Spécificité/sensibilité
Chers forumeurs pour ma préparation du concours, j'essaie de faire cet exercice
la prévalence d’angine bactérienne parmi les enfants est de 20% durant l’hiver. Pour vous aider dans votre diagnostique, vous utilisez un test de dépistage rapide (T) de l’angine dont vous savez que la sensibilité est de 90% et que la spécificité est de 95% pour l’angine bactérienne. Quelles sont les affirmations vraies?
a) La probabilité que le T soit négatif sachant que l’enfant a bien une angine bactérienne est de 10%.
b) La probabilité qu’un enfant ait une angine bactérienne alors que le T est positif est de 90%.
c) Vous tirez au sort plusieurs échantillons de 100 enfants de votre consultation. En moyenne, ces échantillons comporteront 5 enfants ayant un test positifs sachant qu’ils n’ont pas d’angine bactérienne.
d) La probabilité que le T est positif sachant que l’enfant a bien une angine augmenterait si la prévalence de l’angine bactérienne passait de 20% à 40%.
e) Dans un échantillon de 100 enfants, en moyenne, 15 seront mal évalués par le T.
Je sais que la sensibilité du test est P(test positif | malade) et sa spécificité est P(test négatif|non malade)
Mes réponses:
a) correct: P(test négatif|malade)=1-P(test positif|malade)
je ne sais pas vérifier les réponses b) c) d) et e)
Si quelqu'un peut m'aider pour les autres réponses.
la prévalence d’angine bactérienne parmi les enfants est de 20% durant l’hiver. Pour vous aider dans votre diagnostique, vous utilisez un test de dépistage rapide (T) de l’angine dont vous savez que la sensibilité est de 90% et que la spécificité est de 95% pour l’angine bactérienne. Quelles sont les affirmations vraies?
a) La probabilité que le T soit négatif sachant que l’enfant a bien une angine bactérienne est de 10%.
b) La probabilité qu’un enfant ait une angine bactérienne alors que le T est positif est de 90%.
c) Vous tirez au sort plusieurs échantillons de 100 enfants de votre consultation. En moyenne, ces échantillons comporteront 5 enfants ayant un test positifs sachant qu’ils n’ont pas d’angine bactérienne.
d) La probabilité que le T est positif sachant que l’enfant a bien une angine augmenterait si la prévalence de l’angine bactérienne passait de 20% à 40%.
e) Dans un échantillon de 100 enfants, en moyenne, 15 seront mal évalués par le T.
Je sais que la sensibilité du test est P(test positif | malade) et sa spécificité est P(test négatif|non malade)
Mes réponses:
a) correct: P(test négatif|malade)=1-P(test positif|malade)
je ne sais pas vérifier les réponses b) c) d) et e)
Si quelqu'un peut m'aider pour les autres réponses.
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Réponses
$b)$ On note $A$ le fait d’avoir une angine (et $\bar{A}$ le fait de ne pas en avoir), $T$ le fait que $T$ soit positif (et $\bar{T}$ le fait qu’il soit négatif). On demande $P(A \mid T)$...
En préliminaire, que vaut $P(T)$ ?
$P(T) = P(T \cap (A \cup \bar{A})) = P(T \cap A) + P(T \cap \bar{A}) = P(A) P(T \mid A) + P(\bar{A}) P(T\mid \bar{A}) = 0,20 \times 0,90 + 0,80 \times (1 – 0,95) = 0,22$
Ensuite :
$P(A \cap T) = P(T) P(A\mid T) = P(A) P(T \mid A)$
Donc :
$P(A\mid T) = \left(P(A) P(T \mid A)\right) / P(T) = \left(0,20 \times 0,90\right) / 0,22 \neq 0,90$
$c)$ On demande $P(T \mid \bar{A})$...
Déjà vu en $b)$... (y avait-il une autre façon de calculer $b)$ ??? Bref $P(T\mid \bar{A})=1-0,95=0,05$ Donc la réponse est correcte.
$d)$ Ben non, il n'y a pas de raison que la sensibilité du test change en fonction du type de population... La sensibilité est propre au test, pas à la population.
$e)$ $$ \begin{array}{c|rr|r}
& A & \bar{A} \\
\hline
T& 18 & 4 & 22 \\
\bar{T} & 2 & 76 & 78 \\
\hline
\Sigma &20& 80 & 100
\end{array}
$$ $4+2=6$ enfants seront mal évalués.
[le calcul de $18$ par exemple vient du fait que si on est dans $A$, alors une proportion de $0,90$ des tests sont positifs, et $0,90 \times 20 = 18$...]
La moyenne est sur tous les échantillons possibles, et tu as dû voir en cours qu'elle est égale à l'espérance de la variable aléatoire.
Cordialement.