Fonctions lipschitziennes bornées

Bunnyman0

Soit X un espace de Banach réel.
Soit Lip(X) l'ensemble des fonctions lipschitziennes de X $\longrightarrow \R\$ bornées.

On définit une norme sur Lip(X)

|| f || = sup {|| f(x) ||; x € X } + ( constante de lipschitz de f )

cte de lipschitz = sup { |f(x) - f(y)| / || x - y || ; x différent de y ; x, y variant dans X }

Je dois montrer que Lip(X) muni de cette norme est un espace de Banach.
Je n'y arrive pas,
je trouv eun "candidat limite" pour toute suite de cauchy mais je n'arrive pas à montrer qu'il est dans Lip(X)

Si quelqu'un avait la bonté d'essayer de me filer un petit coup de pouce, ça serait super

Merci.

P.S : j'ai du mal avec Latex, veuillez donc m'excuser pour cette présentation qui laisse à désirer.

gougou

$f_n$ de Cauchy implique le critère de cauchy unifome
(puisque $\|g\| \geq \|g\|_\infty$, donc déjà, $f_n$ converge uniformément ($E$ étantde Banach) vers un certain $f$.

En revenant à la def des suites de Cauchy et de la constante de Lipschitz, pour tout $\varepsilon>0$, il existe $N\in\N$ tel que pour tous $n,p>N$, et tous $x,y$ distincts de $E$

$\displaystyle \frac{\|(f_p(x)-f_p(y))-(f_n(x)-f_n(y))\|}{\|x-y\|}\leq \varepsilon$ On peut faire tendre $p$ vers $+\infty$, et tomber
sur
$\displaystyle \frac{\|(f(x)-f(y))-(f_n(x)-f_n(y))\|}{\|x-y\|}\leq \varepsilon$


Et on en déduit par un petit coup d'inegalité trianglaire à $n$ fixé que $f$ est effectivement lipschitzienne*,
et que $\|f_n-f\| \rightarrow 0$. Donc l'espace est complet.



(*)

Par exemple
$\displaystyle \frac{\|f(x)-f(y)\|}{\|x-y\|}\leq
\displaystyle \frac{\|(f(x)-f(y))-(f_n(x)-f_n(y))\|}{\|x-y\|}+\displaystyle \frac{\|f_n(x)-f_n(y)\|}{\|x-y\|}\leq \varepsilon+\|f_n\|$

Bunnyman0

Merci beaucoup Gougou.

Cette question faisait partie d'un problème visant à démontrer le théorème d'Ekeland.
Le plan de la démonstration est le suivant :

- (Lip(X), || . ||) espace de BANACH ( ça c'est ok )

- Soit a > 0. Soit e > 0. Montrer que l'on peut trouver b dans Lip(X) telle que : b(0)>0 , ||b|| < e et b(x) = 0 si ||x|| >= a.

Je n'arrive pas à faire cette question, à vrai dire je ne trouve pas d'exemple concret de fonction lipschitzienne bornée...

Soit g fonction bornée inférieurement qui va de X dans R

Considère maintenant l'ensemble Ua = { f dans Lip(X) telles que il existe u dans X, (g-f)(u) < inf { (g-f)(x) ; ||x - u || >= a } }

Il faut montrer que Ua est ouvert et dense dans Lip(X).
J'ai beau réfléchir, impossible de trouver.

En revanche, en admettant ces questions qui me posent problème, j'arrive à finir la démonstration à l'aide du théorème de Baire, entre autres.

Si quelqu'un pouvait m'aider un peu et me guider, ça serait génial.
Ca me frustre un peu de pas arriver à faire ces questions intermédiaires alors que j'ai fait la fin du problème...
Merci.

gougou

Essaye peut être des fonctions "affines par morceaux par rapport à la norme", par exemple pour $0 \leq \|x\| \| r$, avec $r=\|a\|$, poser
$b(x)=\lambda \|x\| +\mu$, en réglant $\lambda$ et $\mu$ pour avoir
$||b|| 0$, et tu prolonges par b=0 à l'extérieur de la boule.

Vue de "profil" ta fonction ressemble à un chapeau chinois, et les pentes des cordes sont controlables.

Sinon, puisque $N: \mapsto N(x)$ est 1-lipschitzienne, à partir d'une fonction $f$ de $\R$ dans $\R$ bornée à dérivée bornée style $1/(1+x^2)$ ou $exp(-x^2)$ , tu peux considérer $f\circ N$ qui sera un exemple d'élément de ton Lip

Bunnyman0

Salut.
Tout d'abord merci de prendre le temps de répondre à mes questions.

1) J'avais effectivement pensé à la faction b que tu cites, le problème c'est que je ne vois pas en quoi cette fonction est lipschitzienne, certes elle l'est sur le morceau affine, mais si tu prend un x dans la boule et un y à l'extérieur, comment as tu |b(x) - b(y)| <= k.||x - y || ?

en prenant par exemple b : x -> -e/(a+1) ||x|| + ea/(a+1) si x dans la boule, 0 sinon.

2) je ne comprends pas du tout de quoi tu parles dans la deuxième partie de ta réponse lol.

3)Si tu as un peu de temps pour m'expliquer comment on montre la densité et le fait que Ua soit ouvert ça serait super.


Merci.

gougou

Je note $r=\|a\|$, et $k$ est une certaine constante &quotassez petite"


Tu considères $f$ définie de $\R_+$ vers $\R$ comme $f(t)=k(r-t)$ sur $[0,r]$ puis $f(t)=0$ à l'extérieur. Il est facile de montrer qu'elle est lipschitzienne en regardant les pentes possibles de toutes les cordes.

d'ailleurs si $f$ est lipschitzienne sur $]a,b]$ et sur $[b,c[$, elle l'est sur $]a,c[$ (exo !) il suffit d'écrire $f(y)-f(x)=f(y)-f(b)+f(b)-f(x)$ !


Puis tu poses $b(x)=f(\|x\|)$ qui est la composée de deux lipschitzienne, et donc lipschitzienne.

(dans le détail $|b(x)-b(y)|=|f(\|x\|)-f(\|y\|) | \le K| \|x\|-\|y\| |\le K\|x-y\|$)

plus généralement, si $f$ est dérivable à dérivée bornée, l'inégalité des accroissements finis permet d'en déduire que $f$ est lipschitzienne
de rapport $K=\sup |f'|$, et donc $b=f\circ N$, avec $N:x\mapsto \|x\|$
est lipschitzienne.


Pour la densité... euh... tu as trouvé un élément de Lip arbitrairement proche de zero à support borné , à partir d'un f dans Ua , tu construis un f+b qui sera aussi dans Ua (b etant nul en dehors d'une boule centree en u au lieu de 0 par translation de la variable, cette boule etant suffisament petite pour ne pas perturber la condition d'appartenance à Ua)

Pour le coté ouvert : c'est les inegalites strictes qui font tout, en perturbant un peu tes donnees, elles resteront valables. c'est un peu vague, désolé !

gougou

euh dans mon post j'ai confondu aspect "ouvert" et "dense" ,c'est pour l'aspect "ouvert" que tu regardes le f+b

pour l'aspect dense...euh ... je sais pas trop

Bunnyman0

Encore merci pour ces réponses

Je suis tout à fait d'accord avec le fait que si une fonction est lipschitzienne sur ]a, b] et qu'elle l'est sur [b, c [ alors elle l'est sur ]a, c [

Cependant, ici la fonction est lipschitzienne sur [ 0 , r [ et sur [r, +infini [
comment conclure ?

exemple si tu prends un x dans [0, r [ et un y > r comment trouves tu
|f(x) - f(y)|<M|x - y| ????

Pour le reste, je pense que le fait d'utiliser b sert davantage pour la densité que que pour montrer que l'ensemble est ouvert.

Pour montrer qu'il est ouvert il faudrait , pour chaque f dans l'ensemble, trouver une boule ouverte centrée en f contenue dans l'ensemble, et je n'y arrive pas.

Certes pour f dans l'ensemble f + b l'est aussi mais ça ne dit rien sur le fait que c'est ouvert ou pas.

en revanche je pense que ça aide pour la densité mais je n'arrive vraiment pas à voir comment faire.

j'en appelle encore une fois à votre aide à tous, en vous remerciant (surtout gougou )
...

Please, un beau geste ...

corentin0

$|f(x)-f(y)|\leq |f(x)-f(z)|+|f(z)-f(y)|$...

Bunnyman0

ça ne marche pas car en z f est nulle

gougou

le fait qu'une borne soit infinie ne change rien. Mon $f$ est lipschitizen sur $[0,r]$ et sur $[r,+\infty[$


si $0

Bunnyman0

ok, ok j'ai rien dit lol
merci beaucoup
non il y a des fois où je pers du temps sur des trucs plus ou moins simples... mais là maintenant c'est bon.
Je te remercie encore.

si t'as une idée par contre pour l'ouvert ...

gougou

pour la densité on prends un f dans Lip, et on cherche b arbitrairement petit tel que f+b€ Ua c'est-à-dire vérifiant

(g-(f+b))(u) < inf { (g-(f+b))(x) ; ||x - u || >= a } }

j'ai l'impression que ça revient à trouver b tel que

b(u)> sup{ b(x); ||x - u || >= a }, et donc le b en chapeau chinois centré
en u tel que || b||<e doit repondre à la question, puisque b(x)=0 à l'extérieur de la boule

après c'est une manipulation sur les inegalités qui pose pas de probleme

puisque inf(A)=sup(-A)

egoroff

Tu peux préciser les hypothèses sur $g$ et la définition de $U_a$ ?

Bunnyman0

>> Egoroff :

g va de X dans R . X est de Banach.


On suppose que g est bornée inférieurement.

Ua = { f € Lip(X) / il existe u € X ;

(g-f)(u)<inf{(g-f)(x) ; ||x-u|| >= a } }

>> Gougou :

je suis d'accord que sup (A) = inf (-A) mais comment passes tu de

g-(f+b)(u)<inf { g-(f+b) (x) } à b(u)> sup {b(x)} ???

Une fois qu'on est arrivé à ça, ok c'est bon. Merci beaucoup.

gougou

Pour l'ouvert il faudrait trouver la valeur d'un réel e>0 tel que ||b||<e implique (f€Ua ==> f+b €Ua)

On suppose K=(g-(f))(u) < inf { (g-(f))(x) ; ||x - u || >= a } =K'


Il faudrait que (g-(f+b))(u) < inf { (g-(f+b))(x) ; ||x - u || >= a }
reste vrai

C'est-à-dire K-b(u) < K'-b(x ) puisque j'ajoute le meme -b(x) à tous les éléments dont on prend l'inf

ce qui donne

b(x)-b(u)<K'-K pour tout x tel que ||x-u|| >a

or b(x)-b(u) < = 2 ||b|| puisque la norme de B prend en compte la norme infinie

Bref, il suffit de prendre ||b||<e=(K'-K)/2 pour que ça marche

Je sais pas si c'est juste mais c'est une tentative

gougou

b(u)> sup{ b(x); ||x - u || >= a } est dans ma demo de densite une condition suffisnate, pas forcément nécesssaire, en revanche pour le caractère ouvert il le faut..euh y' a peut-être un pb... mais il y a des inégalités du genre

inf {f(x)-g(x)} < ou = inf(f(x))+ inf(-g(x))=inf f- sup g et ça doit marcher

egoroff

Merci Bunnyman - mais on dirait qu'entre temps gougou a résolu l'exo...

gougou

j'ai l'impression que c'est encore un peu approximatif... mais là je vais dormir !! bonne nuit!
gougou

jamie

Bonjour, j'ai un exo similaire, sauf qu'il s'agit de fonctions de $\R$ dans $\R$ et je bloque sur la complétude, pour montrer déjà que $f$ défini par convergence simple, vérifie bien que\quad $\sup\limits_{x \not =y}\dfrac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}$ est fini.

egoroffski

Salut Jamie,

C'est toujours la même idée : si $(f_n)$ est de Cauchy pour ta norme, elle est en particulier bornée. Tu en déduis un $M>0$ tel que $\frac{|f_n(x)-f_n(y)|}{|x-y|} \leq M$ pour tout $n$ et tous $x \neq y$. Tu peux alors passer à la limite lorsque $n \to \infty$, à $x,y$ fixés.

jamie

Merci beaucoup

La continuité de la valeur absolue est super pr&atique!

egoroffski

En effet (tu)(tu)

jamie

Si j' arrive à montrer que $\displaystyle \forall x \not =y \in \R \frac{\|(f_p(x)-f_p(y))-(f_n(x)-f_n(y))\|}{\|x-y\|}\leq \varepsilon$ je finis cette question (complétude de mon espace)!
Mais le problème c'est que çà ne doit pas dépendre de x et y (je ne sais pas si je suis très clair ...)

egoroffski

jamie a écrit:

(je ne sais pas si je suis très clair ...)

Non, pas tellement en fait