Écriture combinaison

Bonjour
Je voudrais avoir une interprétation en analyse combinatoire lorsqu'on a une combinaison et que le chiffre du bas est plus grand que celui du haut. Qu'est-ce que cela signifie ?
Merci d'avance.

Réponses

  • Bonjour,

    ${n \choose p}$ avec $p>n$ ?
    Le nombre de parties à $p$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments, si $p>n$ : je parie que tu sais quel est ce nombre.
  • Certes, mais est utile le polynome en $p$ de degre $n$, quand $n$ est entier et quand $p$ ne l'est pas.
  • Bon je vais être plus explicite alors: expliquez moi la pièce jointe s'il vous plait.116416
  • Ça me semble simplement être une erreur de frappe.
  • Tenez je vais vous dire exactement: cela vient du site my maths space.

    Il s'agit de la colle pcsi semaine 22 dans le fichier correction et c'est l'exercice 5.
  • Erreur de frappe ? oui c'est possible.
  • Si $n \in \mathbb N$ et $p \in \mathbb N$, on désigne par $n \choose p$ le nombre de parties à $p$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments, on dit aussi le nombre de $p$-parties d'un $n$-ensemble.
    Si $p>n$, il n'y a pas de de $p$-parties d'un $n$-ensemble, et quand il n'y a pas de quelque chose, c'est qu'il y en a $0$. D'où $n \choose p$$=0$ si $p>n$. Ce n'est pas une « convention », c'est une conséquence de la définition de ${n \choose p}$. La plus belle fille du monde ne peut donner que ce qu'elle a.

    Ainsi, le symbole ${n \choose p}$ est-il défini pour tout $n \in \mathbb N$ et tout $p \in \mathbb N$.

    On peut donc représenter le triangle de Pascal comme le tableau carré à double entrée des $n \choose p$, avec les cases sur-diagonales contenant $0$. La formule de récurrence de Pascal ${n \choose p}={{n-1} \choose p}+{{n-1} \choose {p-1}}$ s'applique dans tout le tableau carré.
    Remarquons que la formule ${n \choose p}= \frac {n(n-1)...(n-p+1)}{p!}$ donne bien cette valeur $0$ si $p>n$.
    Les formules classiques reliant les coefficients binomiaux sont valables si l'on adopte cette définition de ${n \choose p}$ pour tout $n \in \mathbb N$ et tout $p \in \mathbb N$, et elles s'en trouvent simplifiées.
    Par exemple, la formule de convolution de Vandermonde : $\displaystyle \underset{k=0}{\overset{p}{\sum }}\binom{m}{k}\binom{n}{p-k}=\binom{m+n}{p}$ est vraie quels que soient les entiers naturels $m,n,p$, alors que si l'on ne définit ${n \choose p}$ que pour $n \ge p$, cette formule demande une hypothèse compliquée.

    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
    26/01/2021
  • C'est sûr (la coquille).
  • Un grand merci pour toutes ces précisions !
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