Apprendre la logique (débutant)

Xavier Var

Ce que j'aurais fait habituellement :

Si a est un réel tel que a² = 0, alors a x a = 0, alors (a = 0 ou a = 0), alors a = 0.

a² est une autre façon d'écrire a x a.

Axiomes
a est un réel tel que a² = 0
Pour tout a, a² = 0 => (a = 0 ou a = 0).
Pour tout a, (a = 0 ou a = 0) => a = 0.

gerard0

[réponse à ce message ]
XV : Oui. Et on peut passer de l'un à l'autre avec les admis habituels sur l'égalité (Christophe vient de t'en rappeler un).

Cordialement.

Xavier Var

D'accord (tu)

christophe c

Tu es retombé dans les informalismes qu'on voit souvent sur les copies d'étudiants. Tu commences ta preuve par un si, mais tu ajoutes quand-même l'axiome, etc. Il n'y a pas de suite de lignes.

Je te la mets sous bon format, sans préciser tes axiomes pour parler d'autre chose ensuite:

a²=0
a=0 ou a=0
a=0

Je ne sais pas si tu devines les objections qui te seront faites, mais je te fais gagner du temps en te les disant:

L'implication [ a²=0 => (a=0 ou a=0) ]

ne sera pas du tout acceptée comme pouvant être admise dans notre contexte d'échange.

Xavier Var

Si un élève te présente la preuve que je te donne là ci-dessous, tu vas lui donner tous les points ?
Pour tout a réel, a² = 0 => (a = 0 ou a = 0) => a = 0 ("pour tout" est un quantificateur, je suis nul en latex).

Pour l'implication a²=0 => (a=0 ou a=0), je dois la contourner ?

christophe c

Ce que je ferai avec un élève est peu en relation avec ce fil puisque nous devons gérer la mise de points au copies fausses. Il vaut mieux que tu ne me demandes pas en fait (tu serais surpris de la facilité avec laquelle on a les points)

De toute façon, comme je te l'ai dit en dehors du problème de format (ton abus de langage de commencer par "si" qui est un peu dommagedans CE FIL), effectivement, tu l'as je pense compris, pour un correcteur, même lambda, le fait de passer par a=0 ou a=0, puis dire "donc a=0" est un luxe bienvenu certes, mais ne compense pas le fait que tu n'as pas justifié a²=0 => (a=0 ou a=0).

Et pour cette simple impasse, tu n'aurais pas les points

(sauf s'il est officiellement dit que tu as droit à l'axiome
$\forall x,y: xy=0\to (x=0$ ou $y=0)$
)

Mais je te propose de renoncer à ce droit en fait (même si je ne l'ai pas dit explicitement pardon). C'est de ma faute, cet axiome te semblait tout à fait autorisé, c'est moi le fautif de l'oubli

Xavier Var

Tu veux que je prouve ce que j'ai considéré comme axiome, c'est bien ça ?

christophe c

Disons que oui, prouve $ab=0$ implique $(a=0$ ou $b=0)$

Xavier Var

D'accord. M'autorises-tu a utiliser l'axiome suivant :
Pour tout a, b et c : a = b => ac = bc ?

christophe c

Oui. C'est d'ailleurs un axiome logique en ce qu'il est admis dans toutes les maths et pas seulement dans certaines spécialités. De mon téléphone

Xavier Var

Très bien.
Je considère deux nombres a et b.

b différent de 0
ab = 0
(ab) x 1/b = 0 x 1/b
a(b x 1/b) = 0
a x 1 = 0
a = 0
a = 0 ou b = 0

christophe c

Bravo. Mais... va falloir lister les admis maintenant. Tu vas voir que la satisfaction probante ne sera pas si facile à atteindre.

Xavier Var

Génial X:-(

Tu me demandes les axiomes du style : A => (A ou , du style a x 1 = a ou les deux ?

christophe c

Tout ce que tu as utilisé

Xavier Var

Ok, je sens que ça va être vaste.

Axiomes
1/ Pour tout a : a x 1 = a
2/ Pour tout a, b et c : a x (b x c) = (a x b) x c
3/ Pour tout a : a x 0 = 0 (axiome gratuit ?)
4/ Pour tout a, b non nul : b x a/b = a

5/ Pour tout a, b et c : a = b => ac = bc
6/ Pour toute phrase A et B : A => (A ou

Qu'en penses-tu ?

christophe c

Tu retombes dans le HSujet de l'implicite.

Xavier Var

Je reprends.

b différent de 0
ab = 0
(ab) x 1/b = 0 x 1/b
a(b x 1/b) = 0
a x 1 = 0
a = 0
a = 0 ou b = 0

Axiomes
b différent de 0 et ab = 0
((b différent de 0) et (ab = 0)) => (ab) x 1/b = 0 x 1/b
((ab) x 1/b = 0 x 1/b) => (a(b x 1/b) = 0)
(a(b x 1/b) = 0) => (a x 1 = 0)
(a x 1 = 0) => (a = 0)
(a = 0) => (a = 0 ou b = 0)

Le passage en rouge est peut-être un peu fort.

christophe c

De mon téléphone je ne vérifie pas je vois que tu as compris le principe (après la flemme de taper un post peut faire faire des erreurs quasi volontaires L.

Mais si on admet le couramment admis tu as prouve la conclusion à partir de l'axiome "b non nul".

Or b non nous nul n'est pas une règle de calcul consensuelle :-D

Xavier Var

D'accord. Je crois avoir maintenant saisi.
Que cela soit des égalités, des inégalités ou toutes sortes de relations, cela n'a aucune importance. Et je comprends pourquoi tu as pris le symbole & pour illustrer ça.
C'est quoi l'étape suivante ?

christophe c

Tant mieux, mais attention quand-même, tu as prouvé
$$
b \neq 0 \to (a=0\ ou \ b=0)

$$ et non pas :
$$
a=0\ ou \ b=0 .

$$ En considérant le reste comme accepté par "la chambre des sceptiques qui te lisent".