La structure fine de L

Martial

Salut à tous,

Page 35, theérème 3.3 (a), Kanamori énonce sans démonstration le résultat que voici, dont hélas il se sert par la suite.

Théorème : Il existe un énoncé ensembliste $\sigma_0$ tel que pour toute classe transitive $N$,
$$(N, \in) \models \sigma_0 \text{ ssi } N=L \lor N=L_{\delta} \text{ pour un certain ordinal limite } \delta > \omega.$$

Quelqu'un a-t-il une idée de la façon dont ce truc se démontre ?

Merci d'avance

Martial

Thierry Poma

Martial,

Je viens de t'envoyer les deux ouvrages cités par l'auteur. Je n'aime pas cette politique éditorialiste qui consiste à se référer à tel ou tel ouvrage pour obtenir des résultats importants, ou tout au moins utilisés dans la suite de l'exposé. C'est beaucoup trop facile. Peut-être vais-je écrire à l'auteur.

Titi

Martial

Merci Titi.
Je suis entièrement d'accord avec toi.
Perso je me permets de citer des résultats sans preuve (avec si possible références) quand je veux juste briefer le lecteur sur des ouvertures extérieures. Mais comme toi je trouve malhonnête d'écrire théorème 492 (sans démo) et d'utiliser le th 492 dans la preuve du th 1788.

Si cela ne te dérange pas je veux bien que tu me mettes en copie de ton mail à Kanamori.

Bonne soirée à toi.

christophe c

De mon téléphone. Martial: c'est simple en admettant AF. Car alors tous les transitifs sont bien fondés. Par contre l'énoncé est long. En gros c'est l'énoncé "V=L" à un chouya près.

Martial

Eurêka !
Je viens de trouver.
En fait j'avais déjà fait cette démonstration, mais avec des notations différentes.
(C'est dans mon Chap 18, lemme 73 page 38).

Maxtimax

Je pense que si on doit démontrer tous les résultats utilisés dans le bouquin on finit par ne plus pouvoir écrire de bouquins sur des sujets avancés...
Si je voulais écrire un bouquin spécifiquement sur le forcing par exemple, disons un sujet avancé de forcing (que sais-je, je n'y connais pas grand chose, mais le forcing itéré disons, ça mérite peut-être un bouquin), certainement je pourrais faire des rappels démontrés sur le forcing, mais tout écrire prendrait déjà un bouquin - si en plus je dois faire des rappels sur les ordinaux avant, je n'ai pas fini.

Martial

@Max : bien sûr tu as raison (j'ai l'impression que je dis ça à chaque fois que je t'écris).

Par exemple il y a un petit livre de Jech : "Multiple forcing", qui fait 130 pages et qui comporte 3 chapitres : Forcing, forcing itéré, forcing propre. Dans le 1er chapitre tous les rappels utiles sur le forcing tiennent en 5 pages, le reste étant consacré à des applications plus ou moins classiques.
Mais il est honnête, il prévient dans l'introduction qu'il est souhaitable que le lecteur ait déjà de solides connaissances sur le forcing de base.

Ce que je reproche à Kanamori c'est que le résultat dont on cause ici, dont une conséquence immédiate est connue sous le nom de "lemme de condensation de Gödel", n'est quand même pas particulièrement trivial. De plus les références qu'il donne (Moschovakis et Devlin) expliquent ces choses de façon imbittable. Il aurait pu citer le gros Jech : "Set Theory", qui explique ça assez bien.
Bon, c'est juste un reproche pédagogique, rien de grave...

A part ça mon gros problème avec le Kanamori c'est qu'il suppose tout le long de son bouquin des connaissances très pointues de théorie des modèles... et là, j'avoue que je suis un peu jeune, lol. En particulier tout ce qui touche à la skolemisation me laisse un peu de marbre : bon, j'ai compris en gros, mais pour les détails techniques c'est une autre affaire...