L'axiome I3
Salut à tous,
Je parcours en diagonale l'article de Voncenzo Dimonte : "I0 and the rank-into-rank axioms".
Page 8 je lis la chose suivante (je résume) :
On suppose I3. Soit $j : V_{\lambda} \prec V_{\lambda}$, de point critique $\kappa$, avec donc $\lambda = sup \{j^n(\kappa) : n \in \omega\}$.
On pose $\kappa_n = j^n (\kappa)$.
1) Chaque $\kappa_n$ est mesurable : OK.
2) Donc, $\lambda$ est fortement limite : OK.
3) Donc $|V_{\lambda}| = \lambda$ : c'est là que je ne suis pas d'accord. Cette propriété est vraie pour les inaccessibles, mais là $\lambda$ est loin d'être régulier, puisqu'il est de cofinalité dénombrable !
Vous en pensez quoi ?
Je parcours en diagonale l'article de Voncenzo Dimonte : "I0 and the rank-into-rank axioms".
Page 8 je lis la chose suivante (je résume) :
On suppose I3. Soit $j : V_{\lambda} \prec V_{\lambda}$, de point critique $\kappa$, avec donc $\lambda = sup \{j^n(\kappa) : n \in \omega\}$.
On pose $\kappa_n = j^n (\kappa)$.
1) Chaque $\kappa_n$ est mesurable : OK.
2) Donc, $\lambda$ est fortement limite : OK.
3) Donc $|V_{\lambda}| = \lambda$ : c'est là que je ne suis pas d'accord. Cette propriété est vraie pour les inaccessibles, mais là $\lambda$ est loin d'être régulier, puisqu'il est de cofinalité dénombrable !
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Réponses
C'est bien ce que je pensais : ce truc n'est pas vrai tout le temps, mais il est vrai dans ce contexte particulier.
Tu fais vraiment partie des gens indispensables sur ce forum.
Bonne soirée à toi
Martial
En tous cas, maintenant, tout est clair !
Effectivement, je ne pense pas que ce soit vrai en général; certainement la preuve naïve ne convient pas par manque de régularité.
Prenons par exemple la situation suivante : si l'hypothèse du continu généralisée est vérifiée, alors $\aleph_\omega$ est fortement limite. Pourtant, $V_{\omega+n}$ a alors pour cardinal $\aleph_n$, de sorte que $V_{\omega+\omega+1}$ est déjà trop gros alors $V_{\aleph_\omega}$ encore plus.
Ce dont je ne suis pas sûr c'est s'il est prouvable qu'un $\lambda$ contrexemple (i.e. fortement limite mais sans l'égalité de cardinaux) existe. Si je devais parier, je parierais que c'est le cas mais rien de moins sûr
Ah ! Si en fait :-D le raisonnement que j'ai fait juste au-dessus marche en remplaçant $\aleph_\omega$ par $\beth_1$, le premier fortement limite, aussi connu sous le nom de $|V_{\omega+\omega}|$
Bonne soirée à toi aussi
Autant dire que j'ai le cerveau lent...
Mais oui, $\beth_\omega$, "évidemment"
$$\forall \lambda,\quad \lambda < \kappa \Rightarrow 2^{\lambda} \leq \kappa.$$
Mais comme d'hab tu n'as pas lu ce qu'il y avait au-dessus : c'est une sorte de jeu de mots pour dont auquel le comprendre il eût fallu que tu lusses la prose de Max, lol.
Non non, ta phrase est parfaitement correcte.
Maintenant tu ne peux plus le dire car il y a toujours un blaireau qui va fayoter pour dire que tu parles de "choses non autorisées" avec tes élèves.