Souvenir de prépa ....

umrk

Je me souviens parfaitement, quand le prof a évoqué au tableau l'ensemble des parties d'un ensemble, éventuellement infini, j'ai été pris de vertige, et confusément, je me demandais en moi-même : est-ce bien légitime ? cela a-t-il un sens ?

Mais bon, je n'étais pas Patrick Dehornoy, je n'allais certainement pas essayer de polémiquer avec le prof, qui devait avoir de bonnes raisons, j'ai donc gardé pour moi mes interrogations ...

Poirot

Eh bien c'est un axiome de la théorie $\mathsf{ZF}$ communément utilisé pour formaliser les maths. Celui-ci postule l'existence d'un ensemble dont les éléments sont les parties d'un ensemble quelconque, mais celui-ci n'indique rien quant à la description de telles parties. En un sens ça offre de la flexibilité à la théorie des ensembles car cet ensemble des parties n'est pas une quantité absolue entres modèles de $\mathsf{ZF}$.

umrk

Merci, mais ...

c'est un coup à vous faire devenir intuitionniste, non ?

et oser écrire 2 à la puissance n avec n infini, ne devrait-il pas être proscrit, au même titre qu'une division par zéro ?

Maxtimax

Quel rapport avec l'intuitionnisme ? Avec ou sans tiers exclu on peut, ou non, postuler cet axiome.

et pourquoi "devrait"-ce être proscrit ? On peut tout à fait imaginer des mathématiques où on ne suppose pas cet axiome (enfin du coup il en faut d'autres pour pallier au manque, par exemple l'existence de $A\times B$); mais ce n'est pas parce qu'une notion "donne le vertige" qu'on va l'interdire.

Si c'est seulement la taille qui te pose problème, alors $\mathbb R$ devrait poser autant problème - et là on est plus embêtés parce que les mathématiques élémentaires se fondent beaucoup là-dessus (notamment la physique)