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Quelle formule pour le taeg ?

Bonjour
Après m’être renseigné pour effectuer un emprunt immobilier de 200 000 € sur 20 ans à mon conseiller, les données sont les suivantes le coût du crédit (intérêt + assurance décès et perte totale et irréversible d’autonomie incluse) est de 47 207,77 €.
La mensualité est de 1016,70€ ceci donne 1016,70 *12*20=244 008. À
ceci s’ajoute les frais de dossier 3200€ et donc on arrive bien à un coût de 47 208 €. C’est bien le coût affiché.
Le TAEG (taux annualisé effectif global) communiqué pour ce même crédit, i.e qui intègre le coût de l’assurance et des frais de dossier en + des intérêts, est de 2,25%.
Naïvement, je n’ai pas fait d’études d’économie, je calcule le taux de la manière suivante : montant du coût du crédit / capital mis à disposition par la banque et on obtient (47 207,77 / 200 000 )*100=23,6%.
Ok ce n’est pas 2,25%! Ça paraît normal, ce calcul n’est pas annualisé.
Pour essayer de calculer le fameux TAEG je divise le montant du coût du crédit par le nombre de mois sur 20 ans : 47 207,77 / 240 = 196,69 €. J’ai l’impression que ces 196,69€ représente le montant par mois à payer qui constitue le coût du crédit.
En clair, chaque mois sur 1000€, 200€ sont « perdus » et donné à la banque. C’est la contrepartie de la mis à disposition du capital.
Pour calculer le TAEG annualisé je multiplie par 12 ces 196,69€ : 2360,38€. La mensualité globale est de 1016,70, je la multiplie par 12 : 12 200,40. Et donc 2360,38/12200,40 =19,35%. Ce n’est toujours pas 2,25%...
J’ai l’impression qu’on nous fabrique une formule de calcul du taux marketing de communication pour minimiser le coût du crédit aux yeux du client. La formule est fait de telle sorte que le chiffre qui sort soit faible.
Quelle est la formule du TAEG ? Partagez-vous cette impression ?
Dans quel calcul avec les données du capital prêté, des intérêts, de l’assurance et des frais de dossier apparaît le chiffre de 2,25% ?

Merci !
Joyeux réveillon114682

Réponses

  • Bonjour,

    Je n'ai pas trop le temps de répondre tout de suite, mais pour aider les autres intervenants :
    - Sais-tu ce qu'est une suite géométrique ? As-tu une certaine familiarité avec leur maniement ?
    - Sais-tu utiliser un tableur ?

    Je pense très fortement que la banque te donne le bon TAEG (j'imagine que le fait de ne pas le faire est illégal). Mais ce n'est pas si évident à calculer.

    Pour expliquer l'idée générale, j'imagine que le 01/01/2020 j'emprunte 10 000 euros à la banque au taux d’intérêt mensuel de 2 %. À chaque fin de mois, je rembourse 300 euros.

    Le 01/01/2020, j'emprunte les 10 000 euros. À la fin du mois de janvier 2020, la somme à rembourser est passée à
    10 000 $\times$ 1,02 = 10 200 euros. À ce moment je rembourse 300 euros, donc le 01/02/2020, il reste 10 200 $-$ 300 = 9 900 euros à rembourser.

    Je te laisse mener les calculs pour voir que le 01/03/2020, tu dois 9 798 euros à la banque.

    Si tu es à l'aise avec le tableur, tu peux écrire une feuille de calcul. Tu verras que le crédit est remboursé en 56 mois et que l'on paye au total 16 644 euros à la banque (coût du crédit : 6 644 euros).

    Dans ton exemple, il faut passer du taux annuel au taux mensuel pour faire les calculs, ce qui demande un petit effort.

    Bien sûr, il existe des formules "toutes prêtes" qui relient le taux, le remboursement mensuel et l'emprunt. Si tu connais les suites géométriques, un autre intervenant pourra t'expliquer (pas moi, une dinde m'attend - je ne parle pas de ma femme).
  • @Dumboxx5 : je sais le faire mais ça demande beaucoup d'explications. En plus là je suis sur un portable et en plus je n'ai pas l'esprit très clair... pour des raisons que je te laisse deviner. Je te ferai ça de la maison, en début de semaine prochaine. Si j'oublie n'hésite pas à me relancer par MP.

    Condition sine qua non : comme dit rebellin, il faut que tu connaisses la formule qui donne la somme des $n+1$ premiers termes d'une suite géométrique.
  • Grâce à un petit tour sur Wikipédia, je me suis remémoré les principales caractéristiques des suites géométriques
    J’attends avec impatience ton explication @Martial

    Joyeux Noël
  • Bonsoir à tous

    Une proposition de solution dans le fichier ci-joint

    Bonne lecture
  • INFORMATIONS COMPLEMENTAIRES

    J'ai rédigé cette proposition de réponse sous EXCEL, et, le serveur LES MATHEMATIQUES.NET refuse de prendre en considération le fichier EXCEL que j'ai transcrit automatiquement en DOS d'où une lecture disons catastrophique et incomplète : JE LE REGRETTE;
  • @Dumboxx5 : bon, je me lance. (TAEG promis, TAEG dû).
    Je reprends l'exemple de rebellin, mais pour simplifier les chiffres je prends un taux à 2,25%.
    Je commence par calculer le taux mensuel, qui est 2,25/100 divisé par 12, soit 0,001875.
    A l'avenir ce chiffre sera noté $K$, et la somme empruntée, 10000, sera notée $S_0$ ou $S$.
    A la place des 300 € de rebellin tu vas rembourser une mensualité fixe $M$. (C'est ça qui fait la difficulté du problème, car on va travailler pendant tout le raisonnement avec une inconnue).
    A la fin du premier mois tu rembourses $M$.
    Une partie de cette somme sert à payer les intérêts du 1er mois : $I_1 = 0,001875 \times 10000 = KS$.
    L'autre partie sert à rembourser la banque : $R_1 = M-I_1 = M-KS$.
    Maintenant, tu ne dois plus à la banque que la somme
    $$S_1 = S-R_1 = S-M+KS = S(1+K) -M \ \ (1).
    $$ À la fin du 2ème mois tu payes toujours $M$, mais l'intérêt est calculé, non plus sur $S$, mais sur $S_1$, donc la banque te prend $I_2 = KS_1$, et ton remboursement s'élève à $R_2 = M-I_2 = M-KS_1$.
    La somme restant due après 2 mois est
    $$S_2 = S_1 - R_2 = S_1 - M +KS_1 = S_1(1+K)-M.
    $$ Mais, compte tenu de (1), tu peux écrire
    $$S_2 = [S(1+K) -M](1+K) -M
    $$ soit $$S_2 = S(1+K)^2 -M(1+K)-M
    $$ ou encore $$S_2 = S(1+K)^2 -M[1+(1+K)].
    $$ La suite dans mon prochain post.
  • Le plus dur est fait. Je te laisse vérifier par récurrence que
    $$S_n = S(1+K)^n - M[1+(1+K)+(1+K)^2 +... +(1+K)^{n-1}],
    $$ soit, grâce à la formule magique :
    $$S_n = S(1+K)^n - M \left [\dfrac{1-(1+K)^n}{1-(1+K)} \right ],
    $$ soit aussi
    $$S_n = S(1+K)^n +\dfrac{M}{K}[1-(1+K)^n].

    $$ Maintenant, tu écris qu'au bout de 5 ans tu ne devras plus rien à la banque, donc que $S_{60} = 0$.
    Cela donne
    $$S(1+K)^{60} = \dfrac{M}{K} [1+K)^{60} -1],
    $$ d'où
    $$M= \dfrac{KS(1+K)^{60}}{(1+K)^{60}-1}.

    $$ L'application numérique donne $M=176,37$ €, donc le coût total du crédit (hors assurance et frais de dossier) est
    176,37 fois 60 égale 10582 €, donc tu paieras en tout 582 € d'intérêts.

    Dans le cas général : tu empruntes une somme $S$ avec un taux $\tau$, tu pose $K = \dfrac{\tau}{1200}$ et tu rembourses sur $n$ mois. La formule est
    $$M = \dfrac{KS(1+K)^n}{(1+K)^n -1}$$
  • Tu peux aussi te servir de cette formule à l'envers : tu veux acheter une maison avec remboursement sur 15 ans et un taux de 2,25%, et tu sais que tes moyens financiers te permettent de rembourser maximum 800 euros par mois. Pour connaître la somme que tu peux emprunter il te suffit de résoudre l'équation
    $$\dfrac{0,001875 \times S \times 1.001875^{180}} {1.001875^{180} -1} = 800$$
    donc tu pourras emprunter environ 122000 €.
  • J'en viens (enfin) au TAEG. Je reprends le 1er exemple : en plus des 10582 € tu dois payer 600 € de frais de dossier, et 30 € d'assurance par mois.
    Le crédit te revient donc à 10582 + 600 +1800 = 12982 €.
    On peut donc faire comme si tu payais chaque mois $\dfrac{12982}{60}= 216,37 €$.
    Pour connaître le taux effectif global il te faut résoudre l'équation
    $$\dfrac{K \times 10000 \times (1+K)^{60}}{(1+K)^{60}-1} = 216,37.$$
    Tu en extrais $K$**, puis tu fais $\tau = 1200 \times K$.

    En fait mon exemple est bidon car en général les banques ne prennent pas en compte l'assurance (c'est à toi de te débrouiller), donc il est probable que dans son calcul du TAEG, la banque remplacera 12982 par 11182.


    ** Là, il n'y a pas de formule magique, il faut procéder par approximations successives.
  • Enfin, je reviens à l'histoire de la maison.
    Exercice : on a vu précédemment que ta situation te permettait d'emprunter 122000 euros sur 15 ans. Or il s'avère que pour acheter la maison de tes rêves tu dois emprunter 150000 €.
    Question : sur combien de mois dois-tu emprunter pour que ta mensualité ne dépasse pas 800 € ?
  • @Martial : tu es sûr que le taux mensuel s'obtient en divisant le taux annuel par 12 ?
  • @rebellin : oui, j'ai vérifié expérimentalement. A chaque fois que j'ai fait un crédit j'ai comparé mes résultats avec ceux de la banque, et ça correspondait à quelques centimes près.
    Quelque part on se fait un peu arnaquer, puisque la banque raisonne en progressions arithmétiques, et la réalité qui nous échoit est en progression géométrique. Par contre, pour le livret A ou produits assimilés on se fait avoir dans l'autre sens.

    Il fait bon être banquier, de nos jours...
  • À noter qu'il existe des calculatrices peu connues des professeurs de mathématiques spécialement conçues pour les calculs financiers. On appelle cela des calculatrices financières (en vente sur internet). La seule fois où j'en ai vu une en vrai c'était dans le bureau d'une conseillère clientèle au Crédit Agricole et la conseillère s'en servait pour calculer des taux et des mensualités... Comme au final, elle me demandait de payer 3 fois le coût du risque de non remboursement : intérêt + assurance + hypothèque, j'ai renoncé à lui emprunter ne serais-ce qu'un seul euro !
  • Les calculatrices financières existent en effet depuis fort longtemps. Mon papa en avait une dans les années 80, j'étais petit, je n'ai jamais regardé comment cela fonctionnait. J'imagine qu'il ne l'a plus.

    Sinon pour regarder ce qui se passe quand on veut emprunter, on fait un beau tableau de remboursement sur tableur, somme restant due, mensualité, taux, capital remboursé, intérêt, nombre de mensualités. Et ensuite on s'amuse avec la "valeur cible" que l'on fait varier, selon tel taux souhaité, ou la mensualité, le montant d'emprunt etc. Ça fonctionne très bien.
  • @zeitnot : faire ça sur excel je ne trouve pas ça amusant.
    Si tu relis mon raisonnement ci-dessus tu verras que ma formule me permet de savoir à chaque instant $t$ combien je dois encore sur mon crédit.
    Bon, d'accord, ça sert à rien, il suffit de se connecter sur le site de la banque, et tu as l'info en temps réel.
    C'était juste pour dire...
  • Mon amie, experte en prêts immobiliers, a une vieille calculatrice financière qu'elle possède depuis son BTS il y a 2 décennies (et demie). Elle en est très contente apparemment !
  • Les calculatrices financières existent en effet depuis fort longtemps. Mon papa en avait une dans les années 80, j'étais petit, je n'ai jamais regardé comment cela fonctionnait. J'imagine qu'il ne l'a plus.

    Il s'agit de la série voyager de HP avec 3 scientifiques : 10, 11, 15 une pour informaticien : 16 et une pour financier la 12
    Achetée dans les années 1980 si elle était utilisée tous les jours elle devait fonctionner pendant 25 ans si elle a bien été conservée elle doit encore fonctionner!
    J'utilise encore une 11C...

    Article sur l'algorithmique utilisé sur les machines HP http://www.hpl.hp.com/hpjournal/pdfs/IssuePDFs/1977-10.pdf page 34 du pdf.
  • Merci soleil-vert, ça ressemblait tout à fait à ça !! (tu)
  • J'ai trouvé ce tuto qui a l'air complet : https://slideplayer.fr/slide/15747127/
  • Bonjour,

    merci à tous pour vos réponses rapides.

    @Martial, après avoir appliqué la formule M=(KS(1+K)^n) / ( (1+K)^n -1)
    avec K = 2,25 / 1200 , S= 200 000 et n=240 (20 ans), j'obtiens M=1035,61€.
    Or lorsque j'ai demandé la simulation à mon banquier, il m'a communiqué une mensualité de 994,18€ hors assurance et frais de dossier avec pourtant un TAEG à 2,25% !
    Soit 994,18*240=238 603,2€, soit un coût du crédit (hors assurance et frais de dossier) de 38 603,2€.

    Comment expliquer cette différence ?

    Merci d'avance
  • Bien justement, il me semble bien que dans le TAEG tu as les frais de dossier et l'assurance emprunteur. D'où la différence.
  • Effectivement, à 1200€ près, en ma faveur, le calcul est conforme au montant communiqué par la banque !

    Merci pour vos éclairages très instructifs

    Je persiste à penser que ce mode de calcul, bien que parfaitement clair et renseigné dans le contrat, contribue à donner l'impression à Monsieur ToutLeMonde qu'il ne paie pas beaucoup d'intérêts. Pour moi, au sens trivial de l'intérêt, on nous prête à (47 207 / 200 000)*100=23,6% !
  • Bonjour Dumboxx5.

    Il fut un temps où ce que tu dis était vrai, mais maintenant, les prêteurs sont tenus de fournir un tableau d'amortissement qui montre bien ce qui est payé. Si l'emprunteur veut s'illusionner sur la faiblesse du taux, et confondre le taux annuel avec le taux global, c'est son problème. Avec le TAEG, l'emprunteur sait vraiment combien il paie au total. Et rien n'interdit d'assurer le prêt ailleurs (au besoin à partir de la deuxième année si la banque ne fait des propositions intéressantes qu'avec sa propre assurance) ... si on y gagne.

    Cordialement.

    NB : 23,6% par an, j'ai vu ça dans mes jeunes années, quand l'inflation était de presque 15% annuels.
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