Opérateurs linéaires sur $k[X]$

i.zitoussi

Bonjour,

j'aimerais savoir quels sont les opérateurs linéaires sur $k[X]$ représentables par une série formelle en $X$ ("multiplication par $X$") et $D$ (la dérivation standard de $k[X]$), c'est-à-dire ceux qui peuvent s'écrire $\sum_{i,j\geq 0} a_{ij}X^iD^j$. Il semble qu'une condition nécessaire est que l'opérateur ait un noyau de dimension finie, et je me demande si c'est suffisant.

Frédéric Bosio

L'application nulle a tout l'espace pour noyau. Elle n'est pas représentable ?

Frédéric Bosio

Sinon, je pense que $P(X) \to P(X^2)$ a un noyau trivial et ne me semble pas représentable sous la forme que tu donnes.

i.zitoussi

Effectivement, je vois mal $X\mapsto X^2$ représentable de cette manière.
Ma question est assez floue et je ne sais pas comment l'améliorer.

Peut-être qu'il faudrait se restreindre aux endomorphismes "qui préservent la filtration $k\subset k_1[X]....\subset k_n[X]$", où $k_n[X]$ est le sous-espace des polynômes de degré au plus $n$.

Calli

Bonjour,
Quand tu dis "série formelle", ça veut dire que la somme peut être infinie ? Par exemple, est-ce que tu comptes $\sum_{j=0}^\infty D^j$ ?

i.zitoussi

Oui. Par exemple $P(X)\mapsto P(X+a)$ est donné par $\exp(aD)$.

i.zitoussi

Ma question tournée autrement:
Soit l'ensemble, disons $E$, des opérateurs linéaires sur $k[X]$ de la forme $$\sum_{i\geq 0}p_i(X)D^i,$$ où chaque $p_i$ est un polynome de degré au plus $i$ (de sorte qu'un élément de $E$ préserve la filtration naturelle de $k[X]$).
Est-qu'il existe une autre caractérisation de $E$ ? Ou bien: quand peut-on espérer qu'opérateur préservant la filtration naturelle de $k[X]$ soit dans $E$ ?

Par exemple, j'ai l'impression que le projecteur $\pi_n(X^i) = X^n$ si $i=n$ et $0$ sinon n'est pas dans $E$, mais je n'arrive pas à le prouver.

J'espère que cette version est plus claire.

Calli

D'accord.
Soit $f$ un opérateur de $k[X]$ qui préserve sa filtration canonique. Montrons que $f\in E$ (édit : ajout).
Analyse : Supposons qu'il existe des polynômes $p_i$ tels que $f=\sum p_i(X) D^i$. Alors $$f(X^n) = p_n(X) \,n!+ \sum_{i=0}^{n-1} p_i(X) D^i(X^n) .$$
Synthèse : Posons par récurrence $p_0(X) = f(1)$ et $p_{n}(X) = \frac1{n!} \Big( f(X^n) - \sum\limits_{i=0}^{n-1} p_i(X) D^i(X^n) \Big)$. Alors pour tout $n$, $p_n$ est de degré au plus $n$. Et $f$ et $\sum p_i(X) D^i$ coïncident sur les $X^n$ qui forment une base de $k[X]$. Donc $\fbox{$f\in E$}$.

Calli

Par exemple, $$\pi_n = \sum_{i=n}^\infty (-1)^{i-n} \binom{i}{n} \frac{X^i}{i!} D^i.$$
Preuve :
Analyse : Supposons que $\pi_n = \sum\limits_{i=0}^\infty a_i \frac{X^i}{i!} D^i$ avec $a_i \in k$ (petite intuition qui vient en calculant le $p_n$, le $p_{n+1}$ et le $p_{n+2}$ de $\pi_n$, sachant que $p_0=\cdots=p_{n-1} =0$). Alors $\forall k, \pi_n(X^k) = \sum\limits_{i=0}^\infty a_i \binom{k}{i} X^k$ donc $\delta_{k,n} = \sum\limits_{i=0}^\infty a_i \binom{k}{i}$. En appliquant la formule d'inversion de Pascal, on trouve $a_i = (-1)^{i-n} \binom{i}{n} {\bf 1}_{i\geqslant n}$.
Synthèse : Facile.

i.zitoussi

Je crois qu'il y a un malentendu! J'ai rajouté la condition sur le degré des $p_i$ précisément pour que la série $\sum_{i\geq 0}p_i(X)D^i$ préserve la filtration de $k[X]$. Le fait que ce soit une condition suffisante pour cela (mais aussi nécessaire) ne me pose pas de problème.

Ma question est: existe-t-il une caractérisation alternative des opérateurs représentables cet manière?

Calli

Donc $$\begin{eqnarray*}
\pi_n &=& \sum_{i=n}^\infty (-1)^{i-n} \frac{X^i}{n! (i-n)!} D^i\\
&=& \frac{X^n}{n!} \left( \sum_{i=n}^\infty \frac{(-XD)^{i-n}}{(i-n)!}\right) D^n\\
&=& \dfrac{X^n}{n!} \exp(-XD) \,D^n
\end{eqnarray*}$$ C'est amusant écrit comme ça (je trouve).

Édit : C'est faux, archi faux, oubliez ce message.

Calli

Je ne comprends pas i.zitoussi. À la question que je cite ci-dessous j'ai répondu "toujours". C'est bien ce que tu voulais savoir ?

i.zitoussi a écrit:

Ou bien: quand peut-on espérer qu'opérateur préservant la filtration naturelle de $k[X]$ soit dans $E$ ?

i.zitoussi

Calli, mon dernier message répondait à celui-ci où tu terminais pas $f\in E$ encadré.

Pour le calcul de $\pi_n$, je suis assez lent donc il va me falloir un certain temps pour vérifier, et je dois m'absenter.
La première expression m'a l'air correcte à première vue, la deuxième (celle que tu trouves amusante) n'est pas évidente pour moi étant donné que $X$ et $D$ ne commutent pas.

En tout cas, si $\pi_n$ est représentable, je suis agréablement surpris, j'aurais juré que non !!!

Calli

i.zitoussi : Je ne sais pas si le malentendu est levé. En tout cas, si je ne me suis pas trompé, j'ai démontré dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2186438,2187004#msg-2187004 que tout opérateur préservant la filtration de $k[X]$ est dans $E$. Autrement dit $E$ est exactement égal à l'ensemble des opérateurs préservant la filtration de $k[X]$.

i.zitoussi a écrit:

La première expression m'a l'air correcte à première vue, la deuxième (celle que tu trouves amusante) n'est pas évidente pour moi étant donné que $X$ et $D$ ne commutent pas.

C'était une erreur. J'ai remis les $X$ et les $D$ dans le bon ordre.

i.zitoussi

Re.
Je crois que c'est la formulation "Analyse : Supposons qu'il existe des polynômes $p_i$ tels que $f=\sum p_i(X) D^i$" qui m'a dérouté, et m'a donné l'impression que pour démontrer le résultat, tu commençais par supposer le résultat.
Donc maintenant on est d'accord.
Pour résumer:

Si $u: k[X]\to k[X]$ préserve la filtration canonique (autrement dit, sa matrice dans la base canonique est triangulaire supérieure), alors il existe une unique séquence $(p_n)_{n\geq 0}$ de polynomes telle que $u=\sum_{i\geq 0} p_i(X) D^i$, et chaque $p_n$ est nécessairement de degré au plus $n$. Plus précisément:
$$
n!\, p_n = \sum_{i\geq 0} \binom{n}{i}(-X)^{n-i}q_i
$$
où $q_i:= u(X^i)$.


Je trouve que c'est un truc bon à savoir, pas mécontent d'avoir posé la question. Je te remercie pour l'intérêt que tu y as porté. Merci aussi à Frédéric, ma question était plus que floue à la base.

Cependant Calli, ta deuxième expression pour $\pi_n$, celle avec l'exponentielle, je coince toujours!

Calli

i.zitoussi a écrit:

Cependant Calli, ta deuxième expression pour $\pi_n$, celle avec l'exponentielle, je coince toujours!

Ah mais tu as raison, ça ne marche pas ! J'ai laissé certaines commutations interdites sans m'en rendre compte. Cette partie-là est à oublier !

i.zitoussi

Réflexion faite, cette histoire de préserver la filtration est complètement superflue.

Tout endomorphisme de $k[X]$ peut s'exprimer sous la forme d'une série formelle en $X$ et $D$:
$$
u = \sum_{n\geq 0} p_n\frac{D^n}{n!} \iff p_n = \sum_{i\geq 0} \binom{n}{i}(-X)^{n-i}u(X^i).

$$ Par exemple, pour $u = ( P(X)\mapsto P(X^2))$, l'application de Frédéric Bosio du début, on obtient $p_n=[X(X-1)]^n$.

On peut interpréter la séquence de polynomes $(p_n)_{n\geq0}$ comme une application disons $v: k[X]\to k[X]$, $v(X^n)=p_n$, la transformée de Calli inverse de $u$. Sans rentrer dans les détails, dans le langage des algèbres de Hopf, la correspondance entre $u$ et $v$ est
$$
u = v*\mathrm{id}, \qquad v = u*\mathcal{S},

$$ où $*$ est le produit de convolution dans $\mathrm{End_k}(k[X])$ et $\mathcal{S}$ l'antipode (qui, par définition, est l'inverse de $\mathrm{id}$ pour ce produit).

christophe c

J'aime bien ta formule. Mais je ne capte pas bien le fl à cause des lettre qui se baladent (mais c'est pas grave, tu ne l'as pas ouvert pour moi -D )

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2186438,2186966#msg-2186966

Est-ce que sans bien entendu la prouver, tu pourrais juste m'ajouter 2-3 bricoles qui me permettent de me l'approprier? Merci.

Et si tu as le temps, éventuellement exprimer $P\mapsto P(34)$? MERCI!

i.zitoussi

Essaie d'être plus explicite, je ne comprends pas du tout ta question, en particulier le $P\mapsto P(34)$... qui est $P$ ??

Concernant le sens de ma question:
On rencontre souvent dans la littérature des opérateurs linéaires sur $k[X]$ sous la forme d'une "expression algébrique en X et D" (je reste volontairement vague sur le sens de l'expression entre guillements), où $X$ est l'opérateur "multiplication par $X$" (abus de notation) et $D$ la dérivation standard ($D(X^n)=nX^{n-1}$).
Pour préciser le sens de "on rencontre souvent", je suis en train de lire, pour le plaisir mais très péniblement, l'article de Rota, Kahaner et Odlyzko Finite Operator Calculus, qui en est truffé, mais il y a bien sur d'autres sources (la biblio de cette article est à rallonges).

Donc je voulais en avoir le coeur net, et savoir quels opérateurs linéaires sur $k[X]$ peuvent s'exprimer "à l'aide de $X$ et $D$". J'avais la très mauvaise intuition que "pas tous", avec en tête l'exemple de projecteurs. Or si on accepte des expressions algébriques infinies, c'est faux: la réponse est "tous".

Calli

Réponse à http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2186438,2187938#msg-2187938

i.zitoussi a écrit:

Réflexion faite, cette histoire de préserver la filtration est complètement superflue.

Oui. :-)

i.zitoussi a écrit:

Par exemple, pour $u = ( P(X)\mapsto P(X^2))$, l'application de Frédéric Bosio du début, on obtient $p_n=[X(X-1)]^n$.

Ça se simplifie bien, c'est joli.

Le reste sur les algèbres de Hopf, je n'ai pas compris car je n'y connais rien, mais ce n'est pas grave.

Calli

Soit $a\in \Bbb R$. Je crois que Christophe s'intéresse à l'application $-$ appelons-la $e_a$ $-$ qui associe à $P$ le polynôme constant $P(a)$. Son expression en $X$ et $D$ se calcule bien : $$\begin{eqnarray*}
e_a &=& \sum_{n=0}^\infty a^n X^{-n} \pi_n\\
&=& \sum_{n=0}^\infty a^n \sum_{i=n}^\infty (-1)^{i-n} \binom{i}{n} \frac{X^{i-n}}{i!} D^i\\
&=& \sum_{n=0}^\infty a^n \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \binom{n+k}{n} \frac{X^k}{(n+k)!} D^{n+k}\\
&=& \sum_{n=0}^\infty a^n \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{X^k}{n!k!} D^{n+k}\\
&=&\left( \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{X^k}{k!} D^k\right) \left( \sum_{n=0}^\infty \frac{(aD)^n}{n!}\right) \\
&=& \left(\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{X^k}{k!} D^k\right) \exp(aD)
\end{eqnarray*}$$
On peut en déduire que : $\forall P\in k[X],$ $$P(0)= \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{X^k}{k!} P^{(k)}(X)$$ si je n'ai pas fait d'erreur.

i.zitoussi

Désolé cc de n'avoir pas compris le sens de ta question, qui était pourtant claire...

Calli, je trouve $e_a = \sum_{i=0}^\infty (a-X)^i \frac{D^i}{i!}$.
Etant donné que $\frac{D^i}{i!}(X^n) = \binom{n}{i}X^{n-i}$, on obtient bien $e_a(X^n)=\sum_{i=0}^\infty \binom{n}{i}X^{n-i}(a-X)^i=a^n$.

i.zitoussi

Plus généralement, si $ev_Q$ est le morphisme de composition $P\mapsto ev_Q(P) = P(Q(X))$, $Q$ étant un polynome, pas nécessairement un scalaire, alors $ev_Q = \sum_{i\geq 0}(Q(X)-X)^i \frac{D^i}{i!}$

Calli

i.zitoussi : J'ai modifié mon message précédent entre temps parce que j'avais fait une erreur en mettant $\pi_n$ au lieu de $X^{-n}\pi_n$. Il faut encore que je relise mes calculs pour vérifier, mais là je n'ai pas le temps donc je reviendrai plus tard.

Calli

Je suis revenu. J'ai vérifié mes calculs. Ils sont bons et il concordent avec ce que tu as trouvé i.zitoussi puisque $\exp(aD):P\mapsto P(X+a)$ (j'aurais pu tomber directement sur ton expression, plus simple, en réindexant mes sommes selon $n+k$).

Bon en fait, je me rends compte en écrivant ce message que c'était juste la formule de Taylor. :-D8-)

i.zitoussi

OK.
Je ne suis pas certain que ce soit nécessaire, mais voici un mini topo sur les algèbres de Hopf, tout au moins sur $k[X]$:

(0) $A:=k[X]$ est une $k$-algèbre associative unitaire, c'est-à-dire qu'il existe $\imath:k\to A$ (unité) et ${\rm m}: A\otimes A\to A$ (multiplication) satisfaisant les axiomes habituels.

(1) Mais c'est aussi une cogèbre (coassociative, counitaire), c'est-à-dire:
(1-a) il existe un coproduit $\Delta:A\rightarrow A\otimes A$, coassociatif dans le sens où il vérifie:
$$
(\Delta\otimes {\rm id})\circ \Delta = ({\rm id}\otimes \Delta)\circ \Delta
$$
(axiome dual de celui d'associativité). Pour une algèbre de polynômes, ce coproduit est $P\mapsto \Delta P = P(X\otimes 1+1\otimes X)$. Dans la base canonique, ça donne $\Delta X^n = \sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i} X^i\otimes X^{n-i}$. Si on identifie $k[X]\otimes k[X]$ à $k[X,Y]$, le coproduit est ni plus ni moins que $P(X)\mapsto P(X+Y)$ et la coassociativité est évidente.

(1-b) Ce coproduit accepte une counité, c'est-à-dire $\varepsilon: A\to k$ vérifiant:
$$
(\varepsilon\otimes {\rm id})\circ \Delta = {\rm id} = ({\rm id}\otimes \varepsilon)\circ \Delta
$$

Pour $A=k[X]$, la counité est $\varepsilon(P) = P(0)$, soit $\varepsilon(X^n)=\delta_{n,0}$. On peut vérifier: $(\varepsilon\otimes {\rm id})\circ\Delta X^n = \sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i} \varepsilon(X^i)\otimes X^{n-i}=X^n$. Avec l'identification $k[X]\otimes k[X]\simeq k[X,Y]$, ça revient à dire $P(X+Y)_{|X=0} = P = P(X+Y)_{|Y=0}$.

(2) $A$ étant à la fois une algèbre et une cogèbre, on peut définir un produit de convolution sur ${\rm End}_k(A)$:
$$
f*g \doteq{\rm m}\circ (f\otimes g)\circ\Delta
$$
(ici, ${\rm m}$ est la multiplication de $A$, $\Delta$ son coproduit, et $f$ et $g$ deux application linéaires). Ce produit de convolution est toujours associatif, et admet comme élément neutre $\imath\circ \varepsilon$ (qui a un très gros noyau, donc ce produit de convolution n'a rien à voir avec la composition).

(3) S'il existe (et s'il existe il est unique), un antipode pour $A$ est l'inverse de ${\rm id}$ (l'application identité) pour ce produit de convolution, c'est-à-dire une application $\mathcal{S}: A\to A$, vérifant
$$
\mathcal{S}*{\rm id}={\rm id}*\mathcal{S} = \imath\circ\varepsilon.
$$

On peut regarder ce que ça donne pour $k[X]$. Si on note $ev_Q: k[X]\to k[X]$ le "morphisme de composition avec $Q$", $ev_Q(P)=P(Q(X))$, on trouve pour cette famille d'applications:
$$
ev_P*ev_Q = ev_{P+Q}
$$
(il suffit de le vérifier sur la base canonique: $ev_P*ev_Q(X^n) = \sum_{i=0}^n\binom{n}{i}ev_P(X^i)ev_Q(X^{n-i}) = \sum_{i=0}^n\binom{n}{i}P(X)^i Q(X)^{n-i}=(P(X)+Q(X))^n=ev_{P+Q}(X^n)$, car les $ev_Q$ sont non seulement $k$-linéaires mais aussi des morphismes d'algèbres).

Comme $ev_X={\rm id}$ et $ev_0= \imath\circ \epsilon$, l'antipode pour $k[X]$ existe et c'est $\mathcal S=ev_{-X}$, ie $\mathcal S(P)=P(-X)$.


Finalement...
Soit $u$ une application linéaire sur $k[X]$. Question: "Existe-t-il une famille de polynômes $(p_i)_{i\geq 0}$ telle que $u=\sum_{i\geq 0} p_i \frac{D^i}{i!}$ ?"

Si on interprète une famille $(p_i)_{i\geq 0}$ de polynômes comme une application $v$, $v(X^i)=p_i$, on a $\sum_{i\geq 0} p_i \frac{D^i}{i!}(X^n)=\sum_{i\geq 0} p_i \binom{n}{i}X^{n-i}=\sum_{i\geq 0} \binom{n}{i}v(X^i) {\rm id}(X^{n-i}) =(v*{\rm id})(X^n)$.

Donc la question peut se reformuler: "Existe-t-il $v$ telle que $u=v*{\rm id}$ ?"
La réponse est oui et c'est $v=u*{\mathcal S}=u*ev_{-X}$.
En particulier pour $u=ev_Q$, on trouve $v=ev_{Q-X}$ comme plus haut.

On peut clairement dire que par rapport à ton calcul de 3 lignes du début de fil c'est prendre un marteau pour écraser une mouche, mais je trouve que ça ne fait pas de mal d'avoir ça en tete.

Je note aussi que je n'ai pas fini de donner la définition d'une algèbre de Hopf, car au final certaines propriétés ne sont pas nécessaires ici, c'est surprenant. Une bigèbre est une algèbre/cogèbre telle que le coproduit $A\to A\otimes A$ et la counité $A\to k$ soient en plus des morphismes d'algèbres. Et une algèbre de Hopf est une bigèbre avec antipode.
($k[X]$ est effectivement une bigèbre, cad $\Delta(PQ) = \Delta(P)\Delta(Q)$, et $\varepsilon(PQ) = \epsilon(P)\varepsilon(Q)$. Pour $\Delta$, exprimé dans la base canonique, ça revient à l'identité de Chu-Vandermonde pour les coefficients du binôme).

christophe c

UN IMMENSE MERCI A VOUS DEUX!!!!!!!

Je vais taffer ça très vite et reviendrai vers vous en cas de besoin, je trouve ça délicieux comme activité.

Calli

i.zitoussi : C'est intéressant. Ça donne un nouvel éclairage sur les choses et ça les rend plus naturelles.