Polonais, ouverts, parfaits

Martial

Salut à tous,

Comme d'hab ça doit être trivial mais je bute sur un point.

Je veux montrer que si $X$ est polonais, il existe une unique décomposition de $X$ sous la forme $X=P \cup D$, avec $P$ fermé parfait, $D$ ouvert dénombrable, et $P \cap D = \emptyset$.
Je lis dans un cours de théorie descriptive le début de preuve suivant :
"On pose $\mathscr U = \{U \subseteq X : U \text{ ouvert dénombrable}\}$.
On pose $D= \bigcup \mathscr U$.
$D$ est un ouvert dénombrable, donc $D \in \mathscr U$. (En fait $D$ est le plus grand élément de $\mathscr U$).
On pose $P=X \setminus D$, puis on montre que $P$ est parfait, puis que la décomposition est unique, blablabla".

Ce qui me gêne c'est : pourquoi $D$ est-il dénombrable ? Pour cela il faudrait se convaincre qu'il y a au plus une quantité dénombrable d'ouverts dénombrables, et je ne sais pas comment faire.

Merci d'avance

Martial

Bwah

Salut,
Si $X$ est polonais, alors il est à base dénombrable d'ouverts, tu peux donc réécrire ton $D$ comme une union dénombrable d'ouverts dénombrables, donc $D$ est un ouvert dénombrable.

christophe c

Non, il peut y avoir bcp d'ouverts dénombrables sans que leur réunion dépasse le dénombrable, comme il y a bcp de parties de $\N$.

Il est dans la définition d'un polonais que $D$ soit dénombrable je crois. (Enfin il me semble qu'on exige qu'un polonais soit séparable).

christophe c

HS: C'est marrant les coincidences, je passais vraiment par là par hasard, et ça arrive assez souvent qu'au même moment on soit plusieurs à poster j'ai remarqué. Mais en fait, ce ne serait pas probabilistiquement étonnant (comme les anniversaires le même jour dans une classe). HSOFF

Martial

Merci à tous deux.

@Bwah : je savais bien qu'il fallait utiliser l'existence d'une base dénombrable, mais je n'arrivais pas à le formuler.

@Christophe : oui, un polonais est un espace complètement métrisable et séparable (ou à base dénombrable d'ouverts, ça revient au même dans le cas métrique).
Oui, ce genre de phénomène se produit assez souvent, et c'est peut-être lié, comme tu dis, au problème des anniversaires.

Martial

Sorry, j'ai encore une question concernant cette satanée preuve.
C'est pour démontrer l'unicité de la décomposition. Je garde les mêmes notations que ci-dessus.

On sait que $X=P \cup D$. Supposons que $X= P' \cup D'$, avec les mêmes propriétés. Comme $D$ est le plus grand élément de $\mathscr U$, on a $D' \subseteq D$, donc $P \subseteq P'$.
Si $P \subsetneqq P'$, alors $P' \cap D \neq \emptyset$.

Jusque là, OK

Mais après il est écrit : "donc, $P' \cap D$ est un ouvert non vide de $X$, qui de plus est dénombrable".
non vide : OK
dénombrable : OK
mais pourquoi ouvert ? C'est l'intersection d'un fermé avec un ouvert...

Bwah

$P' \bigcap D$ est un ouvert de $P'$, je crois que c'est suffisant pour ta preuve, non ?

Martial

@Bwah : merci. Evidemment ! Je cherche des complications là où il n'y en a pas.

Je dois trouver que la settheory est trop facile, lol.