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Bijectivité

Bonsoir à tous
Comment montrer que, $ \mathbb{R} $ et $ \mathcal{P} ( \mathbb{R} ) $ ne sont pas bijectives [en bijection] ?
Merci d'avance.

Réponses

  • De façon général, si $E$ est un ensemble, il n'existe pas de bijection entre $E$ et $\mathcal P(E)$.

    Pour le démontrer, on suppose qu'il existe une bijection $f \colon E \to \mathcal P(E)$ et on considère l'ensemble
    $$A =\{ x \in E \mid x \notin f(x) \},
    $$ qui conduit à une contradiction.
  • $ \mathbb{R} $ et $ \mathcal{P} ( \mathbb{R} ) $ ne sont pas en bijection, parce que, sinon, il existe une surjection $ \pi \ : \ \mathbb{R} \to \mathcal{P} ( \mathbb{R} ) $.
    Or, si nous prenons $ T = \{ \ x \in \mathbb{R} \ | \ x \not \in \pi (x) \ \} \in \mathcal{P} ( \mathbb{R} ) $, alors $ T $ n'a pas d'antécédent par $ \pi $. D'où contradiction.
    Par conséquent, $ \mathbb{R} $ et $ \mathcal{P} ( \mathbb{R} ) $ ne sont pas en bijection.
    :-)

    Edit, Grillé par Héhéhé
  • Es-tu capable de démontrer que $T$ n'a pas d'antécédent par $\pi$ ?
  • @Héhéhé,
    Supposons que $ T $ a un antécédent $ a $ par $ \pi $,
    Alors, $ a \in \pi (a) $ ou $ a \not \in \pi (a) $.
    - Si $ a \in \pi (a) $, alors, $ a \not \in \pi (a) $, ce qui absurde.
    - Si $ a \not \in \pi (a) $, alors $ a \in \pi (a) $, ce qui est absurde aussi.
    D'où, $ a $ n'est pas un antécédent de $ T $ par $ \pi $, et ce pour tout $ a \in \mathbb{R} $.
    Par conséquent, $ T $ n'a aucun antécédent par $ \pi $.
    :-)
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