Quelle galère à écrire ! On compare au pire des cas, et au meilleur des cas
$$
[x\le X_1\le x+h] \cap \bigcap\limits_{i=2}^{j-1} [X_i\le x] \cap [X_j > y+x+h] \qquad \qquad~\\
~\qquad
\subset
[x\le X_1\le x+h] \cap \bigcap\limits_{i=2}^{j-1} [X_i\le X_1] \cap [X_j > y+X_1] \qquad ~\\
~\qquad \qquad \subset
[x\le X_1\le x+h] \cap \bigcap\limits_{i=2}^{j-1} [X_i\le x+h] \cap [X_j > y+x]
$$
et puis après on passe aux probabilités, et on voit apparaître des séries géométriques.
Pour la borne de gauche, on passe au produit des probabilités, il y a une somme géométrique
$\sum_{j=2}^{\infty} (1- e^{ - \lambda x} )^{j-2} = \dfrac{1}{ e^{ - \lambda x} } $
Réponses
$\begin{align*}
\bigcap_{k=2}^{n} \{ X_k \leq X_1 \} &=
\left[ \{ \bigcap_{k=2}^{n} X_k <X_1 \} \cap
\{X_1 <t \} \right] \cup \left[ \{X_1 >t \} \cap \{ \bigcap_{k=2}^{n} X_k <X_1 \} \right] \\
&\subset \left[ \{ \bigcap_{k=2}^{n} X_k <t \} \cap
\{X_1 <t \} \right] \cup \left[ \{X_1 >t \} \right]
\end{align*}
$
1 b)
$
\begin{align*}
P(Z_2 >Z_1) &= P( \bigcap_{k=2}^{\infty} \{ X_k \leq X_1 \} ) \\
&= \lim_{n \to \infty} P( \bigcap_{k=2}^{n} \{ X_k \leq X_1 \}) \\
&\leq \lim_{n \to \infty} F(t)^n + 1 -F(t) \\
&\leq 1- F(t) \\
&\underset{t \to \infty} \to 0 \\
\end{align*}
$
donc $P(Z_2 >Z_1)=1$
2 a) $[Z_1 \leq x+h ] = [Z_1 \leq x+h ] \cap [ Z_1 \leq x \cup Z_1 >x ] $
2 b)conséquence de (a)
(c)
$ [x <Z_1 \leq x+h ] \cap [ x \leq Z_1 \leq x+h ] = \bigcup_{i=2}^{ \infty} [x <Z_1 \leq x+h ] \cap [ x \leq Z_1 \leq x+h ] \cap [ X_2,.. X_{-1}i <X_1 \cap X_i > X_1] $
(d) et (f) $\dfrac{f(x) ( 1- F(x+y)}{ 1- F(x) }$ par encadrement
(f) $ \dfrac{ \partial \phi}{ \partial x } (x,y)= \lambda e^{- \lambda(x+y) }$
$ \int_{0}^{x} \dfrac{ \partial \phi}{ \partial u } (u,y) du = \phi(x,y) $ c'est l'intérêt de l'exercice, plutôt que faire un calcul direct.
3b) On fait $x\to \infty$ donc $Z_2-Z_1 \sim \large \varepsilon( \lambda)$
(c) La fonction de répartition du couple est égale au produit des fonctions de répartition marginales.
$$
[x\le X_1\le x+h] \cap \bigcap\limits_{i=2}^{j-1} [X_i\le x] \cap [X_j > y+x+h] \qquad \qquad~\\
~\qquad
\subset
[x\le X_1\le x+h] \cap \bigcap\limits_{i=2}^{j-1} [X_i\le X_1] \cap [X_j > y+X_1] \qquad ~\\
~\qquad \qquad \subset
[x\le X_1\le x+h] \cap \bigcap\limits_{i=2}^{j-1} [X_i\le x+h] \cap [X_j > y+x]
$$
et puis après on passe aux probabilités, et on voit apparaître des séries géométriques.
$\sum_{j=2}^{\infty} (1- e^{ - \lambda x} )^{j-2} = \dfrac{1}{ e^{ - \lambda x} } $
Merci, cela clôt le sujet.