Maximum de vraisemblance.

Bonjour,
je voudrais calculer le maximum de vraisemblance pour l'estimateur $\theta$ de la densité suivante.

$ (1- \lvert x - \theta \rvert) \mathbb{1}_{[\theta-1, \theta+1]} (x)$, afin de confirmer : $\widehat{\theta_{n}} = \overline{X_{n}}$ déterminé par la méthode des moments.

Cependant, je ne parviens pas au bout du calcul.
$l(\theta) = \sum \ln( (1- \lvert x_{i} - \theta \rvert) \mathbb{1}_{[\theta-1, \theta+1]} (x) )$
Et après il faut dériver cela ?

Réponses

  • Je suppose qu'on peut dériver et trouver le moment où $\ell'(\theta) = 0$, mais je ne vois pas trop comment ça marche. Il y a des termes avec des $+$, et d'autres avec des $-$.

    Par contre, on peut sans doute dire : $X = \theta + U_1 + U_2$, avec $U_1,U_2$ indépendantes uniformes sur $[-1/2;+1/2]$, et déduire le max de vraisemblance de $X$ en utilisant celui de $\theta/2 + U$ ?
  • Je ne vois pas comment faire avec ces indications. Par contre, j'ai trouvé cet estimateur avec le moment d'ordre 1, simplement avec l'espérance de cette loi
    Si le maximum de vraisemblance est une mauvaise idée, par quel autre moyen je pourrais confirmer ce résultat ?
  • Tu veux dire que tu n'es pas sûr que la moyenne empirique est l'estimateur du maximum de vraisemblance ?

    (parce que, moi, je n'en suis pas sûr, ça ne me crève pas du tout les yeux)
  • Oui je veux dire exactement cela. ça ne me crève pas les yeux non plus.
  • Bah peut-être que ce n'est pas le cas, tout simplement ?

    Si on prend la densité plus simple $1_{|x-\theta| \le \frac12}$, le max de vraisemblance est-il bien la moyenne empirique ?

    Je ne suis pas sûr, mais je n'ai pas le temps de vérifier maintenant.
  • Je me demande si le max de vraisemblance n'est pas plutôt la médiane ou un truc comme ça.
  • Comme j'ai trouvé que l'estimateur est égal à la moyenne empirique par la méthode des moments et que la seule autre méthode que je connais est le max. de vraisemblance, je voulais faire comme cela.
  • Il n'y a pas spécialement de raison pour que la méthode des moments donne l'estimateur du max de vraisemblance.

    Dans le cas présent, je pense que le max de vraisemblance n'a pas spécialement de formule fermée.
  • Quelle seconde méthode d'estimation consistante je pourrais effectuer alors ?
  • Ben, la moyenne empirique, c'est bien, comme estimateur, non ?

    Après est-ce que c'est l'estimateur du max de vraisemblance ; peut-être pas, mais bon... Tant pis, non ?

    Qu'est ce que tu aimerais avoir de plus, exactement ?
  • La question à laquelle je dois répondre est :

    proposer deux méthodes d'estimation consistantes du paramètre $\theta$.
  • Bonjour,
    $\hat\theta'_n := \max(X_1,\dots,X_n)-1$ est autre estimateur qui a l'air consistant. Mais comme la densité de $X_1$ est maximale en $\theta$ et minimale en $\theta+1$, c'est probablement un moins bon estimateur que $\overline X_n$, donc ça n'est pas très intéressant.
  • Et puis la médiane empirique, ça marchera aussi.

    Peut-être que légèrement plus stable que le max de Calli, on peut regarder la moyenne entre le min et le max.

    Mais comme dit bien Calli, les valeurs extrémales de l'échantillon sont peu fiables, vu la forme de la densité.
  • Par quelle méthode détermine-t-on cet estimateur : $ \max(X_{i})-1$ ?
    Simple observation de la courbe ?
  • Pour trouver des estimateurs, on se débrouille !

    Les méthodes, c'est comme les coins à champignon : ça se dit pas ! :-D

    En gros, en statistiques, on utilise toujours un peu les mêmes trucs, en adaptant à la marge selon le contexte. Du coup, la méthode, c'est de connaître autant de trucs et astuces que possible, et des les tester un par un jusqu'à en trouver qui marchent...
  • Très bien - merci :-)
  • Bonjour,

    quand même, quelle interprétation intuitive peut-on donner de cet estimateur $\widehat{\Theta}'= \max(X_{i}) -1 $
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