Maximum de vraisemblance.
dans Statistiques
Bonjour,
je voudrais calculer le maximum de vraisemblance pour l'estimateur $\theta$ de la densité suivante.
$ (1- \lvert x - \theta \rvert) \mathbb{1}_{[\theta-1, \theta+1]} (x)$, afin de confirmer : $\widehat{\theta_{n}} = \overline{X_{n}}$ déterminé par la méthode des moments.
Cependant, je ne parviens pas au bout du calcul.
$l(\theta) = \sum \ln( (1- \lvert x_{i} - \theta \rvert) \mathbb{1}_{[\theta-1, \theta+1]} (x) )$
Et après il faut dériver cela ?
je voudrais calculer le maximum de vraisemblance pour l'estimateur $\theta$ de la densité suivante.
$ (1- \lvert x - \theta \rvert) \mathbb{1}_{[\theta-1, \theta+1]} (x)$, afin de confirmer : $\widehat{\theta_{n}} = \overline{X_{n}}$ déterminé par la méthode des moments.
Cependant, je ne parviens pas au bout du calcul.
$l(\theta) = \sum \ln( (1- \lvert x_{i} - \theta \rvert) \mathbb{1}_{[\theta-1, \theta+1]} (x) )$
Et après il faut dériver cela ?
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Réponses
Par contre, on peut sans doute dire : $X = \theta + U_1 + U_2$, avec $U_1,U_2$ indépendantes uniformes sur $[-1/2;+1/2]$, et déduire le max de vraisemblance de $X$ en utilisant celui de $\theta/2 + U$ ?
Si le maximum de vraisemblance est une mauvaise idée, par quel autre moyen je pourrais confirmer ce résultat ?
(parce que, moi, je n'en suis pas sûr, ça ne me crève pas du tout les yeux)
Si on prend la densité plus simple $1_{|x-\theta| \le \frac12}$, le max de vraisemblance est-il bien la moyenne empirique ?
Je ne suis pas sûr, mais je n'ai pas le temps de vérifier maintenant.
Dans le cas présent, je pense que le max de vraisemblance n'a pas spécialement de formule fermée.
Après est-ce que c'est l'estimateur du max de vraisemblance ; peut-être pas, mais bon... Tant pis, non ?
Qu'est ce que tu aimerais avoir de plus, exactement ?
proposer deux méthodes d'estimation consistantes du paramètre $\theta$.
$\hat\theta'_n := \max(X_1,\dots,X_n)-1$ est autre estimateur qui a l'air consistant. Mais comme la densité de $X_1$ est maximale en $\theta$ et minimale en $\theta+1$, c'est probablement un moins bon estimateur que $\overline X_n$, donc ça n'est pas très intéressant.
Peut-être que légèrement plus stable que le max de Calli, on peut regarder la moyenne entre le min et le max.
Mais comme dit bien Calli, les valeurs extrémales de l'échantillon sont peu fiables, vu la forme de la densité.
Simple observation de la courbe ?
Les méthodes, c'est comme les coins à champignon : ça se dit pas ! :-D
En gros, en statistiques, on utilise toujours un peu les mêmes trucs, en adaptant à la marge selon le contexte. Du coup, la méthode, c'est de connaître autant de trucs et astuces que possible, et des les tester un par un jusqu'à en trouver qui marchent...
quand même, quelle interprétation intuitive peut-on donner de cet estimateur $\widehat{\Theta}'= \max(X_{i}) -1 $