Équation de Hamilton-Jacobi

Calli

Bonjour,
Quelqu'un peut-il me donner l'interprétation physique de l'équation aux dérivées partielles $$\partial_t u+H(x,\nabla u)=0$$ avec par exemple $H(x,\nabla u)=\frac12|\nabla u|^2-V(x)$ ? Ce qui me gêne c'est surtout que je ne sais pas ce que $u$ représente.
Merci d'avance

AlainLyon

Selon Wikipedia en français
En mécanique hamiltonienne, les équations de Hamilton-Jacobi sont des équations associées à une transformation du hamiltonien dans l'espace des phases, et qui permettent de simplifier la résolution des équations du mouvement.

marco

$u$ est une fonction génératrice. Elle vérifie l'équation de Hamilton-Jacobi ssi la transformation canonique $(p,q) \rightarrow (P,Q)$ associée à $u$ est telle que $\dot{P}=0, \dot{Q}=0$.
$(p,q)$ sont les anciennes coordonnées dans l'espace des phases, et $(P,Q)$ les nouvelles. La transformation dépend du temps.
Par exemple $(x,p) \rightarrow (x-\frac{1}{m}p t, p)$.
Je ne connais pas tellement, peut-être ce n'est pas exact.
L'action par exemple vérifie l'équation de Hamilton-Jacobi.

YvesM

Bonjour,

@Calli :

Pour parler simplement, l’équation en question est importante théoriquement en physique.

Elle permet de lier l’équation d’une particule et celle d’une onde.

Elle permet de rapprocher la mécanique classique et la mécanique quantique. On dit aux étudiants (M1 ou M2 physique théorique) que cette équation est l’équivalente classique de l’équation de Schroedinger.

Avec des notations physiciennes on a $\displaystyle -{\partial S\over \partial t}=H(q, {\partial S\over \partial q}, t)$ avec $S$ l’action, $H$ le hamiltonien, $q$ une coordonnée généralisée et $t$ le temps.

On démontre par calcul des variations que $\displaystyle p={\partial S\over \partial q}$ : c’est le moment associé à $q.$

Pour répondre à ta question :
$u$ est l’action... l’intégrale du Lagrangien tout simplement.

$x$ est le vecteur position (généralisée, mais tu peux simplifier en considérant la position d’une particule).

$\displaystyle \nabla u$ est la quantité de mouvement (généralisée, mais...).

Et l’équation en question contient simplement la différence entre l’énergie cinétique et le potentiel.

Calli

Merci pour vos réponses.
J'avais déjà regardé la page Wikipédia, mais je n'y avais pas trouvé de réponse.
Visiblement, en vous lisant, $u$ n'a pas d'interprétation physique simple concrète et facilement compréhensible. Il faut parler de mécanique analytique, comme du lagrangien, mais je ne connais pas ça.
Tant pis ! Néanmoins si quelqu'un en trouve une explication simple, je suis toujours preneur.

YvesM

Bonjour,

Tu peux lire ceci : https://fr.wikipedia.org/wiki/Action_(physique)

Je suis d'accord avec toi, l'action est une grandeur 'théorique'.

physicius

Bonjour à tous

Calli : si tu es proche d'une BU, demande-leur qu'ils te sortent des réserves ce petit livre :

J. W. LEECH - Eléments de mécanique analytique (monographie Dunod).


J'ai travaillé la mécanique analytique dans ce petit bijou en équivalent L3. C'est un résumé du Goldstein, en plus accessible à mon avis.

Bonne suite de journée à tous.

Calli

Merci.