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Composition d'applications

Bonjour,

Voilà, je voudrais composer deux applications : $f : X \rightarrow Y$ et $g : Y \times Z \rightarrow T$. Je peux fabriquer : $f \times Id_Z : X \times Z \rightarrow Y \times Z$, et alors je peux composer $f \times Id_Z$ avec $g$.

Existe-t-il une autre façon de faire que cet artifice ?

Merci d'avance.

Réponses

  • Il en existe beaucoup. Par exemple, pour chaque $z_0\in Z$, tu as l'application $g' :Y\to T,\ y\mapsto g(y,z_0)$ que tu peux composer avec $f$.

    En fait "je veux composer deux applications n'a pas de sens si les images de chacune ne sont pas dans l'ensemble de départ de l'autre. Donc manifestement, il manque une vraie explication de ton projet.

    Cordialement.
  • Cela revient à composer pour chaque $z_0 \in Z$, $f$ avec la restriction de $g$ à $Y \times \{z_0\}$, en passant par l'application $Y \rightarrow Y \times \{z_0 \}, y \mapsto (y,z_0)$.

    Ce n'est pas ce que je cherche. Non, je voulais une application qui compose $f$ et $g$ sans embarquer $Z$ au départ de $f$ par l'artifice de l'application $Id_Z$. En fait, je pense que c'est impossible, il faudrait une application de $Y$ dans $Y \times Z$ intermédiaire entre $f$ et $g$ (c'est ce que je cherche), cela n'est possible qu'en fixant un $z_0$ dans $Z$.

    Merci pour ta contribution.
  • 1/ Ca ne veut pas dire grand chose de précis "composer f,g" quand elles n'ont pas de compatibilité.

    2/ On peut très bien avoir $(X\to Y)$ non vide, $((Y\times Z)\to T)$ non vide, et $X\to T$ vide (il suffit de prendre $Z:=\emptyset; T:=\emptyset$ et $X:=Y$ non vide). On peut guère faire plus extrême comme réponse "non", puisqu'elle vaut aussi dans la plus forte des logiques, la logique classique, où avec les hypothèses $vrai\to vrai$ et $(vrai \wedge faux)\to faux$ qui sont vraies, on a la fausseté de $vrai\to faux$.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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