Matrice trigonalisable

OShine

Bonsoir
On trouve $\chi_A(X)=(X-2)^3$ donc $sp(A)=\{2\}$

Je ne comprends pas pourquoi $V$ doit appartenir à $Im(A-2I_3)$ :-S
Pour moi il doit appartenir à $\ker(A-2I_3)$ car on a $AV=2V$.

Par ailleurs, le corrigé dit que $U$ et $V$ forment une base de $E_2(A)$. Moi je trouve que $E_2(A)= Vect \left( \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \right)$.

raoul.S

$V=(A-2I_3)W$ donc il est bien dans l'image...

OShine

D'accord merci j'ai compris.

Thierry Poma

@OS : je t'invite à voir s'il n'existe pas une autre façon de faire.

OShine

La deuxième méthode utilise ce que tu m'as expliqué. On pose la dernière colonne $\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{pmatrix}$ et on utilise $Tr(A)=14-7-1=14-8=6$
Or $Tr(A)=-6+\gamma$ donc $-6+ \gamma=6 \implies \gamma =12$

Et on résout le système $AW=\alpha U + \beta V + 12$

Thierry Poma

@OS : attention !!!! Sois plus attentif.

OShine

Je ne vois pas ce qui est attendu pour la deuxième méthode.

Celle du livre m'a l'air bien.

Thierry Poma

@OS : voyons... Comme dans l'autre fil et pour les mêmes raisons évoquées, l'on a\[\mathrm{tr}(A)=14-7-1=\mathrm{tr}\left(\left(\begin{array}{rrr}2&0&\alpha\\0&2&\beta\\0&0&\gamma\\\end{array}\right)\right)=2+2+\gamma\text{, d'où }\gamma=2\]Les réels $\alpha$ et $\beta$ sont à déterminer de telle sorte que\[A\,w=\alpha\,u+\beta\,v+2\,w\]

OShine

Oui c'est vrai merci, j'ai écrit des bêtises :-o