Formule d'adjonction dans le cas non compact

genus

Soit $M$ une surface complexe non compacte et $S$ une surface de Riemann compacte sans bord plongé dans $M$.
Je sais déjà comment prouver l’égalité de fibrés en droites suivante :
$$
\Omega^2_{M}|S =\Omega^1_S \otimes N^*_S,

$$ où $\Omega^2_{M}|S $ désigne le fibré vectoriel canonique de $M$ restreint à $S$ et $\Omega^1_S $ le fibré canonique de $S$ et $N^*_S$ et le dual du fibré normal de $S$ dans $M$.
Question : est-il possible de déduire la formule suivante :
$$
K_M.S + S^2 = 2g-2

$$ en terme de multiplicité d'intersection de diviseur, $g$ est le genre de $S$ et $K_M$ le diviseur canonique de $M$.

Merci de votre aide.