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Espérance empirique

Bonjour,

Je suis tombé sur cette formule, je me dis que je la connais. Mais je ne vois plus comment la montrer. Du coup vous voyez comment faire ?
$$
\frac{1}{|A|} \sum_{a_{0} \in A, \ a \in A}\left\|a-a_{0}\right\|^{2} =2 \sum_{a \in A}\Big\|a-\frac{1}{|A|} \sum_{a \in A} a\Big\|^{2} ,

$$ avec $A \subseteq \mathbb{R}^{d}$ un ensemble fini.

Réponses

  • J'ai reçu l'indication suivante :$\left(\text {recall that } \mathbb{E}\left[\|x-y\|^{2}\right]=2 \mathbb{E}\left[\|x-\mathbb{E}(x)\|^{2}\right]\right)$
  • Si $m=\mathbb{E}(X)$ et si $X$ et $Y$ sont independantes et de meme loi (avec existence des moments du second ordre) alors $$\mathbb{E}(\langle X-m,Y-m\rangle)=\langle \mathbb{E}(X-m),\mathbb{E}(Y-m)\rangle=\langle 0,0\rangle=0$$ et donc
    $$\mathbb{E}(\|X-Y\|^2)=\mathbb{E}(\|X-m-(Y-m)\|^2)=\mathbb{E}(\|X-m\|^2+\mathbb(\|Y-m\|^2)
    -2\mathbb{E}(\langle X-m,Y-m\rangle)=2\mathbb{E}(\|X-m\|^2.$$
  • Merci P. voyez vous comment l'appliquer à la question ?
  • J'essaye de reconstruire le truc mais c'est bizarre je dirais
    $$
    \frac{1}{|A|} \sum_{a \in A} = \mathbb{E}(x) .

    $$ Du coup je pense qu'on calcule espérance de $x$ contre la mesure $\sum_{a \in A} { \delta_{a} \over |A| }$
    On en déduit alors que
    $$
    2 \mathbb{E} \left[ \|x-\mathbb{E}(x) \|^{2} \right] = {2 \over |A | } \sum_{a \in A} \Big\|a - \frac{1}{|A|} \sum_{a \in A} a \Big\|^{2}.

    $$ Maintenant faisons pareil de l'autre côté ah... je crois que je viens de comprendre l'autre côté l'espérance c'est pour le couple $(x,y)$ n'est-ce pas ? D'où la double somme et la simplification :)o

    Autre question. Est-ce que cette formule là possède un nom une interprétation ? (la formule que P. a démontrée)
  • Oui, elle s'appelle la formule de mini_calli, celui qui l'a mise au jour, ou 'inventee'.
  • Merci encore :)o
  • Cette formulation de l'esperance empirique est appreciee des praticiens lorsque l'origine des mesures a un caractere artificiel, par exemple dans les bagarres Celsius Farenheit. En ce sens c'est une notion affine et non vectorielle.
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