Calcul de somme

OShine

Bonsoir,

J'ai réussi la question 1 mais la 2 je n'ai pas trouvé et j'ai regardé la solution sauf que je ne comprends pas les passages encadrés en rouge.

noix de totos

Pour la $1$ère question, l'application de $\mathcal{P}(E)$ dans lui-même qui, à tout $Y \in \mathcal{P}(E)$, associe son complémentaire dans $\mathcal{P}(E)$, est une bijection.

Pour la seconde, ce n'est ni plus ni moins que la formule des probabilités totales transcrite pour les cardinaux d'ensembles finis.

lourrran

S est une somme.
On prend tous les couples (X, Y) de P(E)xP(E) , et pour chaque couple , on fait un certain calcul, ... et on additionne tous les nombres obtenus.

Prenons $X_0$ une partie de E.
$Y_0$ une partie de E.
Dans la somme, on va à un moment traiter $X_0 \cap Y_0 $ ... et à un autre moment, on va traiter $X_0 \cap \overline{Y_0} $ puisqu' on traite toutes les parties de E

L'idée, c'est de dire : a+b+c+d ... c'est égal à d+c+b+a
et a+d , b+c , si on se débrouille bien, si on associe bien les termes 2 à 2 de façon astucieuse, ce sont des choses qu'on sait calculer plus facilement. C'est plus ou moins la même astuce que celle employée par Euler enfant pour calculer la somme des nombres de 1 à n.

$ Card(X_0 \cap Y_0 ) $ ou $Card (X_0 \cap \overline{Y_0} ) $ , galère de les compter .
Mais $ (X_0 \cap Y_0 ) \cup (X_0 \cap \overline{Y_0} ) $ , ça se simplifie , c'est $X_0$ (et en plus, bonne nouvelle, c'est l'union de 2 parties disjointes) .
Donc $ Card (X_0 \cap Y_0 ) + Card (X_0 \cap \overline{Y_0} ) $ , c'est $Card(X_0)$

OShine

Merci pour vos réponses, j'essaie de démontrer les deux points.

Soit $f : \mathcal P(E) \longrightarrow \mathcal P(E) \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Y \mapsto \bar{Y}$. Montrons qu'elle est bijective.

Soit $Y \in \mathcal P(E)$. $f \circ f(Y)=\bar{\bar{Y}}=Y$. $f$ est une involution, elle est donc bijective.

Mais sur un exemple concret je ne comprends pas. Soit $E= \{1,2 \}$

$\mathcal P(E)= \{ \{\emptyset \}, \{1 \} , \{2 \} , \{1,2 \} \}$

Je n'arrive pas à comprendre sur cet exemple ce que veut dire $Y$ parcourt $\mathcal P(E)$ alors le complémentaire parcourt $\mathcal P(E)$.

Pour la 2, je ne m'en sors pas dans des calculs interminables :-(

$(X \cap Y ) \cup (X \cap \bar{Y})= ( (X \cap Y ) \cup X ) \ \cap ((X \cap Y ) \cup \bar{Y})) \\
=(X \cup X) \cap (X \cup Y) \cap (X \cup \bar{Y} ) \cap (Y \cup \bar{Y}) \\
= X \cap (X \cup Y) \cap (X \cup \bar{Y} ) \cap E \\
= X \cap (X \cup Y) \cap (X \cup \bar{Y}) \\
=X \cap (X \cup \bar{Y} ) \\
=(X \cap X) \cup (X \cap \bar{Y}) \\
=X \cup (X \cap \bar{Y}) \\
$

noix de totos

Puisque $\left\{ Y, \overline{Y} \right\}$ est une partition de $E$, on a
$$\left| X \right| = \left| X \cap E \right| = \left| X \cap \left( Y \cup \overline{Y} \right) \right| = \left| (X \cap Y) \cup (X \cap \overline{Y} ) \right| = \left| X \cap Y \right| + \left| X \cap \overline{Y} \right|.$$

Edit : j'ai corrigé.

OShine

Merci c'est très clair.

Il ne faut pas montrer que $\{ X \cap Y , X \cap \bar{Y} \}$ est une partition de $\mathcal P(E)$ pour appliquer la formule $card(A \cup = card(A)+card(B)$ ?

Il est évident que $ X \cap Y$ et $X \cap \bar{Y}$ sont disjoints. Mais je n'arrive pas à montrer que leur réunion donne $\mathcal P(E)$

Poirot

Normal, leur réunion fait $E$, ndt a commis une petite erreur d'inattention, mais tu aurais pu t'en rendre compte...

OShine

J'ai trouvé bizarre le $P(E)$ j'aurais mis $E$.

Mais je ne comprends pas pourquoi leur réunion donne $E$, d'après le calcul de NDT elle fait $X$ :-S

$ (X \cap Y) \cup (X \cap \bar{Y}) =X$

Poirot

C'est à mon tour de faire une erreur d'inattention, c'est bien évidemment une partition de $X$, mais à nouveau tu pouvais t'en rendre compte tout seul !

OShine

Ok merci, les ensembles sont disjoints donc le cardinal de l'union est égal à la somme des cardinaux.