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Adjonction dans les catégories supérieures

Bonsoir,

j'ai entendu que le phénomène de l'adjonction existait dans les catégories supérieures. Quelqu'un pourrait-il m'expliquer ce qu'il en est pour une 2-catégorie et me donner une idée pour les infini-catégories ?

ignatus.

Réponses

  • Ça dépend de ce que tu entends par là, veux-tu dire "une adjonction entre $2$-catégories" ou "une adjonction dans une $2$-catégorie" ?
    Les deux notions existent et sont légèrement différentes, même si (évidemment) liées
  • Bonjour Maxtimax,

    a priori, je pensais entre 2-catégories, comme cela se fait pour la notion usuelle. Je ne savais pas qu'il y avait une distinction à faire, mais je veux bien la connaître.

    ignatus.
  • Bon, dans ce cas il y a, comme d'habitude dans le monde des $2$-catégories, 15 000 possibilités selon qui est lax ou pas lax.

    Je vais m'en tenir à des foncteurs "stricts", c'est-à-dire que le $2$-morphisme qui relie $F(f\circ g)$ et $F(f)\circ F(g)$ est une équivalence.

    Avec ça, tu as toujours 2 possibilités :
    ça commence toujours avec deux foncteurs $F:C\to D, G: D\to C$, deux transformations naturelles $\eta : id\to GF, \epsilon : FG\to id$. Après,tu peux tracer les diagrammes qui définissent d'habitude les identités "triangulaires", et maintenant tu ne peux plus demander "est-il commutatif ?" mais tu peux demander l'existence d'un $2$-morphisme.

    Les deux possibilités sont de demander un $2$-morphisme inversible (adjonction "stricte"), ou de demander un $2$-morphisme quelconque (adjonction "lax").

    Bon naturellement, ça ne suffit pas, il faut demander plein de cohérences additionnelles et patati et patata, comme d'habitude. En fait il s'avère (au moins dans le cas strict, je serais moins confiant dans le cas non strict) qu'on peut ne demander que l'existence d'un $2$-morphisme et alors on peut toujours s'arranger pour ne pas avoir de problèmes.

    Autrement dit, quand on est dans les $(n,1)$-catégories ($n= \infty$ compris), les adjonctions c'est plus simple, c'est seulement la donnée de l'unité et de la co-unité et l'existence d'un morphisme qui fait commuter les triangles usuels (enfin, ça c'est pour dire "$F$ et $G$ sont adjoints", c'est plus compliqué je pense d'étudier "l'espace des adjonctions entre $F$ et $G$")

    Dès que tu enlèves le "$,1)$" ça devient plus subtil. Voir ici pour un bestiaire dans le cas $n=2$.

    Comme tu le vois ça ne dépend que sur "on a des morphismes et des $2$-morphismes", donc on peut définir ça internalement à une catégorie supérieure (en fait même dans une $1$-catégorie, seulement ça voudra dire "isomorphisme"), c'est ça la distinction que je voulais faire.
    Une adjonction entre $2$-catégories c'est une adjonction dans la $3$-catégorie des $2$-catégories; et après, à nouveau, il faut décider le niveau de "laxitude" qu'on s'autorise ou pas.
  • Zut, sur ce coup-là, je n'ai pas pensé au site nlab...

    Merci de t'être donné la peine de répondre. Je vais lire la page concernée.

    ignatus.
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