Description géom. des classes d'équivalence
Bonjour à tous,
je suis en train de réviser et viens de tomber sur un exercice dans un livre qui me plait bien.
Soit $f\colon M\to N$ une application.
1) Montrer que la relation définie par
$$x, y \in M,\quad x\cong_f y \Leftrightarrow f(x)=f(y)
$$ est une relation d'équivalence.
2) Déterminer les classes d'équivalence de $\cong_f$
3) Dans le cas précis où $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} ,\ (x,y) \mapsto x^2+y^2$, décrire géométriquement les classes d'équivalence.
Pour 1)
$\forall x\in M,\ f(x)=f(x)$ donc $\cong_f$ est réflexive.
$\forall x,y \in M,\ f(x)=f(y) \Rightarrow f(y)=f(x)$ donc $x\cong_f y \Rightarrow y\cong_f x$ donc $\cong_f$ est symétrique.
$\forall x, y, z \in M,\ (f(x)=f(y) \land f(y)=f(z))\Rightarrow f(x)=f(z)$ donc $(x\cong_f y \land y\cong_f z)\Rightarrow x\cong_f z$ donc $\cong_f$ est transitive.
Par conséquent $\cong_f$ est une relation d'équivalence sur $M$.
Pour 2)
Pour $x \in M$ la classe d'équivalence $[x]$ est le sous-ensemble : $\ [x]=\{y\in M \mid f(x)=f(y)\} \subseteq M$
Je me demande s'il ne manque pas quelque chose ici. Peut être dire que les classes d'équivalence sont définies par les ensembles des images réciproques ??
Pour 3)
Intuitivement il semblerait que dans ce cas les classes d'équivalence sont définies par l'ensemble des couples $\{(x,y), (-x,y),(x,-y),(-x,-y)\}$. Géométriquement ce sont les points symétriques par rapport aux axes des abscisses et des ordonnées.
Est-ce correct ?
Je vous remercie pour vos conseils.
Bonne journée.
je suis en train de réviser et viens de tomber sur un exercice dans un livre qui me plait bien.
Soit $f\colon M\to N$ une application.
1) Montrer que la relation définie par
$$x, y \in M,\quad x\cong_f y \Leftrightarrow f(x)=f(y)
$$ est une relation d'équivalence.
2) Déterminer les classes d'équivalence de $\cong_f$
3) Dans le cas précis où $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} ,\ (x,y) \mapsto x^2+y^2$, décrire géométriquement les classes d'équivalence.
Pour 1)
$\forall x\in M,\ f(x)=f(x)$ donc $\cong_f$ est réflexive.
$\forall x,y \in M,\ f(x)=f(y) \Rightarrow f(y)=f(x)$ donc $x\cong_f y \Rightarrow y\cong_f x$ donc $\cong_f$ est symétrique.
$\forall x, y, z \in M,\ (f(x)=f(y) \land f(y)=f(z))\Rightarrow f(x)=f(z)$ donc $(x\cong_f y \land y\cong_f z)\Rightarrow x\cong_f z$ donc $\cong_f$ est transitive.
Par conséquent $\cong_f$ est une relation d'équivalence sur $M$.
Pour 2)
Pour $x \in M$ la classe d'équivalence $[x]$ est le sous-ensemble : $\ [x]=\{y\in M \mid f(x)=f(y)\} \subseteq M$
Je me demande s'il ne manque pas quelque chose ici. Peut être dire que les classes d'équivalence sont définies par les ensembles des images réciproques ??
Pour 3)
Intuitivement il semblerait que dans ce cas les classes d'équivalence sont définies par l'ensemble des couples $\{(x,y), (-x,y),(x,-y),(-x,-y)\}$. Géométriquement ce sont les points symétriques par rapport aux axes des abscisses et des ordonnées.
Est-ce correct ?
Je vous remercie pour vos conseils.
Bonne journée.
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Réponses
Pour la 3), non, attention ! on peut avoir $x^2+y^2 = a^2+b^2$ sans que $(a,b)$ ne soit aucun de ces termes. Utilise la question 2), et demande toi ce qu'est l'image réciproque (par exemple) de $1$ par $f$
Je vais essayer de formuler tout ceci correctement.
$(x,y)\equiv_f (1,2) \Leftrightarrow ...$
Cordialement.
Par conséquent
$[(1,2)]=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid 5=x^2+y^2\}$ donc l'ensemble des points sur le cercle de rayon $\sqrt{5}$
Pour revenir à la question 2, je suis un peu coincé pour définir l'ensemble des images réciproques :
$[x]=f^{-1}(\{f(x)\})=\{y\in M \mid f(y)=f(x)\}$. Ca ne me semble pas vraiment apporter une différence par rapport à la définition de la classe d'équivalence utilisée initialement.
Merci
Cordialement