Apprendre la logique (débutant)

Xavier Var

Ok.

3.1/ La première phrase du texte est obligatoirement une hypothèse
3.2/ Quand tu passes d'une phrase X à la suivante Y dans ton texte, tu dois admettre que (X=>Y) est une hypothèse, ou si tu veux tu as le droit de dire que Y est une hypothèse et que tu ne l'as pas inféré de la phrase précédente.

Tu peux me donner un exemple et je médite avec ce qui est dit plus haut X:-(

Foys

La logique est l'étude d'ensembles $X$ munis d'une loi de composition interne et de parties $T$ de $X$ telles que pour tous $x,y\in X$, si $x\in T$ et $xy\in T$ alors $y\in T$.
On préfère noter $"a \Rightarrow b"$ cette loi de composition au lieu de $ab$ et la priorité des parenthèses est habituellement à droite ($x\Rightarrow y \Rightarrow z$ désigne "$x \Rightarrow (y \Rightarrow z)$").

[size=x-small]Soit $L$ un langage du premier ordre dénombrable ayant au moins un symbole de constante (pour avoir équivalence entre les preuves avec contexte et les preuves sans contexte; dans ce qui suit seules des preuves de logique classique sont envisgées), construit sur les connecteurs $\Rightarrow,\perp,\forall$.
Soit $\Gamma$ une partie de $L$, $F$ une formule de $\theta$ une lettre non libre dans $\Gamma$ ni dans $F$ et $A$ une formule. Alors si $\Gamma \vdash(A \Rightarrow \forall \theta A) \Rightarrow F$, $\Gamma \vdash F$ (exo de théorie de la démonstration assez simple). Donc $\Gamma \cup \{A \Rightarrow \forall \theta A\}$ est une extension conservative de $\Gamma$. On peut raffiner ce résultat de la façon suivante (exo!! ce n'est pas tellement difficile; montrer que l'ensemble en question est stable par modus ponens et par changement approprié de lettres en gros en plus d'appliquer ce qui précède): pour tout énoncé $F$, $\Gamma \vdash F$ si et seulement si il existe une suite de formules $R_1,...,R_n$ telle que $R_n \Rightarrow R_{n-1} ... \Rightarrow R_1 \Rightarrow F$ est un théorème propositionnel de $\Gamma$ et pour tout $i$, ou bien $R_i$ est de la forme $(\forall x \Rightarrow B[x:=t]$, ou bien elle est de la forme $A \Rightarrow \forall \theta A$ où $\theta$ est une lettre non libre dans $\Gamma \cup \{F, R_1, R_2, \ldots,R_{i-1}\}$.
Un théorème propositionnel est un élément du plus pet it ensemble de formules stable par modus ponens contenant $\Gamma$ ainsi que toutes les formules de la forme $(P\Rightarrow Q \Rightarrow R)\Rightarrow (P \Rightarrow Q) \Rightarrow P \Rightarrow R $, $P \Rightarrow Q \Rightarrow P$ et $((P \Rightarrow \perp)\Rightarrow \perp) \Rightarrow P$ pour tous $P,Q,R$.

On rajoute un ensemble dénombrable $\{a_n|n \in \N\}$ aux constantes de $L$. Soit $k\mapsto t_k$ une énumération de tous les termes construits sur $L$ et $\{a_n|n\geq 1\}$ (pas $a_0$). Soit $n\mapsto (F_n)_{n\in \N}$ une énumération de toutes les formules (sur $L$ et $\{a_n|n\geq 0\}$). Soit $\varphi: \N \to \N$ une fonction strictement croissante (NB tout est constructible algorithmiquement dans ce que je dis) telle que pour tout $k$, $a_{\varphi(k)}$ n'a aucune occurrence dans les formules $F_0,F_1,...,F_n$ (ni dans $\Gamma$ qui est dans le langage de base). On pose pour tout $n$, $D_{n,m}:= \forall a_0F_n \Rightarrow F[a_0 := t_m]$ et $E_n := F_n[a_0 := \theta_n] \Rightarrow \forall a_0 F_n, $.
Alors un énoncé $H$ de $L$ est conséquence de $\Gamma$ si et seulement si c'est un théorème propositionnel de $\Gamma \cup \{D_{n,m} \mid n,m\in \N\} \cup \{E_n\mid n\in \N\}$.
Autrement dit on a une extension conservative de $\Gamma$ dans laquelle toutes les propriétés ont un contre exemple éventuel nommé à l'avance et où on peut se contenter de raisonner en calcul propositionnel.
On voit aussi grâce à ça que le théorème de complétude du premier ordre peut se déduire du théorème de complétude propositionnel.[/size]

Xavier Var

Oulalalala Foys, je ne suis pas un logicien. Même ta première phrase demande de la concentration.
Je voulais surtout éviter des explications mettant en jeu des symboles et du vocabulaire inconnus pour moi.
Logique du premier ordre dénombrable, symbole de constante, lettre non libre...
Cela m'a fait rire : "exo de théorie de la démonstration assez simple". Je ne pense pas que m'investir à comprendre tout ça soit rentable 8-)

Chaurien

Ben dis donc un texte est une suite finie de phrases, ça alors !
Et une phrase, je n'ai pas suivi, je présume que c'est une suite finie de mots.
Et un mot ...

Tout ceci est à peu près expliqué dans Molière, Le Bourgeois gentilhomme, Acte II, scène IV.
http://www.toutmoliere.net/acte-2,405364.html
Ah la belle chose, que de savoir quelque chose !
Par ma foi, il y a plus de quarante ans que je dis de la prose, sans que j’en susse rien ; et je vous suis le plus obligé du monde, de m’avoir appris cela.

Bonne soirée.
Fr. Ch.

Foys

@Xavier Var: je ne sais jamais les prérequis possédés par mes interlocuteurs sur le web :-(

A la rigueur tu peux prêter attention à la partie en caractères normaux de mon laïus et voir celle en petit comme un message publicitaire :-D

christophe c

De mon téléphone : c'est très naturel. Quand tu affirmés une nouvelle ligne Y alors que la précédente est X, tuas le choix entre dire:

Y est un axiome (une hypothèse)

ou prétendre que tu la déduis de la ligne précédente et ce faisant tu prétends que
X=>Y est un axiome.

Xavier Var

Ok j'ai compris (tu)

Situation 1
Je suis riche (A).
Je fais ce que je veux (B).
Je décide que A et B sont tous les deux des hypothèses.

Situation 2
Je suis riche (A).
Je fais ce que je veux (B).
Je décide que B est une conséquence de A. Ainsi A => B est supposé comme vrai (je l'impose).

C'est bon ? Je passe à la suite en attendant.

christophe c

Oui

christophe c

1/ Pardon, j'ai juste eu le temps d'envoyer "oui" et ma batterie m'a coupé.

L'important dans la lecture du long post que je t'ai donné c'est de retenir que TOUT ce qui est supposé doit être visible.

Fondamentalement, une "bonne preuve" n'est pas juste une suite de lignes (chaque ligne étant une affirmation), mais une suite de lignes terminées par un "car" signalant une liste de 0;1;2 voire plus de lignes précédentes.

Comme la première ligne n'a pas de lignes précédentes, elle n'a pas de "car". Mais pour toutes les autres lignes tu peux (ou pas) ajouté un "car".

Pour une raison superficielle, et parce que je tape au km sans relire, le premier format que je t'ai donné ne mentionne pas l'outil "car" et donc impose implicitement que c'est un "car la ligne d'avant". Mais c'est trop arbitraire.

Peu importe importe le format, en fait l'important que tu dois bien digérer est qu'en science on déclare IMPERTURBABLEMENT supposé tout ce qui n'est pas justifiée, Y COMPIRS les règles qu'on utilise.

2/ La grande spécificité de la logique est une fusion de 2 niveaux: à savoir que le passage de A à B est représentable par LA PHRASE (qui n'est pas un passage, mais une phrase du coup) A=>B.

Et en gros, sa spécifité s'arrête là, mais ça a beaucoup de conséquence d'une puissance extraordinaire, en particulier, il n'y a pas "de signe moins, ie on ne peut pas emprunter une hypothèse et la rembourser (enfin on peut, mais du coup, si on s'en donne le droit, on peut prouver tout ce qu'on veut, comme 3=19, etc)

Comme pour les autres domaines des maths, les matheux sont habitués à avoir des "opposés" ( comme (-3) est l'opposé de 3) et de calculer allègrement avec, ça inflige une difficulté spécifique au moment de s'accaparer la logique.

3/ J'en profite pour te donner une autre présentation:

Il y a un nouveau signe qui est le signe $\vdash$.

J'appelle "séquent" un truc de la forme $A;B;C;\dots \vdash X; Y; Z; \dots$ où les lettres majuscules sont des phrases.

Là encore ce n'est pas "léger" (mais rien n'est léger dans ce domaine). Tu as un certain nombre de "droits" formels qui t'autorise à INFERER des nouveaux séquents à partir d'anciens.

D1/ Ajouter des phrases (à droite ou à gauche, comme tu veux); changer l'ordre des phrases dans les listes

D2/ Prendre une des phrases à gauche, en choisir une à droite et former l'implication comme suit:

D2.1/ Passer de $A;B;C..\vdash X;Y;..$

D2.2/ à $A;C;..\vdash X; (B\to Y); .. $

D3/ Remplacer un point virgule par un "et" à gauche, par un "ou" à droite et réciproquement.

Exemple: passer de $A;B;C;..\vdash X; Y; Z; T; ..$ à $A;B;C;..\vdash X; (Y \ ou\ Z); ..$

D4/ Dernière règle fondamentale: si tu as déjà construit $Liste1; A\vdash liste2$ ainsi que $Liste3\vdash C$, tu peux inférer

$$ Liste1; Liste3; (C\to A) \vdash liste2$$

Attention, le droit2 est déjà assez puissant, c'est lui qui permet de jeter des hypothèses qu'on n'utilise pas.

Maintenant j'ajoute un droit D5: FUSIONNER DEUX INSTANCES DE LA MEME PHRASE DANS UNE MEME LISTE.

4/ C'est "le droit" démentiel de la science immuable qui estime qu'elle peut "photocopier" les preuves de maths. Autrement dit, on considère les énoncés mathématiques comme atemporels et clonables. C'est lui et lui seul qui rendent les maths à la fois puissantes, mais pas toujours applicables.

Cette manière de raisonner te donne tous les théorèmes (propositionnels) de maths en partant des seuls axiomes $A\vdash A$. Tu obtiens la logique intuitionniste en changeant une seule règle du jeu: toutes les listes à droite du $\vdash$ ne peuvent contenir QU'AU PLUS une phrase.

C'est le fait de pouvoir mettre plusieurs phrases à droite du $\vdash$ qui fait le raisonnement par l'absurde. Exemple:

Je pars de l'axiome $A\vdash A$;
J'en déduis $A\vdash A; B$ (D1)
J'en déduis $\vdash A; (A\to $
J'en déduis $\vdash (A$ ou $ (A\to )$

Et j'ai obtenu le THEOREME DE MATHS QUI DIT QUE (A ou (A=>B)) dont je peux t'assurer qu'il surpend beaucoup de monde.

6/ Moralement, ces règles représentent la notion de déplacement (sauf pour les droits D2 et D5) linguistique innofensif. Je te fais une image que tu peux garder éternellement ensuite, elle ne t'introduira jamais en erreur:

6.1/ Ce qu'il y a à gauche représente des cadeaux qu'on te fait. Ce qu'il y a à droite représente une liste de défis. L'axiome $A\vdash A$ dit que si on t'a offert $A$ alors tu n'as rien à faire pour obtenir $A$ (autrement dit, montrer à l'arbitre que tu disposes de A). L'idée de droite c'est que tu dois gagner un des défis au moins, sans précise lequel. Dans un système où je te forcerais à préciser le quel, tu serais intuitionniste.

6.2/ Les règles représentent "ce qu'il est facile" de faire "sans aucun cout".

6.3/ Le droit D4 parait bizarroide parce que la logique a la propriété (2) que j'ai mentionnée. En fait, c'est une traduction du droit "évident" suivant:

si je peux prouver $(A\to $ ainsi que $(C\to D)$

alors je peux prouver $(B\to C)\to (A\to D)$ (milieux => extremes)

Petit dessin:

A (=>prouvéAvant) B (=>donné) C(=>prouvéAvant) D

qui donne le chemin de A vers D

Mais la logique autorise une sorte de "disparition" du mot "vrai". Donc regarde, quand on écrit le "vrai" :

si je peux prouver $(vrai\to $ ainsi que $(C\to D)$

alors je peux prouver $(B\to C)\to (vrai\to D)$

qui se réécrit en :

si je peux prouver $B$ ainsi que $(C\to D)$

alors je peux prouver $(B\to C)\to D$

ce qui te donne le droit D4

Pour tous les autres mots (et, ou, ssi, non, etc) tu ASSUMES les axiomes qui les définissent "épiCtou". Par exemple (A=>(B=>(A et )), qui, je te le rappelle, se dit en français Si A alors si B alors (A et .

Xavier Var

Je tente l'exercice du 6/.

Ce que je suppose comme vrai dans la théorie donné :
(A et A => => B ; A ; A => B ; B => C

Preuve
A
A => B
B
B => C
C

Ce que j'ai mis en bleu c'est ce donc je suis sûr. Je n'ai pas utilisé B => A dans la théorie.

Xavier Var

a
b=>(a et b)
a et b
a et b et c

Avec cette preuve, tu as prouvé (a et b et c)

en supposant:

a
a =>(b=>(a et b))
(b=>(a et b))=>(a et b)
(a et b)=>(a et b et c)

10/ Tu remarqueras que dans ta preuve il y a des axiomes "plus cool" que d'autres, ou pour être plus précis "plus incontestable" que d'autres. Je les numérote :

a (1)
a =>(b=>(a et b)) (2)
(b=>(a et b))=>(a et b) (3)
(a et b)=>(a et b et c) (4)

Les 1,3,4 paraissent gratuits, alors que le (2) parait incontestable. (Je le réécris: si a alors si b alors [a et b] )

Oui là c'est très clair. Ce qui a été supposé comme vrai a complétement guidé la preuve, c'est comme du recopiage.

christophe c

Je te donne une correction du 6. Tu as manqué "d'audace" (maths et danse sont un peu similaires, "hésiter" trembler, se raidir est mauvais conseiller)

A
B
C

Axiomes utilisés: A; A=>B; B=>C

christophe c

XV a écrit:

c'est comme du recopiage.

Tu as TOUT COMPRIS. C'est ça la science!!! (Pas seulement les maths). C'est le fait d'utiliser des formats où "tout se voit", pas de suppositions cachées.

L'exemple très simple (et un peu maladroit) de format que je t'ai donné n'est qu'une façon de préserver la vision de tout ce qu'on suppose.

La "vraie bonne" façon c'est d'utiliser DES ARBRES et non des textes. Est-ce que tu te sens d'attaque pour googler le mot "mathématique: arbres, graphes").

Je te conseille de le faire avant de continuer de papoter ensemble. Prends un peu de culture sur la notion d'arbre en maths.(Arbres ORIENTES)

Xavier Var

Ca va être rapide je connais déjà, j'ai lu tout un chapitre sur ça :-D
L'auteur disait qu'il y avait des avantages à ce type de présentation. Je cite :

Nous allons représenter les formules sous forme d arbre et non sous forme linéaire comme on a coutume de le faire. Néanmoins, ces deux représentations sont deux manières équivalentes d'écrire une même chose. Le seul avantage de la représentation linéaire est sa conformation à la manière dont le français - comme bien d'autre langues - s'écrit : sous forme de ligne précisément. Par symétrie l inconvénient majeur de la représentation arborescente est on étalement spatial son manque de concision. Par contre s'il s'agit de comprendre comment une formule fonctionne la regarder sous forme d un arbre est toujours plus parlant.

Xavier Var

Pour la preuve avec les hypothèses.
A
B
C
Le pire c'est que j'ai pensé à ça ! Mais cela me paraissait trop "simple".

christophe c

ok, bin alors je te dis ce qu'est une preuve de math, mais attention, ici les sommets sont des phrases

Le truc prouvé est la racine de l'arbre
Les hypothèses (ou admis) utilisés sont

- toutes les feuilles
- toutes les phrases que tu peux obtenir à partir d'un sommet $s$ en écrivant que la conjonction de ses fils (les sommets qui ont une flèche partant d'eux et arrivant à $s$) IMPLIQUENT ledit sommet (la phrase écrite dedans.

L'utilité de la règle dite du modus ponens est que quand un sommet B a deux fils, l'un A=>B et l'autre A, c'est que l'admis associé s'écrit:

((A=>B) et A) =>B

Mais dont il est admis par tout le monde que ça veut dire (A=>B)=>(A=>B)

(au nom du fait que si X alors si Y alors Z est abrégé par si X et Y alors Z, qui que soient X,Y,Z)

Digère un peu tout ça (mets-le en face de l'infaillibilité scientifique obtenue), et je te parlerai ensuite de l'abstraction (déchargement des hypothèses d'une preuve).

Par exemple, tu as la preuve

a
b
c

dont les axiomes sont a; a=>b; b=>c

si j'ajoute a=> partout, ça donne la preuve:

a=>a
a=>b
a=>c

dont les axiomes sont a=>a; (a=>a)=>(a=>b); (a=>b)=>(a=>c)

qui conclut a=>c, alors qu'on aimerait bien dire que

cette preuve prouve a=>c
oui, mais à l'aide des axiomes a=>b et b=>c.

Et bien ce sera l'objet des conversations suivantes.

christophe c

Mais cela me paraissait trop "simple".

Typique:

- les élèves du secondaire pensent faire une erreur quand ils écrivent "comme x=x, donc " alors même que c'est la chose centrale en maths.

- les danseurs timides et amateurs des boites de nuit font des geste modérés et qui paraissent gauches et maladroits (on va alors dire qu'ils dansent mal) alors que les danseurs pros ont compris que les gestes exagérément amples et fous, sont EN FAIT les bons gestes qu ifont qu'on dit que quelqu'un danse bien.

- Idem dans le domaine du comique. Le comique est très proche des maths: c'est dur de trouver des bonnes blagues, mais c'est pas dire de corriger une copie censée trouver de bonnes blagues: il suffit de se demander si on rigole.

Xavier Var

a=>a
a=>b
a=>c

dont les axiomes sont a=>a; (a=>a)=>(a=>b); (a=>b)=>(a=>c)

qui conclut a=>c, alors qu'on aimerait bien dire que

cette preuve prouve a=>c
oui, mais à l'aide des axiomes a=>b et b=>c.

J'ai un peu de mal à saisir la subtilité. Pour moi, tu as prouvé que a => c avec a=>a; (a=>a)=>(a=>b); (a=>b)=>(a=>c).

christophe c

De mon téléphone. Oui mais avant d'ajouter "a=>" partout

J'avais prouvé c à partir de a et a=>b et b=> c

Parmi ces 3 hypothèses il y avait a.

Du coup EN L'ENLEVANT aimerais bien pouvoir dire que j'ai prouvé a=>c

à l'aide des deux hypothèses FAITES a=> b et b=>c

ce qui est MORALEMENT irréfutable.

Sinon ces histoires de présentation seraient peu intéressantes. Et dans les prochains échanges c'est ce qu'on va discuter doucement.

Xavier Var

Ah d'accord. J'ai compris.

christophe c

Je te donne, la règle du jeu avec les arbres.
En je te prouverai demain pourquoi on pourrait s'en passer.


La seule chose qui change c'est la manière dont tu vas recenser les hypothèses (les admis) de ton raisonnement (ton raisonnement est un arbre).

Tu pars des feuilles et tu applique progressivement la règle suivante à chaque noeud:
Recenser les hypothèses du noeud. Et si le noeud est de la forme A=>B, retirer A de la liste.

Je te donne un exemple "concon" car sur le forum, je ne peux pas afficher des arbres.

A
|
B
|
C
|
A=>C

Au noeud A, l'hypothèse est A
Au noeud B, les hypothèses sont A; A=>B
Au noeud C, les hypothèses sont A; A=>B; B=>C
Au noeud A=>C, les hypothèses sont A=>B; B=>C; C=>(A=>C)

Le théorème exhaustif prouvé est :

((A=>B) et (B=>C) et [C=>(A=>C)] ) => (A=>C)

En réalité, mais je vais doucement, le troisième admis est en balance avec le droit qu'on s'est donné de prétendre qu'on n'avais pas supposé A. C'est donc "maladroit", même si a priori pas grave. Demain, je prendrai mon courage à 2 mains et te fera un ou deux arbres avec des noeuds ayant plusieurs héritiers.

`

Xavier Var

J'ai compris (tu)

Je fais un exemple.

A
|
A => B

J'ai prouvé A => B. Bon j'en ai pris un tout simple.

christophe c

Non, tu veux dire que tu as prouvé A=>B en supposant A=>(A=>B). Ton A en feuille disparait bien du fait de la présence de A=> plus bas, mais pas le passage de A à A=>B.

Xavier Var

Ah oui bien vu c'est vrai.

A
|
B
|
A et B

J'ai prouvé (A=>B)=>(A et .

christophe c

Non!!

Au noeud A, ton axiome est A
Au noeud B, tes axiomes sont A; A=>B
Au noeud A et B, tes axiomes sont A, A=>B, B=>(A et

Tu as donc:

prouvé (A et
à partir des axiomes A, A=>B, B=>(A et

Xavier Var

Je ne comprends pas.
D'un côté :

A
|
B
|
C
|
A=>C

Au noeud A, l'hypothèse est A
Au noeud B, les hypothèses sont A; A=>B
Au noeud C, les hypothèses sont A; A=>B; B=>C
Au noeud A=>C, les hypothèses sont A=>B; B=>C; C=>(A=>C)

Le théorème exhaustif prouvé est :

((A=>B) et (B=>C) et [C=>(A=>C)] ) => (A=>C)

D'un autre côté :

A
|
B
|
A et B

Au noeud A, ton axiome est A
Au noeud B, tes axiomes sont A; A=>B
Au noeud A et B, tes axiomes sont A, A=>B, B=>(A et

Tu as donc prouvé (A et

Akram Laabidate

Salut
Pouvez vous m'expliquer monsieur que veut dire l'implication simplement ? cad une définition facile et acceptable.
Cordialement

christophe c

@XV: pardon, effectivement, j'ai laissé se glisser un tacite idiot:

la conclusion (la racine de ton arbre) est la chose prouvée A PARTIR DES AXIOMES UTILISES.

Dans le premier cas, j'ai dit "théorème exhaustif" et je pensais que le mot exhaustif se voyait bien, sorry.

On peut utiliser ici (de toute façon cette version avec les arbres est pas du tout définitive, je vais t'emmener vers les bonnes structures plus tard),

théorème --> dernière phrase de l'arbre

théorème exhaustif --> ([conjonction des axiomes utilisés] => dernière phrase de l'arbre)

par exemple dans le deuxième cas le théorème exhaustif est:

[A, A=>B, B=>(A et ] => (A et

et non pas

(A et

seul.

christophe c

J'en profite pour te donner une autre présentation (qui elle, pour le coup est très proche des standards les plus définitifs de la recherche)

1/ On prouve des phrases

2/ Le seul connecteur primitif est "=>"

3/ Les seuls axiomes primitifs sont les X=>X

3/ Ensuite des règles d'inférence qui sont les suivantes:

3.1/ permuter des hypothèses ne change pas le statut être ou ne pas être un théorème

3.2/ si $A_1\to (A_2\to (\dots A_n)\dots)$ et $B\to C$ sont des théorèmes alors :

$$ A_1\to (A_2\to (\dots ( \ [A_n\to B]\to C \ ))\dots) $$

en est un.

4/ En précisant que "les hypothèses" ou "des hypothèses" signifient que tu peux "faire comme si" :

$$A_1\to (A_2\to (\dots A_n)\dots)$$

s'écrivait

$$[A_1\ et\ ...\ et A_{n-1}] \to A_n $$

et faire comme si "et" est commutatif et associatif.

puis réécrire ensuite la phrase avec des implique.

Ce sont là, les seuls règles et axiome fondamentaux. Tout le reste devra apparaitre comme axiomes.

Et je t'annonce que :

a/ Les conclusions des théorèmes dont toutes les hypothèses sont des X=>X ou X=>(Y=>X) forment la logique affine

b/ Les conclusions des théorèmes dont toutes les hypothèses sont des
X=>X ou X=>(Y=>X) ou des (X=>(X=>Y))=>(X=>Y)
forment la logique intuitionniste

c/ b/ Les conclusions des théorèmes dont toutes les hypothèses sont des
X=>X ou X=>(Y=>X) ou des (X=>(X=>Y))=>(X=>Y) ou des [(X=>Y)=>Y] =>[(Y=>X)=>X]
forment la logique classique

Tu pourrais peut-être t'amuser à prouver quelques petits théorèmes au hasard avec ce nouveau protocole?

christophe c

C'est un peu plus abstrait, mais je te donne une définition mathématique comme je serais obligé de le faire si je parlais à un bac+2 ou 3 dans un tribunal. CA donne exactement la même chose qu'au dessus, mais c'est formalisé de façon académique.

Soit $E$ un ensemble muni de 2 applications $+$ et $\to$ allant toutes deux de $E^2$ dans $E$. De plus $+$ est commutative et associative. De plus il existe un élément $1$ dans $E$ tel que $\forall x: ( (1\to x)=x) $.

On a la propriété suivante: $\forall x,y,z: ([x\to (y\to z)] = [(x+y)\to z]$)

On appelle "théorème de cette structure $(E,+,\to, 1)$ l'intersection de tous les ensembles $A$ qui sont tels que:

1/ $\forall x: (x\to x)\in A$

2/ pour tous $x,y,u,v$ dans $A:[$ si $(x\to y)\in A$ et $(u\to v)\in A$ alors $((y\to u)\to (x\to v))\in A]$

Et par exemple, si tu étais en bac +2, je pourrais te demander de prouver que telle ou telle formule représente un élément qui est un théorème de $E$.

Xavier Var

Pour ton premier message : ah voilà, effectivement je t'avais mal compris et tu as très bien mis en évidence où était le problème.

Pour ton second message : pour le point 3/, si j'ai bien compris, je prends par exemple A et B et je me forme A ou B. Avec ça je peux dire que (A ou => (A ou ?

Dans la logique classique il y a [(X=>Y)=>Y] =>[(Y=>X)=>X] que tu as mis en plus. Y a-t-il un rapport avec le RPA ?
Quel(s) théorème(s) par exemple je peux faire ?

Xavier Var

Ton troisième message me donne un peu mal à la tête, c'est un peu tôt X:-(
J'ai connu pire (@Foys).

christophe c

Prends ton temps (c'est même impératif de le prendre). J'ai des choses à faire, suis lent, donc j'avais pris un peu d'avance.

Retiens bien le truc que je vais écrire en bleu.

1/ Tu pourrais toi-même inventer des protocoles de présentation de preuves

2/ Il s'agit juste que le protocole NE LOUPE AUCUN ADMIS.

3/ On ne peut rien prouver sans rien supposer, il y a forcément des axiomes. L'important est DE LES REPERTORIER.

Le théorème prouvé est TOUJOURS "Conjonction des admis utilisés implique la conclusion]

Ce que tu peux faire, c'est posté une preuve de maths que tu as aimé faire au lycée PAR TOI MEME, je ne parle pas d'en réciter une, et essayer de la présenter dans un protocole scientifique de ton choix, afin que si tu oublies des choses que tu aurais admises "en loucedé", on te le fasse remarquer.

Xavier Var

Ok je me lance !
Je veux montrer que pour tous les nombres a et b (b non nul) : a x 1/b = a/b.

Axiomes
1) Quotient de a par b : (a/b) x b = a
2) Pout tout a : a x 1 = a
3) Pour tout a, b, c : (a x b) x c = a x (b x c)
4) Pour tout a et b : a x b = b x a

Démonstration
a/b (hypothèse)
a/b x 1 (axiome 2)
a/b x [1/b x b] (axiome 1)
a/b x (b x 1/b) (axiome 4)
(a/b x b) x 1/b (axiome 3)
a x 1/b (axiome 1)
a x 1/b (but)

Pendant la démonstration j'ai rajouté les deux derniers axiomes car je n'arrivais pas à avancer (une gêne). Je commence à comprendre où tu veux en venir. TOUS mes axiomes ont guidés ma démonstration et EUX seulement. (tu)

christophe c

Attention: ce ne sont pas des phrases que tu as écrites. Par exemple (a/b) n'est pas une phrase. Donc, autant te le dire tout de suite, personne n'acceptera de passer du temps sur cette suite de lignes.

Les lignes (ou les noeuds des arbres) doivent être des phrases.

Cela dit, il n'y a probablement pas grand chose à changer, mais je te laisse le changer AVANT de te donner mon avis sur le recensement des axiomes.

Parce que sinon, je vais te dire que $(a/b)\to ((a/b)\times 1)$ est un axiome et ce n'est pas du tout l'usage de mettre "implique" entre deux nombres.

Xavier Var

a/b = a/b x 1
a/b = a/b x [1/b x b]
a/b = a/b x (b x 1/b)
a/b = (a/b x b) x 1/b
a/b = a x 1/b

Là c'est mieux ?

christophe c

Parfait. Tu peux essayer de numéroter et faire une association avec axiomes utilisés que tu énonces.

Xavier Var

D'accord

Axiomes
1) Pour tout a et b (b non nul): (a/b) x b = a
2) Pout tout a : a x 1 = a
3) Pour tout a, b, c : (a x b) x c = a x (b x c)
4) Pour tout a et b : a x b = b x a

Démonstration
a) a/b = a/b x 1 (axiome 2)
b) a/b = a/b x [1/b x b] (axiome 1)
c) a/b = a/b x (b x 1/b) (axiome 4)
d) a/b = (a/b x b) x 1/b (axiome 3)
e) a/b = a x 1/b (axiome 1)

Xavier Var

Une question. L'application de deux axiomes identiques donne-t-il un théorème ?
Par exemple si a, b, c et d sont des nombres réels, est-ce que l'égalité (a+b) + (c+d) = (c+d) + (a+b) est considéré comme une axiome ?

christophe c

Malgré ton honnêteté, tu vois qu'il y a du travail car tu n'as pas énoncé les axiomes VISIBLES. Tu es dans l'implicite.

Le passage de la ligne1 à la ligne2 de ta preuve affiche l'axiome:

(a/b = a/b x 1 ) => (a/b = a/b x [1/b x b] )

or tu dis que c'est dû à l'axiome $ \forall a,b: (a/b) \times b = a$

Tu vois que tu n'as pas encore complètement intégré le devoir de la science d'être formelle :-D

Xavier Var

Je ne vois pas où est mon erreur. L'égalité est valable pour tout a en particulier donc à fortiori pour 1.
Ecrire 1 comme le produit 1/b x b arrange tout le problème.
Sinon, je prends ça comme axiome à la place : pour tout b non nul : 1/b x b = 1.
Et là tu vas me dire qu'il y a encore un problème ? S'il y en a pas c'est que mon "donc à fortiori" (première ligne) était le problème.

christophe c

Non, non, rien à voir, en plus je ne parlerai pas d'erreur, mais de difficulté à te mettre dans la règle du jeu,

je te le redis.

Tu passes d'une ligne qui dit $a=b$ à une ligne qui dit $a=c$

Autrement dit, tu utilises l'axiome $(a=b)\to (a=c)$

Or tu prétends avoir utilisé l'axiome $b=c$

Voilà, j'espère que comme ça tu vois mieux à quel point tu t'es fait avoir toi-même par tes propres dogmes, tes propres connaissances.

Xavier Var

Peux-tu répondre à ma seconde question concernant l'application de deux axiomes identiques ?

Si a, b, c et d sont des nombres réels, est-ce que l'égalité (a+b) + (c+d) = (c+d) + (a+b) est considéré comme une axiome ?

christophe c

Le mot axiome et le mot hypothèse sont de parfait synonymes mathématiques. Le mot "axiome" est plutôt utilisé psychologiquement dans la durée pour dire "hypothèse qu'on fera pendant les 10 prochaines années au moins" par exemple.

Donc oui.

Même 3=10 peut s'appeler axiome si tu veux.

Pour le reste je reviens demain plus en détail, grosse envie d'aller au dodo là

Xavier Var

Ok bonne nuit.
J'ai référencé les axiomes pour la petite démonstration. Apparemment j'en ai oublié. Je les rappels et demain si tu le veux bien on peut travailler sur cette petite preuve pour que je puisse bien m'imprégner des règles du jeu.

Axiomes
1) Pour tout a et b (b non nul): (a/b) x b = a
2) Pout tout a : a x 1 = a
3) Pour tout a, b, c : (a x b) x c = a x (b x c)
4) Pour tout a et b : a x b = b x a

Axiome(s) oublié(s)
5) Pour tout a, b et c : (a = b et b = c) => (a = c)
6) Pour tout a, b et c : (a = b et a = c) => (b = c) Mais j'ai comme un doute sur le bien fondé de cet axiome par rapport au précédent 8-)

gerard0

De quel axiome as-tu besoin pour passer de 5 à 6 ?

Cordialement.

Xavier Var

Bonjour gerard0

Christophe me montre sur une simple égalité à justifier les axiomes dont je dois avoir conscience.
Pour ta question je veux savoir s'il y a un lien existant entre ces deux axiomes. J'en ai pas l'impression. Cela me semble deux axiomes différents. Qu'en penses-tu ?

christophe c

@XV afin j'économise de l'encre, je prends une autre démonstration beaucoup plus courte et je te fais le bilan de nos échanges récents:

On va dire que tu as écrit:

Preuve:
a=b
a=c
a=d

Mes axiomes sont :
a=b;
b=c;
c=d


Je t'ai répondu (disons):

non, tes axiomes sont :

a=b
(a=b => a=c)
(a=c => a=d)


A noter d'ailleurs, que tu n'en utilises pas d'autres dans cette preuve.
Est-ce que tu arrives à voir la différence entre ce que tu dis et ce que je et dis et est-ce que tu arrives à voir que ce n'est pas ici une question de vérité - fausseté, mais de protocole?


Tu t'en rendras peut-être mieux compte si je remplace le signe = par un autre signe, je vais mettre le signe &


On va dire que tu as écrit:

Preuve:
a&b
a&c
a&d

Mes axiomes sont :
a&b;
b&c;
c&d


Je t'ai répondu (disons):

non, tes axiomes sont :

a&b
(a&b => a&c)
(a&c => a&d) .

A noter d'ailleurs, que tu n'en utilises pas d'autres dans cette preuve


Attention, je précise que j'ai bien compris que tu considères comme TACITE que x=y =>(u=x => u=y)

Xavier Var

D'accord en effet j'étais à coté de la plaque.
Peut-être un autre exemple et c'est toi qui choisis ?

christophe c

Bin par exemple, tu pourrais essayer de prouver que $a^2=0\to a=0$?

Puis recenser les axiomes (tu vas voir, tu vas t'éclater, c'est le niveau "logique" au dessus de s'y retrouver). Prends ton temps et profite.