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"Wholeness axiom" de Corazza

Salut à tous,

Je suis embêté pour 2 raisons : d'abord parce que j'ai un problème, et ensuite parce que je ne sais pas comment exposer le problème.

Je vais quand même essayer : un monsieur qui s'appelle Paul Corazza a proposé au début des années 2000 un nouvel axiome, qu'il appelle le wholeness axiom, et que je traduis par axiome de totalité. Le but du jeu est d'essayer de court-circuiter la borne de Kunen.
Si on analyse n'importe quelle preuve de ce résultat on s'aperçoit qu'elles sont toutes basées sur le raisonnement suivant : on suppose qu'il existe un plongement élémentaire $j : V \prec V$, de point critique $\kappa$. On construit la suite critique $\kappa_0 = \kappa$, $\kappa_{n+1} = j(\kappa_n)$, puis on pose $\lambda = sup \{\kappa_n : n \in \omega\}$. Enfin on montre que $V_{\lambda +2} \not \subseteq M$, ce qui empêche $M$ d'être égal à $V$.

Quand on fait ça on suppose toujours implicitement que $j$ est weakly definable, i.e. qu'on se place dans le langage $\{\in, j\}$, et on suppose que toutes les instances des axiomes de séparation et de remplacement pour les formules contenant le symbole $j$ (que j'appellerai dans la suite des $j$-formules) sont vraies.

L'idée de Corazza est de considérer des plongements $j$ qui ne sont pas weakly definable. Pour éviter les cas triviaux il rajoute la condition : "pour tout ensemble $A$, $j \upharpoonright A$ est un ensemble", ce qui revient à dire que les instances de $\Delta_0$-séparation sont vraies pour les $j$-formules. On appelle $WA_0$ l'axiome : "il existe un plongement élémentaire non trivial $j: V \prec V$ vérifiant cette condition supplémentaire".

Jusque là, OK. Maintenant, il introduit les axiomes $WA_n = WA_0+$ toutes les instances de $\Sigma_n$-séparations sont vraies pour les $j$-formules $\Sigma_n$, puis l'axiome $WA_{\infty}$ ou $WA$, pour $\forall n, WA_n$.

Ensuite, il énonce le résultat suivant : si $I3(\kappa, \lambda)$, i.e. s'il existe un plongement élémentaire $j: V_{\lambda} \to V_{\lambda}$ de point critique $\kappa$ et où $\lambda$ est le sup de la suite critique, alors $V_{\lambda} \models ZFC + WA$.
Aucun problème pour montrer que $V_{\lambda} \models ZFC + WA_0$.
Mais comment prouver les axiomes de $\Sigma_n$-séparation pour les $j$-formules ?

Merci d'avance.
Martial

Réponses

  • Je précise que l'intérêt de la manoeuvre est de ne pas pouvoir utiliser le remplacement pour les $j$-formules, donc on ne peut plus parler de l'ensemble $\{\kappa_n \mid n \in \omega\}$, et encore moins de $\lambda$... et donc la preuve de Kunen ne tient plus.
  • @Martial : bonsoir ou bonjour (nous sommes le dimanche 4 avril 2021 et il est 00:40)

    Voici l'un des textes officiels.
  • Bonjour Thierry,
    (Là il est 10h17, donc on peut raisonnablement dire bonjour).

    Merci pour le papier. Hélas, au milieu de la page 35 (Theorem 3.13), l'auteur écrit : "It is easy to see thet $\left \langle V_{\lambda}, \in, i \right \rangle \models ZFC + WA$".

    Il semble que Corazza et moi n'ayons pas la même définition du mot "easy".

    Joyeuses Pâques à tous
  • Christophe, puisque tu traînes dans le quartier...
  • @Martial, je ne sais pas exactement jusqu'où tu veux fouiller les plafonds actuels, mais sache que "tout en haut" ça ressemble quand-même beaucoup à de l'artisanat personnel. Si on paye un ensembliste 5000E/ mois, il te pondera 3650 nouveaux GC de ce style chaque année, car ça se démultiplie très vite.

    Je ne sais pas si tu sais qu'il y a en revanche un "beau problème ouvert" (enfin je pense qu'il est encore ouvert). Je tele décris sous la barre horizontale.

    Pour ta question, les ingénieries de réflexion avec les GC sont "une pratique" un peu comme le babyfoot (si j'étais plus dispo, je chercherais à comprendre précisément ta question pour te filer une solution), elles se ressemblent un peu toutes, mais prennent chaque fois plusieurs heures (avec le bon côté qu'on est sûr de trouver au bout de 5H et le mauvais qui est qu'une fois trouvé, ça va se fondre dans une grisaille peu variée)


    Soit $L := sup_{n\in \N} u_n$ où $\forall n\in \N: u_{n+1} := 2^{u_n}$ est infini et est un cardinal.

    Existe-t-il $\phi$ telle que pour toute partie $X$ de $L$ et tout $y\in L$ :

    si $card(X)=card(L)$ alors il existe $u\in X^\N$ vérifiant:

    $\phi(u)=y$ ET $u$ bornée dans $L$?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Si je peux je prendrai le temps un peu plus tard. Mais je t'assure que ne pas avoir la solution ne manquerait normalement pas à ta démarche plus globale. Il n'y a pas réellement d'enjeu dans ces mécanismes de réflexion (au sens de ce qu'on appelle "le schéma de théorèmes de réfexion" et non pas de "l'art de réfléchir" (ça vient de l'homonyme "réfléchir" utilisé par "le miroir réfléchit.."**))

    ** il est d'ailleurs possible que l'étymologie des deux soit commune, à voir.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Merci Christophe
  • @Martial : bonjour. Lire le Dehornoy, pages 532 et 535 (le corollaire et les résultats de comparaison).
  • @Titi : merci mais cela ne m'aide pas. Ce que je veux démontrer, c'est que si $\lambda$ est un cardinal de Laver et si $j : V_{\lambda} \prec V_{\lambda}$ avec $crit(j) = \kappa$ et $\sup\{j^n(\kappa) \mid n \in \omega\} = \lambda$, alors pour toute formule $\varphi(x_0,x_1,\ldots,x_k)$ contenant le symbole $j$ (c'est-à-dire pour toute formule du langage étendu $\mathscr L=\{\in, j\}$) et pour tous $a_1,\ldots,a_k,b \in V_{\lambda}$, on a
    $$\{x \in b \mid \varphi(x,a_1,\ldots,a_k)\} \in V_{\lambda}.$$
  • @Martial : cela me fait un peu penser à un résultat issu de ce document, librement téléchargeable. Je pense à celui de la page 203 (via la page 54 du PDF).
  • @Titi : oui, je connaissais ce résultat, je l'ai même mis dans mon chap 24. Je sens confusément que ton intuition est bonne, mais comment passer de ce résultat à mon problème de $j$-séparation ?
  • Bonjour Martial

    Je t'invite à consulter ceci, à partir de la page 181, sans omettre les notes.

    Amicalement,

    Titi

    PS : peut-être l'as-tu déjà vu.
  • Merci, Titi. Décidément tu as l'art de dénicher des mines d'or...

    Hélas, je n'ai toujours pas la réponse à ma question. Le problème de Corazza c'est qu'il raconte à peu près la même chose dans tous ses papiers, avec des notations et des terminologies différentes. Mais nulle part il n'explique pourquoi I3 entraîne la $j$-séparation.

    En tous cas, encore merci pour tous les efforts que tu fais pour me dépanner.
  • Non, je ne l'avais pas déjà vu, j'ignorais l'existence de ce papier.
  • @Martial : dois-je alors en déduire que tu ne connais pas cet article, où l'on s'attardera sur le résumé (abstract) ? Voici une liste fort intéressante.
  • Si, bien sûr, je connais cet article, mais il ne fait qu'y citer le résultat, sans le démontrer.

    Par ailleurs j'ai eu la même idée que toi, je suis allé traîner sur le site de Paul Corazza et j'ai téléchargé tous les articles qui m'intéressaient et que je n'avais pas déjà. Je trouve ça génial, les gens qui mettent sur leur homepage leurs publications, leurs enseignements, les thèses qu'ils ont dirigées etc.

    Toujours par ailleurs, je viens d'écrire à l'auteur. On verra ben.
  • Up.

    Je fais remonter ce fil pour deux raisons :
    1) Pour rappeler à Christophe que s'il a le temps je ne demande pas mieux que de lire sa prose concernant mon problème.
    2) Pour poser une question de vocabulaire en rapport avec les papiers de Corazza : comment traduisez-vous "blueprint" ?
    J'ai fait une recherche là-dessus, mais il semble que le terme soit passé dans le vocabulaire français courant.
    Problème : ce n'est pas très parlant.

    Ce terme intervient notamment dans la construction de $0^{\#}$, à propos des EM-blueprint. Patrick Dehornoy traduit ça par EM-trace, mais je ne suis pas sûr que la terminologie soit très standard.
  • Ah oui, dans un vieux document, Boban traduit EM-blueprint par EM-schéma. Ça vous parle ?
  • Bonsoir Martial

    Cf. ceci, afin de ne pas te faciliter la tâche.

    Amicalement,

    Titi

    PS : as-tu reçu des nouvelles de l'auteur ?
  • Salut Titi,

    En fait tout correspond plus ou moins. Mais "schéma directeur" me plaît bien.

    Non, pas de nouvelles de Corazza. Je suppose qu'il a autre chose à faire que de s'occuper des questions métaphysiques d'un vieux bibard comme mézigue.

    Amitiés

    Martial
  • @Titi : je viens d'avoir une réponse de Paul Corazza, voir PJ.
  • @Martial : le décalage horaire, bien entendu. Le document est bien détaillé et largement explicité. C'est beau, attrayant. Cela donne envie d'en savoir toujours plus, surtout en voyant des réponses issues de mathématiciens si passionnés. Je te remercie beaucoup pour ce partage.
  • Bonjour Martial

    Voici une autre liste pour blueprint. J'affectionne tout particulièrement le mot projet.

    Amicalement,

    Titi
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