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Jeu "azul"

Bonjour
Je sèche sur le problème suivant que je me pose à propos de mon cadeau de Noël, le jeu AZUL.

Combien y a-t-il de matrices $n\times n$ dont l'ensemble des coefficients de chaque ligne et de chaque colonne est $1,n$ ?

Il est probable que ces matrices ont un nom depuis longtemps ! Si jamais je l'ai connu, je l'ai oublié.
Je pense au produit des $n$ premières factorielles mais n'arrive pas à le prouver. C'est peut-être tout simplement faux !
Une référence me ferait plaisir.
Merci.
Paul.

Réponses

  • Le nombre que tu donnes est un majorant mais pas le cardinal recherché. Il y a $n!$ possibilités pour constituer la première ligne. Mais pour la seconde ligne, il y a strictement moins de $(n-1)!$ possibilités. En effet, il y a $n-1$ choix possibles pour le coefficient en position $2,1$, $n-2$ choix possibles pour le coefficient en position $2,2$, etc. Mais certains de ces choix mènent à une impasse. Par exemple pour $n=3$, si on a commencé notre matrice comme ceci $$\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&(*)\\&\dots&\end{pmatrix}$$ on voit que l'on ne pourra pas finir.

    Si on note $p_i$ le nombre de possibilités pour remplir a $i$-ème ligne, on doit avoir que $i!-p_i$ est strictement décroissant, car il y a de plus en plus de contraintes à chaque nouvelle ligne.
  • Merci Poirot,

    mais il me semble qu'il y a bien 12 solutions pour $n=3$:

    $6$ possibilités pour la première ligne, deux pour chacune de ces 6 pour la seconde ligne et 1 enfin pour la troisième ligne une fois choisies les deux premières.
  • Bonjour.

    Si j'ai bien compris, il s'agit de carrés latins.
    Il y a une abondante source d'informations sur le sujet, tout comme sur leur comptage.

    À bientôt.

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  • Je pense que c'est la fameuse loi des petits nombres. Pour $n=4$ on voit qu'il y a (contrairement à ce que je disais !) strictement plus que $3!$ manières de remplir la seconde ligne : $$\begin{pmatrix}1&2&3&4\\&&&\\2&1&4&3\\2&3&4&1\\2&4&1&3\\3&1&4&2\\3&4&1&2\\3&4&2&1\\4&1&2&3\\4&3&1&2\\4&3&2&1\end{pmatrix}.$$ Mais après rien ne dit que toutes ses configurations sont remplissables jusqu'en bas...
  • Carré latin, mais c'est bien sûr! Merci Dreamer.
    D'après Villemin, pas de formule mais, comme le flaire Poirot, le produit des premières factorielles serait en fait un minorant.
    Cordialement
    Paul
  • Je ne pensais pas qu'on aboutirait à un problème si difficile avec les carrés latins : en fait on a même pas de formule générale pour le nombre de carrés latins d'ordre $n$.

    Dans cet article il est dit :

    "Soit $I_n$ le nombre de carrés latins d'ordre n ; jusqu'à ce jour, on a pu déterminer les valeurs exactes de $I_n$ pour $1\leq n\leq 8$. Pour calculer $I_8$, on a dû recourir à l'usage d'ordinateurs, mais même avec ceux-ci, en l'absence de nouvelles méthodes, on ne peut espérer aller bien loin dans cette direction."
  • Sur OEIS, Ils vont au moins jusqu'à 11...
    Ce sont les carrés latins réduits qui semblent être la difficulté à surmonter.
    Il y a des articles récents mais rien de concluant effectivement.
    En tous cas, il y a de la lecture pour intéressé.
    À bientôt.

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  • Bonjour
    depasse a écrit:
    D'après Villemin, pas de formule
    Soyons précis. Pour ton jeu Azul, n=5. Et Gérard Villemin indique clairement qu'il y a 161 280 possibilités, dans ton cas.
  • Quand tu auras fini avec le premier Azul, passe au deuxième (pas encore testé le troisième). Tu vas pouvoir te poser des problèmes combinatoires ...
  • Il semble que cette gamme de jeux n'est pas très interactive et est très "kitche".

    Je n'ai pas vu de présentation du jeu qui mette en avant sa mécanique intrinsèque, contrairement à Dobble, par exemple.

    À bientôt.

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