Réciproque du corps de rupture
dans Algèbre
Bonjour
Pouvez-vous m'aider à comprendre cette affirmation de mon cours.
"Soit $K$ un corps fini de cardinal $q$, $f$ un polynôme irréductible et unitaire dans $ K[X]$ de degré $r$, et $L$ une extension de $K$ dans laquelle $f$ a une racine $x$. Alors $r$ est le plus petit entier naturel non nul tel que $x^{q^r}=x$."
Je remarque que $L$ n'est pas forcément de degré $r$ sur $K$ (ce corps peut être sa clôture algébrique), mais peu importe.
Si $0<s<r$ vérifie $x^{q^s}=x$, alors $x \in \mathbb{F}_{q^s}$, donc $x$ est dans une extension de $K$ de degré $s$ ; par ailleurs $x \in K[X]/(f)$ extension de degré $r$ de $K$ (car $f$ est son polynôme minimal sur $K$). Peut-on dire qu'alors c'est impossible car son polynôme minimal est de degré $>s$ ?
C'est la réciproque de : "si $f$ est irréductible $\in K[X]$ de degré $r$, alors $K[X]/(f)$ est un corps de degré $r$ sur $K$", dont je ne suis pas sûre : "si $f$ est irréductible $\in K[X]$ et si $K[X]/(f)$ est un corps de degré $r$ sur $K$, alors $f$ est de degré $r$ ?
Alors on pourrait dire : alors $f$ a une racine dans une extension de degré $s<r$ sur $K$, impossible car $f$ est de degré $r$ ?
Bref, je tourne en rond.
Merci d'avance.
Pouvez-vous m'aider à comprendre cette affirmation de mon cours.
"Soit $K$ un corps fini de cardinal $q$, $f$ un polynôme irréductible et unitaire dans $ K[X]$ de degré $r$, et $L$ une extension de $K$ dans laquelle $f$ a une racine $x$. Alors $r$ est le plus petit entier naturel non nul tel que $x^{q^r}=x$."
Je remarque que $L$ n'est pas forcément de degré $r$ sur $K$ (ce corps peut être sa clôture algébrique), mais peu importe.
Si $0<s<r$ vérifie $x^{q^s}=x$, alors $x \in \mathbb{F}_{q^s}$, donc $x$ est dans une extension de $K$ de degré $s$ ; par ailleurs $x \in K[X]/(f)$ extension de degré $r$ de $K$ (car $f$ est son polynôme minimal sur $K$). Peut-on dire qu'alors c'est impossible car son polynôme minimal est de degré $>s$ ?
C'est la réciproque de : "si $f$ est irréductible $\in K[X]$ de degré $r$, alors $K[X]/(f)$ est un corps de degré $r$ sur $K$", dont je ne suis pas sûre : "si $f$ est irréductible $\in K[X]$ et si $K[X]/(f)$ est un corps de degré $r$ sur $K$, alors $f$ est de degré $r$ ?
Alors on pourrait dire : alors $f$ a une racine dans une extension de degré $s<r$ sur $K$, impossible car $f$ est de degré $r$ ?
Bref, je tourne en rond.
Merci d'avance.
Réponses
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Pour ta première question, il faut plutôt dire que $x$ engendre cette extension, qui est de degré $r$
$K[X]/(f)$ est toujours de dimension $\deg(f)$ sur $K$ -
Merci Maxtimax. $K[X]/(f)$ est toujours de dimension $\deg(f)$ sur $K$ si $f$ est irréductible sur $K$ ?
Si $f$ n'est pas irréductible sur $K$, $(f)$ n'est pas maximal dans $K[X]$ donc $K[X]/(f)$ n'est pas un corps, seulement un anneau contenant $K$, cela reste un $K$-espace vectoriel, mais pas de degré $\deg(f)$, de degré supérieur ?
(je dévie de la question initiale pour laquelle je crois avoir trouvé une piste) -
Est-ce que cette démonstration serait valable ?
$f$ irréductible et unitaire sur $K$ possède une racine $x$ dans une extension de $K$ ; alors le plus petit corps qui contient $x$ et $K$ est $K(x) \cong K[X] / \ker (ev_x)$, morphisme d'évaluation en $x$ (j'étais partie avec l'histoire de l'image de $X$, c'est ce qui bloquait).
On a $(f)=\ker (ev_x)$ (car $f$ est irréductible, donc $(f)$ est maximal, et $f \subset \ker(ev_x)$), $f$ est le polynôme minimal de $x$ sur $K$, et le degré de $K(x)$ sur $K$ est le degré de $f$ (division euclidienne, etc...), soit $r$.
Si $s>0$ et $x^{q^s}=x$, alors $x \in \mathbb{F}_{q^s}$, corps de degré $s$ sur $K=\mathbb{F}_q$. Or le plus petit corps qui contient $x$ et $K$ est $K(x)$ de degré $r$ sur $K$, donc $s \geq r$, donc $r$ est le plus petit entier $s>0$ tel que $x^{q^s}=x$.
Je me rends compte qu'il y a deux manières d'aborder le corps de rupture : avec l'image de $X$ (dont l'image donne une racine de $f$, cela permet de montrer que tout polynôme de $K[X]$ admet une racine dans une extension de $K$, mais cette racine est indéterminée), et avec le morphisme d'évaluation si on connait déjà une racine $x$ dans une extension de $K$ et son polynôme irréductible. Merci de me corriger si je raconte n'importe quoi. -
Non il n'y a aucune hypothèse d'irréductibilité : $K[X]/(f)$ est toujours de dimension $\deg(f)$, quel que soit $f$. Tu as raison, ce n'est pas un corps en général, mais en tant qu'espace vectoriel sa dimension est bien $\deg(f)$.
(sauf éventuellement $f=0$ :-D ) -
Merci ! Cela me parait être la dimension des restes dans la division euclidienne par $f$. Je ne vois pas comment le montrer rigoureusement ?
Hum, la réciproque du corps de rupture dans mon 1er message est complétement évidente. -
Oui, c'est tout à fait ça. Pour le montrer rigoureusement, tu peux (par exemple, il y a plein de façons de faire) montrer que l'inclusion des polynômes de degré $<\deg(f)$, $K_{<\deg(f)}[X]\to K[X]$ induit un isomorphisme $K_{<\deg(f)}[X]\to K[X]/(f)$.
L'injectivité vient de ce que $\deg(fg) = \deg(f)+\deg(g)$, et la surjectivité vient de la division euclidienne. -
Merci Maxtimax. Cela fait un isomorphisme de $K$-espaces vectoriels, et comme l'ensemble des polynômes de $K[X]$ de degré $< \deg f$ est un espace vectoriel de dimension $\deg f$, on a que $K[X]/(f) $ est un $K$-espace vectoriel de dimension $\deg f$ (c'est une question que je me posais depuis longtemps).
Maintenant, c'est aussi un anneau comme anneau-quotient. -
En fait, voici ce qui m'a induit en erreur sur la dimension de $K[X]/(f)$ :
Si $A$ est un anneau et $I \subset J$ deux idéaux de $A$, alors on a un morphisme surjectif de $A/I$ sur $A/J$.
Donc si $f$ est composé et $f=gh$, alors $(f) \subset (g)$, donc $K[X]/(f)$ est "plus grand" que $K[X]/(g)$.
Mais en fait, cela concorde, il n'y a pas de contradiction. :-)
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