Immersion

LewisK

Bonjour,

Je souhaite démontrer qu'une application de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^2$ est une immersion. Je dois donc montrer que sa différentielle est injective.

Comment montrer cela ? Quel est le lien avec la matrice Jacobienne de cette fonction ?

Philippe Malot

Bonjour,
La différentielle d'une application différentiable de $\R^3$ dans $\R^2$ ne peut pas être injective : il faut nécessairement que la dimension de l'espace d'arrivée soit au moins égale à celle de l'espace de départ pour qu'une application linéaire puisse être injective.

GaBuZoMeu

Bonjour,

Pourquoi souhaites-tu démontrer cela, qui est visiblement faux comme l'a montré Philippe Malot ? Tu as dû te tromper quelque part dans ton cheminement, explique-nous le contexte.

LewisK

Merci à tous les deux pour vos réponses. J'ai commis une erreur en simplifiant mon problème pour vous le présenter.

Je souhaite trouver un plongement de la sphère unité privée du point "Nord" dans le plan $\mathbb{R}^2$. Pour ce faire, j'ai trouvé quelque part une fonction semble-t-il assez usuelle définissant une projection stéréographique.

J'ai donc $g : \big\{ S^2 \setminus \{0,0,1\}\big\} \to \mathbb{R}^2$ telle que $g : (x,y,z) \mapsto \Big(\dfrac{x}{1-z}, \dfrac{y}{1-z}\Big)$ et je souhaite montrer que cette application est un plongement. Je souhaitais donc en particulier prouver que c'était une immersion, d'où mon questionnement initial.

J'avais en tête de montrer que le noyau de $(Jg)_a$ était restreint au vecteur nul.

GaBuZoMeu

Tu as en fait un difféomorphisme donné par la projection stéréographique de la sphère privée du pôle Nord sur le plan. Le plus simple pour le vérifier est d'exhiber le difféomorphisme inverse (plutôt que d'aller à la pêche sur le ouèbe, fais le calcul toi-même, ça n'a rien de sorcier).

LewisK

Merci pour ta réponse. J'avais en tête de montrer d'une part que c'était une immersion, et d'autre part que c'est un difféomorphisme, est-ce la bonne façon de faire ?