Lemme de Borel-Cantelli (notations)

Rambert

Bonjour

Je suis en train d'étudier ce théorème et ai du mal à interpréter cette notation:

$
\lim_{n} \sup A_{n}=\bigcap_{n}^{\infty}\bigcup_{k\geq n}^{\infty} A_{k}
$
Du coup?:

$
\lim_{3} \sup A_{3}=\bigcap_{3}^{\infty}\bigcup_{k\geq 3}^{\infty} A_{k}=


(A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3})\cap (A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4})\cap ...\\ \cap
(A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4}\cup\dots\cup A_{k})\cap\dots\cap
(A_{1}\cup A_{2}\cup\dots\cup A_{40}\cup\dots\cup A_{k})\cap\dots$

merci d'avance

Poirot

Si je te dis que $\lim_n \frac{1}{n} = 0$ c'est que $\lim_5 \frac{1}{5} = 0$ ?

Rambert

$
\lim_{3} \sup A_{3}=\bigcap_{3}^{\infty}\bigcup_{k\geq 3}^{\infty} A_{k}=


\bigcap_{3}^{\infty}(A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3})$

Comme ceci? comment développer davantage?
comme ça?:

$\bigcap_{3}^{\infty}(A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3})\\
=(A_{1}\cup A_{2})\cap (A_{2}\cup A_{3})\cap (A_{3}\cup A_{1})$

rebellin

C'est l'événement "une infinité de $A_n$ se produisent" (aussi grand que soit $n,$ on arrive à trouver un $A_k$ qui se produit au-delà du rang $n$).

Rambert

merci c'est plus clair
En gros c'est une expression intuitive qui ne se "développe" donc pas(comme "+/- infini")?