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Notation d'un ensemble

Bonjour,

J'ai une question concernant les notations d'un ensemble. Parmi les 2 notations ci-dessous, la 1ère est-elle correcte ? A-t-elle un sens différent de la 2ème ?

Merci d'avance.114532

Réponses

  • Bonjour.

    Formellement, la première notation définit un ensemble d'égalités, la plupart fausses, comme 2+3=1, 1+1=1, $\pi+\sqrt 3 = 1$, ... certaines vraies comme 0+1=1. La deuxième est un peu difficile à décrypter, peut être un ensemble de formules logiques comme $0\in\mathbb R \text{ et }1\in\mathbb R$ par exemple.

    Si tu veux parler de l'ensemble des couples de nombres de somme 1, il faut écrire un ensemble de couples :
    $\{(x,y) \mid x\in\mathbb R, y\in\mathbb R, x+y=1\}$.

    Cordialement.
  • J'aurais tendance à écrire $\{(x_1, x_2) \in \mathbb R^2 \mid x_1 + x_2 = 1\}$ (attention à la formule de gerard0 qui ne décrit pas la même chose, et que d'ailleurs je n'apprécie pas, étant donné l'absence du symbole $\in$ à gauche).
  • Désolé, j'étais pressé, j'ai oublié la condition x+y=1.
    Je rectifié.
    Cordialement
  • Poirot,

    en général, j'écris comme toi, en notation de sous-ensemble. Mais je suis resté sur le genre d'écriture initial, définissant directement un ensemble. Ce n'est pas mon écriture préférée, mais elle est parfois pratique.

    Cordialement.

    (*) NB : Les goûts en matière de notation sont en fait sans importance, tant que la notation est utilisable sans erreur.
  • Je suis d'accord avec toi qu'il s'agit d'une question de goût, et que tant qu'on se comprend, il n'y a pas de problème. Je voudrais juste ajouter que la notation avec un symbole $\in$ à gauche est la notation standard en théorie des ensembles, à cause du schéma d'axiomes de compréhension. "L'autre" écriture autorisée est, elle, due au schéma d'axiomes de remplacement, $$\{f(x) \mid x \in E\}$$ où $f$ est une fonction définie sur l'ensemble $E$.
  • En théorie "naïve" des ensembles, on peut définir un ensemble $E$ comme l'ensemble des $x$ qui vérifient une propriété $P$ :
    $$E=\{ x \mid P(x) \}.
    $$ En général, on s'intéresse à des $x$ qui appartiennent à un ensemble $X$ :
    $$E=\{ x\mid x \in X\ \text{et}\ P(x) \} ,$$ que l'on abrège en
    $$E=\{ x \in X \mid P(x) \}.$$
  • @Gérard : bonsoir. Tu écris :
    Formellement, la première notation définit un ensemble d'égalités (...)

    En es-tu certain ? Merci pour ton retour.
  • Oui (enfin un ensemble de phrases) et la deuxième aussi d'ailleurs. La notation
    $$
    \{f(x) \mid g(x)\}

    $$ abrège
    $$
    \{x\mid \exists t,\ [x=f(t)\ et\ g(t)] \}$$
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Christophe,

    des phrases de la forme $x_1+x_2=1$, tu ne les appelles pas des égalités ?

    Cordialement.
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