Corps finis - permutation
dans Algèbre
Je bute sur un exercice. Soit $K$ un corps fini de cardinal $q$, et $x$ un élément de $K$. On pose $f_x= - \Pi_{z \in K, z \ne x} (X -z) \in K[X]$.
Dans le corrigé, il est dit que $f_x(y)=0$ si $y \ne x$ (ok pour ça) et $f_x(y)=1$ si $y=x$.
Il me semble qu'on applique une permutation circulaire des racines de $X^q-X=-(X-x)f_x$ pour écrire $f_x(x)=- \Pi_{z \in K, z \ne x} (x -z)=- \Pi_{y \in K, y \ne 0} (y)=-(-1)=1$ (en posant $y=x-z$).
Comment faire pour le montrer rigoureusement ?
Merci d'avance.
Dans le corrigé, il est dit que $f_x(y)=0$ si $y \ne x$ (ok pour ça) et $f_x(y)=1$ si $y=x$.
Il me semble qu'on applique une permutation circulaire des racines de $X^q-X=-(X-x)f_x$ pour écrire $f_x(x)=- \Pi_{z \in K, z \ne x} (x -z)=- \Pi_{y \in K, y \ne 0} (y)=-(-1)=1$ (en posant $y=x-z$).
Comment faire pour le montrer rigoureusement ?
Merci d'avance.
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Réponses
D'où $f_x(x)=1$.
P.S. : J'ai prouvé le truc d'une autre façon dans mon message précédent.