Définition d'un couple
Bonjour,
Si on choisit comme définition du couple $(a,b):=\{a,\{a,b\}\}$, est-ce que l'on peut montrer facilement (sans l'axiome de fondation) que $(a,b)=(c,d) \implies a=c$ et $b=d$ ?
Dans le livre de Dehornoy, la définition est $(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$, donc dans ce cas, c'est clair.
Merci d'avance.
Si on choisit comme définition du couple $(a,b):=\{a,\{a,b\}\}$, est-ce que l'on peut montrer facilement (sans l'axiome de fondation) que $(a,b)=(c,d) \implies a=c$ et $b=d$ ?
Dans le livre de Dehornoy, la définition est $(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$, donc dans ce cas, c'est clair.
Merci d'avance.
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Réponses
Pas vraiment, tout modèle de $\mathsf{ZF}$ est modèle de $\mathsf{ZF} - \text{fondation}$ !
Par contre, on doit pouvoir montrer qu'il est consistant avec $\mathsf{ZF}$ qu'il existe des modèles de $\mathsf{ZF} - \text{fondation}$ violant l'axiome de fondation de manière précise, par exemple avec un ensemble $a$ tel que tu en parles (sûrement en partant de modèles avec des atomes). Ça montrerait que l'implication $(a, b)_{marco} = (c, d)_{marco} \Rightarrow a=c$ n'est pas prouvable à partir de $\mathsf{ZF} - \text{fondation}$.
À prendre avec une pincée de sel car je ne suis pas du tout expert.
@Poirot tu as compris aussi, mais ta première phrase est ambigue, car tu réponds "pas vraiment" à "on peut supposer" sauf erreur :-D
Trouver la bonne $f$ est un exo.
Pour obtenir $a=\{\{a\} \} \neq \{a\}$, on permute $a=\emptyset$ et $b=\{\{\emptyset\}\}$, on note $c=\{\emptyset\}$. Alors $xEa \iff x \in \{\{\emptyset \}\} \iff x= \{\emptyset\}$. Donc $a=\{c\}$.
$xEc \iff x \in \{\emptyset\} \iff x= \emptyset \iff x=a$. Donc $c= \{a\}$. Donc $a=\{\{a\}\}$, et $a\neq c$.
Si tu as fait ça tout seul sans regarder la solution dans le Krivine, chapeau !
Donc l'ensemble vide pour $E$ est $0$.
On a $xEc \iff x \in d \iff x=a$ ou $x=0$. Donc $c=\{a,0\}_E$
$xEa \iff x \in b \iff x=4$, donc $a=\{c\}_E$
Donc $a=\{\{a,0\}_E\}_E$
Donc $a=\{P(a)\}_E$.
Est-ce que pour toute bijection d'un univers $V$ dans $V$, il existe un ensemble $E$ tel que $f$ est l'identité en dehors de $E$, c'est-à-dire $f(x)=x$ si $x \notin E$ ? Je pense que non, si on prend une famille croissante d'ordinaux limites $\alpha_i$ et pour $\alpha_i\leq x<\alpha_{i+1}$, on définit $f(x)=x+1$ et $f(\alpha_{i+1})=\alpha_i $. Mais il y a un problème si un ordinal limite n'est pas successeur d'un autre ordinal limite dans la famille des ordinaux limites. Ce n'est pas clair.
Quand tu partitionnes un ensemble en 2 morceaux en bijection entre eux, il est facile de construire une application sans aucun point fixe.