Expression de la variance du ratio de 2 v.a.

fabio1234

Bonsoir,
j'ai un problème concernant la différence entre la notion d'erreur absolue/relative $\dfrac{\Delta x}{x}$ et la notion d'écart type. Je pense que la notion de "marge d'erreur" a un lien avec l'erreur statistique.

1) Est-ce l'erreur relative ou l'erreur absolue que l'on qualifie d'erreur statistique ?
J'aimerais pouvoir exprimer de manière analytique la variance d'un ratio de 2 variables aléatoires $b_1$ et $b_2$, par exemple avec $\quad b_f=\dfrac{b_1}{b_2},
$
ce qui me donnerait : $$\sigma_f^2=\dfrac{\sigma_1^2}{b_2^2}+\dfrac{\sigma_2^2\,b_1^2}{b_2^4}.\tag{1}

$$ Mais pour obtenir cette expression, j'ai considéré uniquement les dérivées par rapport à $b_1$ et $b_2$ et j'ai considéré que j'avais une combinaison linéaire de variables aléatoires, et ainsi écrire
$$
Var(ax+by) = a^2 Var(x) + b^2 Var(y)$$ en négligeant les termes de covariance (ce qui ne semble pas être correct je pense à priori).
Cette méthode ne me semble pas correcte car je considère alors une simple différentielle du ratio et les $dx$ comme des variables aléatoires (en l'occurrence ici les $b_1$ et $b_2$ ci-dessus dans $(1)$ : êtes-vous d'accord qu'il y a cette erreur ?

2) J'ai du mal à appréhender dans la culture scientifique cette différence ou relation entre erreur statistique et incertitude relative/absolue : si quelqu'un pouvait me donner quelques éléments de réponse ...

3) Enfin, J'ai cherché sur le net l'expression analytique de la variance du ratio de 2 variables aléatoires mais sans succès ...
Si quelqu'un a des éléments de réponse ou carrément "la formule", ça serait sympa de me le dire.
Cordialement
Bonne soirée !

P.

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes alors
\begin{align*}
\sigma^2(XY)&=\sigma^2(X)\sigma^2(Y)+\sigma^2(X)(\mathbb{E}(Y))^2+\sigma^2(Y)(\mathbb{E}(X))^2, \\
\sigma^2(X/Y)&=\sigma^2(X)\sigma^2(1/Y)+\sigma^2(X)(\mathbb{E}(1/Y))^2+\sigma^2(1/Y)(\mathbb{E}(X))^2.

\end{align*} (il n'y a pas de lien général entre $\mathbb{E}(1/Y)$ et $\mathbb{E}(Y)$ ou les variances). Si $X,Y$ ne sont pas indépendantes, ce qui doit être ton cas, pas de lien général, la connaissance de la covariance de $X,Y$ ne suffira pas. Il faut faire le calcul à partir de la loi explicite de $(X,Y).$

gerard0

Voir aussi sur cet autre forum la question originale.

Cordialement.