Énigmes légères grands cardinaux — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Énigmes légères grands cardinaux

Comme mes journées sont focalisées sur l'étude de l'intégrisme, je vous transmets des chtites questions sur les GC du fait que Martial dynamise cette partie du sujet depuis pas mal de fils.

Je n'ai ni vraiment les réponses (si j'écrirai "exercices"), ni vraiment la "certitude de l'avoir eue un jour. C'est plus simple de le dire comme ça car parfois j'ai l'impression d'avoir eu la réponse dans le passé, mais la mémoire...

Je rappelle le cadre pour que ce soit self-contained.

1/ On est dans ZFC (si je retire l'axiome du choix, je le dirai). Sans axiome de fondation, car ça ira plus vite.

2/ On ajoute l'axiome suivant: pour tout ensemble $A$ et tout ensemble $B$ il existe une unique $\phi$ (que je noterai $Col(A,B)$) telle que pour tout $x\in A$:
$$
\phi(x) = \{ \phi(y) \mid (y,x)\in B \}

$$ 3/ je rappelle que $dom(X) := \{x\mid \exists y: (x,y)\in X\}$

4/ Soit $E,F,G$ des ensembles. Notons $T$ l'ensemble des applications de $E$ dans $F$. Je noterai $\sigma(E,F,G)$ l'unique $\phi$ de (2) où $A:= T$ et $B:=$ l'ensemble des couples $(f,g)\in T$ tels que $\{x\mid f(x) \in g(x)\} \in G$

5/ Lorsque j'utiliserai la lettre majuscule $V$ cela signifie ra que c'est un ensemble inaccessible, ie stable par $P$ et tel que dès qu'il ne contient pas comme élément un de ses parties, c'est qu'elle a le même cardinal que $V$ tout entier.

6/ Soit $E$ un ensemble et $G$ un ultrafiltre sur $E$ et $V$ tel que $E\in V$. L'image directe $M$ de $\sigma(E,V,G)$ est appelée ultrapuissance de $V$ par $G$. Si $V$ vérifie l'axiome de fondation et $G$ est stable par intersection dénombrable alors $M$ vérifie aussi AF et est un modéle de ZFC. Et on note $j:V\to M$ pour en plus décrire la fonction $j: x\mapsto \phi([y\in E\mapsto x])$.

7/ Il peut arriver qu'on ait $j:V\to M$ sans être partie d'un ultrafiltre, dans ce cas cette notation signifie que $M$ est transitif et que pour tous éléments $x$ de $V$, et toute formule sans paramètre $R$, on a $V\models R(x_1,..)$ implique $M\models R(j(x_1),j(x_2),..)$

Voici les questions "amusantes" ou "anecdotiques" qui me viennent.

Q1.1/ Est-il possible que $G\in M$ quand on a la situation précédente et $G$ stable par intersections dénombrables (je crois que non, mais rien ne me vient d'évident pour le prouver)

Q1.2/ Est-il possible que $G\in M$ quand on a la situation précédente et $G$ n'est pas stable par intersections dénombrables (je crois que non, mais rien ne me vient d'évident pour le prouver)

Q2/ Soit$j:V\to M$ comme dans (7). On suppose que $a,b$ sont dans $M$ et qu'il y a une surjection de $a$ sur $b$. Est-ce qu'il y a forcément une telle surjection qui est dans $M$. Evidemment, on peut se poser la question que $M$ soit ou ne soit pas bien fondé, voire distinguer les cas.

Q3/ Soit $j:V\to M$ comme dans (7) qui n'est pas l'identité. Existe-t-il forcément un ordinal $a$ tel que $j(a)\neq a$?

Voili voilou, si je pense à d'autres questions, je posterai dans ce fil.

Je termine par une question vague mais assez fascinantes:

QV1/ Soit donc $V$ un ensemble inaccessible. On sait qu'il existe une partie $C$ de $V$ tel que:

1/ $C\notin V$
2/ $\forall a,b$ dans $C$, on n'a pas $a\subset b$.

Prendre par exemple l'ensemble des singletons.

Occupation de pluie: essayer de rtouver des exemples de tels $C$ qui soient le moins possible "platoniciens" dans le sens que le niveau 0 du platonisme est quand on identifie deux objets isomorphes. L'ensemble des singletons est aux antipodes de cette tendance. L'archétype d'objet non platonicien est "être une théorie" (peu importe la notion de théorie, du moment qu'on peut changer les noms). Mais là, hélas un axiome de grand cardinal exprime qu'il n'y a pas de contre-exemples. (Il s'appelle Vopenka Conjectur).
A mon sens, il peut être rigolo de chercher des trucs "un peu platoniciens" mais pas trop qui soient des contre-exemples. Evidemment on sait alors qu'on ne pourra pas identifier les trucs isomorphes. L'idée est de trouver le "mais presque" limite.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi

Réponses

  • Pour Q3) j'aurais tendance à dire oui.
    Sinon par élémentarité tu aurais $\forall \alpha, j \upharpoonright V_{\alpha} = id$, donc par "passage à la limite" $j=id$.
    Mais je peux me tromper.

    Pour le reste je ne sais pas. Pour les questions Q.1.1) et Q.1.2) ça me rappelle le forcing, quand on prouve que le générique n'est jamais dans le ground model, sauf dans les cas triviaux. Mais c'est sans doute la similitude de notation qui m'oriente dans une mauvaise direction.

    En gros, je ne peux guère t'aider.
  • Je n'ai pas compris pourquoi ton argument marche pour Q3.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Ce n'était pas un argument, je disais ça au pif, lol.
  • (:D(:D
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Q4. $j:V\to M$, avec $V,M$ bien fondés, $j$ n'étant pas l'identité sur les ordinaux. Existe-t-il un modéle $A\in V$ de ZFC qui soit transitif et tel que $j(A)=A$?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Q4 : je vais peut-être dire une connerie, mais il me semble que si $M$ est transitive et si on note $\kappa= crit(j)$, alors $\kappa$ est mesurable, donc inaccessible, et donc $A=V_{\kappa}$ répond à la question.
    Bon, ta $M$ n'est peut-être pas transitive mais on peut toujours en prendre le collapse de Mostowski, non ?

    Ou alors j'ai zappé un truc (comme d'hab).
  • Je suppose que le truc que j'ai zappé c'est que dans ton Q4 tu ne supposes pas que $j$ est élémentaire (sinon, effectivement, c'est trivial).

    Je vais maintenant te donner ma réponse à la vraie question Q4, qui je suppose va surprendre tout le monde :




    je ne sais pas.
  • Attention, dans ton exemple $A\neq j(A)$.

    Si si $j$ est élémentaire

    Et pardon par contre j'ai oublié de demander que $A$ soit "grand". Il y a tout plein d'inaccessibles dans $V_k$ qui font l'affaire.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Q5: voici un jeu que je n'ai jamais poussé très loin mais qui est à mon avis intéressant. Est donné un plongement élémentaire $j:V\to M$ de point critique $k$ ($M$ est bien fondé et transitif).

    Soit $C$ la collection des ordinaux $x$ tels que $j(x)=x$. Soit $r$ la fonction $\alpha\mapsto \alpha$ ième élément de $C$.

    On remarque que avec $\lambda:=r(k)$, on a un phénomène notationnel amusant:

    $r(2k) = 2 \lambda$
    $r(k^2)=\lambda^2$

    etc.

    Evidemment, à un moment ce charme va se briser, mais il peut être intéressant de chercher où et quand. On peut se demander comment locilisier au mieux $r(k^+)$ ou $r(card(2^k))$. Sans parler de $r(\lambda)$ lui-même :-D
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!