involontairement retourné l'inégalité visée, vu que tu as choisi l'intersection. Avec l'intersection, ça dit que (en dehors de cas triviaux (ou infinis!!) pour tout ensemble stable par intersection et ne contenant que des parties de $E$, il y a un $x\in E$ qui a pas plus d'ensembles à le contenir comme élément que d'ensembles à ne pas le contenir

    Et ta volonté pour passer à l'infini, c'est d'ajouter quelques menues contraintes pour éviter de tomber sur des contre-exemple triviaux comme par exemple $\N$ (dont les éléments sont des sous-ensembles) et tel que pour chaque entier $n$, il n'y a qu'un nombre fini d'entiers à ne pas le contenir et un nombre infini d'entiers à la contenir, bien qu'il soit stable par intersection)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Peut-être que la condition 2 peut même être remplacée par $F$ treilli complet ne contenant pas $E$ $F$ n'est pas une chaine


    Ouhlala je me rend compte que je l'ai appelé $X$ plus haut.... je corrige
  • A CC avant de lire... est ce que tu viens juste de poster ? Simple curiosité anthropologique
  • @CC merci pour la faute de frappe


    En fait je n'ajoute même pas vraiment de contrainte, je traduis juste pour l'infini....


    La notion de stabilité par intersection peut être interprétée de deux façons, soit intersection finie, soit i intersection quelconque (intersection denombrable ou autre serait clairement une prise de position qui fait plus que 'traduire' et en plus ça ne marche pas il y a des contre-exemples faciles avec intersection denombrable)

    Dans le 1) je dis juste que j'interprète par intersection quelconque

    Et le 2) c'est la version infinie du cas du singleton (qui ne verifie PAS Frankl) je ne pense pas que ça soit un truc ad hoc et pour moi $\N$ dont tu parles est en fait moralelent "un seul élément" façon de parler, évidemment. Quoi qu'on pourrait peut-être donner un sens à cette façon de parler, en considérant non plus les éléments de $F$ mais les chaines. Je me souviens que j'avais eu cette idée un jour, mais Jerome m'en a tout de suite détourné par un slogan et j'ai aussitôt laissé cette piste. Je vais y réfléchir un peu....comme ça pour voir.
  • @CC je viens de réaliser que les cofonis ne sont pas un contrexemple.... merci
  • Il n'empeche que je n'arrive pas à obtenir un contre-exemple infini, même avec cette simple et unique contrainte : $F$ n'est pas une chaine....
    Quelqu'un a une idée?
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