Vos émerveillements mathématiques
Bonjour,
Le fil sur le déclenchement et notamment le message de Boole et Bill m'ont donné envie de vous demander :
Au plaisir de vous lire
Le fil sur le déclenchement et notamment le message de Boole et Bill m'ont donné envie de vous demander :
Quels sont les idées et les résultats mathématiques qui vous fascinent le plus ?
Je prends le premier tour :
- La définition des distributions par dualité. En partant de l'espace riquiqui des fonctions lisses à support compact, on donne naissance aux fonctions bizarres de vos rêves les plus fous, et plus encore. Et toujours par dualité, on peut étendre la transformée de Fourier de l'espace des timides fonctions $\cal S$ à toutes les distributions tempérées. Là on parle d'objets tellement peu réguliers et peu intégrables qu'on ne sait plus quoi penser de la définition d'origine $\hat f(\xi) :=\int f(x) e^{-{\rm i}x\xi}\,{\rm d}x$.
. - Le fait qu'une théorie logique (au premier ordre) a le plus souvent plusieurs modèles. Quand on parle de la théorie des groupes, ça parait évident, mais au début pour moi la logique rimait avec théorie des ensembles, et tout me laissait penser qu'il n'y avait qu'un seul modèle universel de ZFC : je ne connaissais qu’un seul $\Bbb N$, qu’un seul $\Bbb R$, etc.
. - L’équivalence de catégories entre les revêtements d’un espace topologique (connexe et localement simplement connexe) et les actions de son groupe fondamental.
. - Les ordinaux. Au début, j’ai découvert $\omega^3$, $\omega^\omega$, etc. qui commencent déjà à être un peu compliqués. Puis on m’a dit qu’il y avait des gens après $\omega^{\textstyle \omega^{\omega^\cdots}}$... et même des ordinaux non dénombrables... et par dessus le marché des cardinaux inaccessibles !
Bonus pour la longue droite parce que j'aime bien la topologie.
. - Le fait que quand on rajoute aux nombres réels une racine de $X^2+1$, on rajoute en fait, comme par magie, toutes les racines manquantes des autres polynômes réels, et même celles des polynômes complexes ! Bref, on a une clôture algébrique. Si j'étais croyant, je remercierais Dieu que ce soit si facile de clore $\Bbb R$, parce que ç'a l'air miraculeux.
. - Le théorème de complétude de Gödel, que je me résume, avec abus de langage, par "si c'est vrai, ça peut se prouver". Je le trouve bien plus dingue que ses frères les théorèmes d'incomplétude ; je ne comprends pas pourquoi les vulgarisateurs n'en parlent jamais.
. - Le fait qu’il n’y ait qu’un nombre ${\rm card}(\Bbb R)$ boréliens, et pas ${\rm card}({\cal P}(\Bbb R))$. Pourtant, quand on construit des sous-ensembles de $\Bbb R$, ils sont toujours boréliens en pratique (ou alors il faut vraiment le vouloir !).
. - Les stats. C'est fort d'arriver à calculer des probas qui portent sur la valeur d'une proba !
Au plaisir de vous lire
Réponses
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Je suis émerveillé par le fait qu'on construise les complexes aussi facilement en scindant un seul polynôme. Ce qui me touche plus encore c'est qu'on ne semble pas pouvoir se passer de l'analyse pour justifier ce théorème alors que la construction de C à partir de R est purement algébrique.
Le fait que la loi des grands nombres partant des axiomes de Kolmogorov soit si difficile à démontrer alors qu'elle semble porter en elle le principe des probabilités intuitives, mais que du coup les quelques axiomes d'espaces probabilisés suffisent à en arriver là est fort.
La géométrie en haute dimension avec les boules qui deviennent ratatinées concentrées sur leur bord de ce que je connais.
Et pour finir sur le chapitre des "Comment ça peut se démontrer si difficilement ?", il y a "si j'ai au moins autant de crayons dans la main droite que dans la gauche, et au moins autant de crayons dans la gauche que dans la droite, j'ai le même nombre de crayons dans les deux mains". -
Je partage ton émerveillement sur les ordinaux. L'indécidabilité de certaines formules ensemblistes à partir de $\mathsf{ZF}$ (notamment l'hypothèse du continu, ou l'existence de parties non Lebesgue-mesurables) et comment on établit cette indécidabilité m'a toujours fasciné.
En théorie des nombres, il y a la théorie du corps de classes, les quelques résultats de transcendance/d'indépendance algébrique connus, le fait que l'analyse complexe permette d'étudier des questions d'arithmétique, les principes local-global... -
Si on empile des boîtes en forme de cube de côté $1/n$ avec $n=1,2,3,....$ la pile est de hauteur infinie mais le volume total de ces boîtes lui est fini.Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
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Le paradoxe de Banach Tarski(qu'on découpe la sphère en un nombre FINI de morceaux me sidère), le théorème des résidus, et la géométrie projective avec ses simplifications de démonstrations lourdes dans le plan affine. J'adore aussi la "smooth infinitesimal analysis", l'analyse non standard et l'intégrale de Kurzweil Henstock.. ET j'en oublie.
Cordialement.
Jean-Louis.
P.S.: Mais ma découverte la plus extraordinaire c'est ma rencontre avec les points cycliques et les droites isotropes, en sup. -
(RLC : j'aurais tendance à dire que puisque la construction de R, elle, est analytique, il est "évident" qu'on va avoir besoin d'analyse pour prouver ce résultat, car c'est la seule porte d'entrée vers R qu'on ait)
J'ai déjà parlé des miens, mais je me répète (et j'en rajoute), parce que c'est un thème intéressant.
Comme toi et Poirot, les ordinaux - en fait, plus précisément, ce qui a déclenché l'émerveillement à ce niveau ce sont deux théorèmes: le théorème de Cantor sur P(E), et le fait que $E^2$ soit en bijection avec $E$ pour $E$ infini (comme en témoignent mes premiers messages sur le forum)
Le théorème de compacité en logique (c'est lié à ton théorème de complétude évidemment), et sa preuve par ultraproduits. Vraiment une preuve remarquable, qui m'a bien marqué.
Comme toi, la théorie des revêtements a été d'un plaisir infini à découvrir. Ce qui m'a particulièrement sidéré "à l'époque", c'est le fait qu'on en déduise si facilement un calcul de $\pi_1(\mathbb RP^2)$, alors qu'on a l'impression de n'avoir rien fait. C'est ça qui m'a vraiment lancé en topologie algébrique.
L'algèbre universelle, et spécifiquement le théorème HPS de Birkhoff (que j'ai expliqué à Homo Topi sur le forum): je sais que ce n'est "que" un résultat parmi d'autres dans la longue relation entre syntaxe et sémantique, mais je me souviens que je lisais un truc sur les anneaux, et l'auteur à un moment citait ce résultat, sans référence, sans source, sans preuve - j'ai tout de suite voulu en savoir plus et à force de recherche je suis tombé sur les bonnes réfs et j'ai vraiment été émerveillé par cette théorie et cette preuve. Avec ça, ma découverte des théories de Lawvere, qui sont aussi un sujet magnifique, et qui précisent justement cette interaction entre syntaxe et sémantique
Le résultat que les espaces topologiques compacts Hausdorff peuvent être vus comme des objets algébriques, ça aussi ça a été vraiment émerveillant.
L'introduction de $K[X]/(P)$ pour résoudre $P(x)= 0$, ça aussi ça m'a bluffé en sup, je n'en revenais pas (une idée si idiote, mais pourtant il fallait y penser)
Plus une intuition qu'un théorème précis: le fait que "isomorphe" veut dire "pareil". J'ai eu la chance de l'intégrer dès que mon prof de sup a prononcé les mots adéquats, et c'est une intuition que je trouve remarquable : elle définit la manière dont je fais et dont je pense aux maths.
Une définition, plutôt qu'un théorème: la définition d'adjonction, et le slogan de Kan "adjunctions are everywhere". J'aime particulièrement cet exemple parce que c'est un émerveillement que j'ai découvert seul; mais c'est une définition, encore une fois d'une incroyable simplicité, et qui pourtant renferme tellement de profondeur, et contient tellement d'exemples en un seul endroit unificateur. Enormément de résultats deviennent évidents une fois qu'on accepte cette définition et ses conséquences (que ce soit en algèbre, en topologie, ou en logique - d'ailleurs en logique c'est elle qui m'a permis de comprendre certaines intuitions sur les règles syntaxiques des logiques, et c'est avec ce prisme que je regarde beaucoup de définitions)
Toujours dans les définitions: la définition de $\Gamma$-espace : une définition tout à fait élémentaire qui encode une information si riche. Il m'a fallu 2-3 lectures de l'article original de Segal pour en comprendre la profondeur mais quand c'est arrivé, quelle beauté.
Bon je crois que je vais m'arrêter là, mais si je sondais ma mémoire je suis sûr que je trouverais d'autres émerveillements :-D la liste risquerait cependant d'être trop longue -
Bonjour.
Concernant le paradoxe de Banach-Tarski, mais c'est un résultat bien plus faible, c'est la fois où j'ai vu une vidéo d'un ébéniste qui, partant d'une table de forme octogonale, avait réalisé un mécanisme qui, en faisant faire une série de tours à la table, en faisait sortir des pièces qui, après rassemblement formaient une table octogonale de surface double.
Je n'ai plus jamais retrouvé cette vidéo, mais le fait de réussir à matérialiser les découpages et ajouts de pièces en un mouvement avec rassemblement final m'a profondément marqué.
Je suis aussi émerveillé par le lien profond entre les différentes preuves de calculabilité ($\lambda$-calcul, Machines de Turing).
A bientôtCherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
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D’un niveau plus rudimentaire :
$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \dfrac{1}{k^2}=\dfrac{\pi^2}{6}$.
J’ai su ça en terminale et était très intrigué d’une preuve même si je n’avais aucune connaissance du langage mathématique et de ce qu’était précisément une vraie preuve.
Les tentatives « d’explications vulgarisées » ne m’ont pas convaincu, il y en
a eu une en vidéo en anglais sur ce forum, via YouTube.
Et surtout cette stupéfaction que $\pi$ est lié à des entiers.
D’autres sommes d’ailleurs avec l’alternance des entiers impairs si je ne me trompe.
Les probas qui, par exemple avec Monte Carlo, permettent d’approcher des aires.
Et ces sondages et intervalles de confiances assez fiables. -
Déterminer le nombre $N_d$ de courbes rationnelles lisses de degré $d \geq 1$ sur une hypersurface de degré $5$ incluse dans $\mathbf{P}_{\mathbb{C}}^4$ défini comme la somme sur tous les monômes de degré $5$ possibles en les $5$ coordonnées projectives $x_i$, chaque monôme ayant un coefficient complexe.
Ce problème de géométrie algébrique est étudié depuis le dix-neuvième siècle. On sait que $N_1=2875$ et en 1980, Sheldon Katz a calculé le nombre de coniques sur une telle variété: $N_2= 609 250$.
Mais pour le peu que j’en comprends, ce qui me fascine dans cette histoire de décompte, c’est l’apport spectaculaire de la théorie des cordes !
Pour un $d$ fixé, déterminer $N_d$ est très difficile. À grands renforts de codes informatiques, les géomètres se sont essayés au calcul de $N_3$ et ont produit un résultat infirmé par les physiciens. Lesquels, une fois n’est pas coutume, ont mystifié la communauté mathématique en annonçant la valeur des $N_d$ jusqu’à $d=10$.
En simplifiant à mort, disons que ces valeurs entières figurent comme les coefficients d’une série génératrice:
\begin{equation}
\displaystyle F(q)=\sum_dN_dq^d
\end{equation} La fonction $F$ a une signification physique : elle décrit en gros la probabilité de déplacement d’une corde dans une variété de Calabi-Yau : la quintique du problème initial.
Ce qui amène au deuxième ingrédient de ce succès : la symétrie miroir qui permet de résoudre un problème géométrique en le plaçant dans le bon contexte physique.
Jean d’Alembert disait que, lorsqu’elles s’unissent, la géométrie commande la physique. Dans ce cas, c’est exactement l’inverse qui s’est produit.
... -
Merci pour vos réponses ! :-)
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Pas un résultat, mais une conjecture : celle de Hadwiger me fascine.
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Je réponds un peu à côté de la demande de Calli, mais il se trouve que j'ai récemment indiqué à mon collègue Ognian Trifonov que le résultat qu'il a démontré en collaboration avec Michael Filaseta [FT92] sur les distribution des entiers $2$-libres, appelés aussi entiers sans facteur carré, était certainement l'un des purs joyaux mathématiques qu'il m'ait été donné de lire.
Un sous-titre à leur article pourrait être : "David contre Goliath ou la revanche des méthodes élémentaires sur la sophistication".
Référence.
[FT92] M. Filaseta & O. Trifonov, On gaps between squarefree numbers. II, J. Lond. Math. Soc., II. Ser. 45 (1992), 215-221. -
Il y a pas mal de trucs qui m'ont fasciné en mathématiques : les ordinaux, la théorie de la mesure, Banach-Tarski, la duplication du cube, la construction des corps finis, les fractions continues...
Mais je crois qu'un truc qui m'émerveille toujours c'est comment les mathématiciens font pour généraliser des définitions ou des objets mathématiques à des cadres très généraux ou complètement nouveau. Dans cette catégorie on pourrait citer :
-Les opérateurs pseudo-différentiels, les dérivées fractionnaires, la quantification...
-Les (semi) groupes d'opérateurs à un paramètre
-La transformée de Fourier fractionnaire
-Les mesures et la dimension de Hausdorff
etc.
Mathcurve a aussi été une source d'émerveillement pour moi lors de mes premières années de fac. -
Bonjour
depuis toujours je suis fasciné par la présence des nombres complexes en algèbre
je suis émerveillé par les très riches applications des vecteurs en géométrie et en mécanique
et je suis très intéressé par l'usage des matrices en recherche opérationnelle et d'une façon générale en économie
cordialement -
Quelque chose qui m'a choqué plus qu'émerveillé :
À mon niveau, en mathématiques tout va toujours bien, tout est bien rangé et nickel, et puis voilà les sphères unités de dimension 1, 2, 4, 5, et 6 ont une unique structure differentiable alors que la sphère de dimension 7 en a 28, et je ne sais plus ce qu'il se passe pour les dimensions supérieures mais rien ne va (peut-être une connerie mais je crois qu'il y en a des millions pour une sphère de dimension 30 et quelques).
Dans les vrais émerveillements :
Le théorème de Riesz qui établit un lien entre une propriété purement algébrique et une propriété purement topologique et qui établit l'équivalence entre la finitude en termes d'algèbre lineaire et la finitude entre termes de topologie. -
Merci Calli pour cette initiative.
Moi c'est le théorème de Ramsey en dimension infinie (j'aime bien colorier :-)). Cette ordre dans des structures monstrueuses, je trouve cela jolie.
Au niveau M2 de jolies choses avec les systèmes de racines et les données radicielles, cela donne de jolies figures et ce n'est pas encore trop abstait. -
Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.
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Les nombres surréels de Conway sont fascinants, je trouve.
Jean-Louis. -
Quand j'ai appris (cf site de J.-L. Krivine) que le théorème de complétude de la logique du premier ordre (pour un langage dénombrable du moins) est intuitionniste (avec reformulation idoine mais on ne perd rien, cf suite du paragraphe) et en fait, pleinement Curry-Howardisable (ainsi que d'autres résultats de la même famille, comme le lemme de Tukey-Teichmüller-dénombrable à nouveau-, le lemme de Lindenbaum etc).
C'est d'autant plus surprenant que ce théorème est le parangon des résulats non constructifs (puisqu'il existe des énoncés indécidables). En fait on peut construire, étant donnés une théorie $T$ et un énoncé $P$, un modèle $M_P$ tel que si $P$ appartient aux énoncés vrais de $M_P$ alors $P$ est prouvable dans $T$. L'appartenance ou non de $P$ à l'ensemble des énoncés vrais dans $M_P$ n'est pas plus décidable que $P$ lui même en fait.
Et sinon, quand j'étais étudiant, quand mon prof nous a dit que $\mathbf P^n(\mathbf K)$ privé d'une droite à l'infini d'un hyperplan projectif à l'infini (édité) peut se voir comme un hyperplan affine dans $\mathbf K^{n+1}$, faisant le lien entre la définition abstraite de $\mathbf P^n(\mathbf K)$ comme ensemble des droites vectorielles d'un $\mathbf K$-espace vectoriel de dimension $n+1$ et la vraie idée géométrique. Ca semble basique pour tout le monde avec le recul mais je n'ai jamais ressenti une telle claque par la suite.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
C'est pas $\mathbf P^n(\mathbf K)$ privé d'un de ses hyperplans projectifs plutôt ? ;-)
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Tu as tout à fait raison gai requin:-D (quand c'est le résultat qui t'a le plus ému et que tu le cites même pas correctement lol)Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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Deux mots aussi sur Teichmüller-Tukey. Il s'agit techniquement de l'énoncé 2 ci-dessous (et ma remarque portait sur le cas dénombrable).
Etant donné un ensemble $E$, une partie $\mathcal F$ de $\mathcal P(E)$ est dite de caractère fini si pour tout $X\in \mathcal P(E)$, $X\in \mathcal F$ si et seulement si tout sous-ensemble fini de $X$ appartient à $\mathcal F$.
Parmi les parties de caractère fini célèbres citons:
-l'ensemble des parties libres d'un espace vectoriel (le lemme en question entraîne l'existence de bases)
-l'ensemble des parties algébriquement libres dans une extension de corps
-l'ensemble des ensembles d'énoncés non contradictoires dans un système logique formel quelconque (les preuves étant des objets syntaxiques, elles ne font en général intervenir qu'un nombre fini d'axiomes)
-l'ensemble des ensembles d'énoncés ayant un modèle (théorème de compacité, lié à l'énoncé précédent par le théorème de complétude).
Mantenant, citons les fameux théorèmes:
TT1) Pour tout ensemble dénombrable $E$ et toute partie non vide $\mathcal F$ de caractère fini, il existe un élément de $\mathcal F$ qui est maximal pour l'inclusion.
TT2) Pour tout ensemble $E$ et toute partie non vide $\mathcal F$ de caractère fini, il existe un élément de $\mathcal F$ qui est maximal pour l'inclusion.
Alors TT2 est équivalent à l'axiome du choix (via le lemme de Zorn comme on peut s'en douter), cependant:
TT1 est un théorème intuitionniste (et ne requiert pas l'axiome du choix).
Comme quoi passer du dénombrable au non dénombrable peut entraîner des différences considérables.
Pour montrer (intuitionnistiquement) TT1, soit $f:\N\to E$ surjective; considérer $X_0:=\emptyset$ et pour tout $n$, $X_{n+1}:=X_n \cup \left \{ z\in E\mid z = f(n+1) \Rightarrow X_n\cup \{z\} \in \mathcal F\right \}$ et $X:=\bigcup_{n\in \N} X_n$.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Dans la série des résultats élémentaires mais superbes, le théorème de Korovkin : $(u_n)$ est une suite d'endomorphismes de $E=C(I,\R)$, où $I=[0,1]$, laissant stable le cône des fonctions positives ; pour que $(u_n(f))$ cvu vers $f$ pour tout $f\in E$, il suffit que cela soit vérifié lorsque $f$ est de la forme $x\mapsto x^k$, où $k=0,1,2$.
Nota bene : le fait que la condition est aussi nécessaire est laissé en exercice :-S -
Salut,
Perso c'est un résultat que l'on apprend rapidement dans le cursus. Une matrice $A \in \mathcal{M}_n(R)$ est inversible si et seulement si son déterminant est inversible. Pour ma part, je trouve que c'est une des choses les plus magiques qui soit. Comment la somme $\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \text{Blabla}$ peut mesurer l'inversibilité d'une matrice ? -
Un livre qui m’a émerveillé est « Three pearls of number theory ». Le chapitre III particulièrement « une solution élémentaire du problème de Waring ».
Une suite $A$ est une base d’ordre $k$ de la suite des entiers naturels si la somme de $k$ suites identiques $A$ contient tous les entiers naturels.
Par exemple, le théorème de Lagrange peut-être énoncé sous la forme: la suite des carrés parfaits $0, 1, 4, 9, 16, 25,…$ est une base d’ordre $4$.
Le problème de Waring: pour tout entier naturel $n$, la suite
\begin{equation}
(A_n): \: \: \: \: \: \: \: 0, 1^n, 2^n,…, k^n, …
\end{equation}
est une base de la suite des entiers naturels dont l’ordre dépend de $n$.
Poincaré s’est intéressé au problème. Hilbert et Vinogradov en ont proposé des démonstrations compliquées utilisant l’analyse complexe.
L’ouvrage présente la démonstration (1942) d’un universitaire russe Y.V.Linnik: beaucoup plus accessible.
Enfin, plus modestement, j’étais très intimidé au lycée par les définitions de limites et de convergence à la Weierstrass avec les $\epsilon$.
Il suffit de les pratiquer un peu pour voir qu’elles sont aussi naturelles que le fait de respirer !
Et donc, quand j’ai compris la différence subtile entre convergence simple et convergence uniforme d’une suite de fonctions: j’ai été émerveillé… par mes capacités mathématiques insoupçonnées !
… -
John John : dans le même genre, il suffit que la convergence uniforme ait lieu pour les fonctions sinus, cosinus, et $1$ pour qu'elle ait lieu pour toute les fonctions continues. Ces résultats (qui sont des corollaires d'un résultat de Freud) permettent de donner des démonstrations détournées du théorème de Bernstein sur ses polynômes ou du théorème de Fejér sur les séries de Fourier. J'ai aussi été très surpris quand j'ai découvert ces théorèmes.
Df : Je ne connaissais pas ce problème de Waring, ça me fait penser au théorème des nombres polygonaux de Fermat. -
Oui Corto, ces résultats font partie de ce que l'on appelle la théorie additive des nombres, qui a souvent pour but de montrer que certains ensembles particuliers forment une base des entiers. Par exemple la conjecture de Goldbach prédit que l'ensemble des nombres premiers est une base d'ordre $3$.
-
Bonsoir, Corto,
lorsque tu parles de $1,\sin, \cos$, c'est à propos de fonctions continues et $2\pi$--périodiques sans doute. En outre, je suis en train de me demander, dans le cas du tore, par quelle fonction (trigonométrique ?) on remplace $(y-x)^2$ dans la démonstration que j'ai citée.
Pendant quasiment toute ma carrière, j'ai alterné les preuves de Weierstrass par Bernstein+Korovkin et par convolution, afin que les 5/2 voient les deux aspects. Au moment de l'introduction des proba en spé, je les ai lâchement abandonnées pour Bernstein+Bienaymé-Tchebychev. -
Les théorèmes de type Korovkin ont même fait émerger un nouveau concept en analyse fonctionnelle : ce que l'on appelle maintenant l'ombre d'un opérateur (shadow of an operator ou Korovkin closure).
Pour des généralisations des théorèmes précédemment cités :
https://pdf.sciencedirectassets.com/272427/1-s2.0-S0021904500X03425/1-s2.0-0021904575900271/main.pdf?X-Amz-Security-Token=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&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Date=20201218T203545Z&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Expires=300&X-Amz-Credential=ASIAQ3PHCVTYYUBOTSOC/20201218/us-east-1/s3/aws4_request&X-Amz-Signature=a407c21df1943a4b9f350407b2f553814a890de1b7b26f6526586e5e680ec0e7&hash=1f40f13a16e109f8216d46916f50b9f0bd8558822675a98647c1deaf92c4f30c&host=68042c943591013ac2b2430a89b270f6af2c76d8dfd086a07176afe7c76c2c61&pii=0021904575900271&tid=spdf-1c416277-1eb1-4dd6-a3cf-4234f3cf1c70&sid=ef59275f5209794ae78b6a8-51d55f581eb1gxrqb&type=client
https://msp.org/pjm/1974/53-1/pjm-v53-n1-p02-s.pdf -
John_john : mon prof de spé nous avait présenté l'une des preuves (Bernstein + BT) et avait demandé à un 5/2 de nous présenter Korovkin; c'était très sympa
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La découverte de Neptune, des antiparticules, l'algorithme RSA... Plus généralement, le fait d'aller de l'abstraction mathématique vers le réel plutôt que du réel vers l'abstraction mathématique. C'est comme si un objet inerte prenait vie.
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Mon théorème préféré de quand j'étais en licence : soit $X \subset \mathbb R^n$ une variété algébrique et $x_0 \in X$. Soit $\varepsilon > 0 $ petit, $\overline{B}_{\varepsilon}(x_0) $ la boule fermée de rayon $\varepsilon$ autour de $x_0$, et $L = X \cap \partial \overline{B}_{\varepsilon}(x_0)$. Finalement, pour un espace topologique $Y$ le cône est l'ensemble $([0,1] \times Y ) / \sim$ où $\sim$ est la relation d'équivalence $0 \times y \sim 0 \times y'$ pour tout $y,y' \in Y$.
Alors il existe un homéomorphisme $$\overline{B}_{\varepsilon}(x_0) \cap X \cong \mathrm{Cone}(L)$$
Pour moi, ce théorème est extrêmement impressionnant car il dit que si on connait juste $X$ au bord, alors on le connait partout topologiquement ! Pour des applications de ce théorème magnifique, je recommande le livre "Singular points of complex hypersurfaces" par Milnor.
Ce résultat me fait un peu penser à la formule de Cauchy en analyse complexe, qui dit que si on connait une fonction holomorphe sur le bord d'un disque, alors on peut retrouver la valeur de $f$ à l'intérieur du disque en calculant $$f(w) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(z) \mathrm{d}z}{z-w}$$ -
À la fac, j'ai été émerveillé par le théorème Tout corps fini est commutatif. Énoncé concis, sans symbole mathématique, et résultat surprenant et non trivial.
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Je dirai que le principe même des fonction génératrices à quelque chose qui m'a émerveillé. De plus, découvrir la diversité des types de nombres qui surviennent dans les valeurs remarquables de la fonction zêta de Riemann m'a aussi emerveillé.
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Saturne a écrit:Tout corps fini est commutatif
Quand on parle de corps (généralement) ils sont commutatifs. Enoncer ce résultat de la sorte peut donc apparaître pour certains comme étant une tautologie (ne pas confondre avec totologie qui est la science qui étudie les histoires de Toto X:-()Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
Avoue que ça fait bizarre d'énoncer ce théorème comme : « tout corps non commutatif fini est commutatif »...
(OK, je sais qu'on pourrait dire « toute algèbre à division finie est commutative. ») -
Math Coss:
Il me semble que cela faisait l'objet d'une critique dans un rapport du concours de l'agrégation (1995 ou 1996, mais je ne l'ai pas sous la main et c'est devenu quasiment introuvable en ligne semble-t-il).Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
FDP a écrit:il me semble que cela faisait l'objet d'une critique dans un rapport du concours de l'agrégation
C'est pourtant la démonstration de ce théorème (tout corps fini est commutatif) que j'avais présentée lors de mon oral d'algèbre à l'agrégation en 1995. Cela n'avait pas dû choquer le jury puisque j'avais obtenu 17/20....FDP a écrit:à ne pas confondre avec totologie qui est la science qui étudie les histoires de Toto
L' usine Carambar a cessé sa grève ????Liberté, égalité, choucroute. -
Je trouve le théorème de Wedderburn. — Tout corps fini est commutatif — est bien formulé
https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Wedderburn#Énoncé_du_théorème
Ajout je précise c'est un problème de langue, les "anglo-saxon" intègrent la commutativité de la multiplication dans la définition d'un corps, mais les "Francis" non
C'est comme les notions d'applications et fonctions pour les français c'est "kifkif"Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
RAMON a écrit:C'est pourtant la démonstration de ce théorème (tout corps fini est commutatif) que j'avais présentée lors de mon oral d'algèbre à l'agrégation en 1995. Cela n'avait pas dû choquer le jury puisque j'avais obtenu 17/20....
Je ne sais pas ce que tu leur as dit à ces braves gens et je doute que tu te souviennes au mot près ce que toi-même tu as dit. Dans un rapport de l'agrégation interne il est dit (je n'ai pas le temps immédiatement de retrouver ce rapport que je dois avoir dans mes archives ou que j'ai lu en ligne, je ne sais plus) en substance, qu'il vaut mieux utiliser la dénomination "anneau à division fini" que "corps fini" dans ce contexte. Dès que j'ai le temps je me mets à la recherche du document en question.
PS:
Je pense que c'est dans l'un des rapports des années 1994,1995,1996 (plus probablement 1995).Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
J’étais et je le suis encore émerveillé parDu point de vue de cc, a écrit:une démonstration n'est qu'une suite de trivialitésLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
-
FDP a écrit:Je ne sais pas ce que tu leur as dit à ces braves gens
Je ne mets pas ta parole en doute. J'avais écrit mon plan au tableau (conformément à l'usage en 1995) et mentionné "Théorème de Wedderburn: Tout corps fini est commutatif".....Cela n'avait soulevé aucun étonnement du jury.
En maîtrise, un de mes profs (mathématicien de renommée mondiale) parlait de "corps gauches".FDP a écrit:Je pense que c'est dans l'un des rapports des années 1994,1995,1996 (plus probablement 1995).
En 1995, il n'y a pas eu de rapport du jury de l'agrégation externe.Liberté, égalité, choucroute. -
Ramon:
Si tu possèdes les rapports de ces années-là 1994, 1996. Tu peux regarder par toi-même.Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
Y a beaucoup de sujets dont je pourrais parler dans ce fil.
1) Le théorème des unités de Dirichlet. C'est toujours qqch qui m'a vraiment fasciné, comme on peut capturer les unités d'un corps de nombre à partir du simplement plongement logarithmique, et plus tard le lien avec des choses plus sophistiqués comme le regulateur etc...
2) Le théorème de Whitney optimal qui donne la dimension minimale d'un espace de plongement pour une variétés compacte en fonction de la décomposition dyadique de la dimension
3) L'idée de Weil d'introduire les fonctions caractéristiques pour capturer l'arithmétique des variétés et le lien incroyable avec la géométrie.
4) La formule analytique du nombre de classes.
Globalement l'interplay entre propriété arithmétiques, géométriques et analytiques est toujours ce qui me fascine en maths. Les liens profonds entre réseaux, corps quadratiques, courbes elliptiques. -
Il me semble (mais je l'ai plus sous les yeux) avoir lu sur un Arnaudiès qu'il n fallait pas dire isomorphisme de corps. Cela vous inspire-t-il?
Cordialement.
Jean-Louis. -
Tout ce que ça m'inspire c'est qu'un morphisme d'anneaux entre deux corps est automatiquement un morphisme de corps, au sens où l'image de l'inverse d'un élément non nul est l'inverse de l'image de cet élément.
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Oui mais pourquoi ne pas dire isomorphisme si c'est bijectif,etc...
Jean-Louis. -
Je pense que la mention porte surtout sur le terme "de corps" que "isomorphisme".
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Maintenant que je là comprends un peu mieux, je trouve magnifique la construction du produit tensoriel (de K-espaces vectoriels).
...
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