Entiers non standard

Jean-Louis

Bonjour à tous, j'ai un problème viscéral avec l'analyse non standard.
Autant je comprends bien et peux utiliser les constructions de Nelson ou Robinson, autant la simple phrase de George Reeb "les entiers naïfs ne remplissent pas N" me pose problème. En fait, c'est quoi un entier naïf ? Est-ce qu'un jour on pourra exhiber un entier non standard ?
Je ne me croyais pas nul en logique et fondements, eh bien la preuve que si ...
Merci pour vos collaborations.
Cordialement.
Jean-Louis.

Maxtimax

Un entier naïf c'est $0,1,2,3,4$ ou $5$ etc. :-D
Enfin c'est un entier de l'univers où tu te tiens quoi.

Thierry Poma

@Max : je ne vois pas ; je n'en discerne que les contours.

@Jean-Louis : voici un texte de Bourbaki que tu prendras soin de lire à partir de "De même que l'art de parler correctement (...)". Lire ensuite ceci.

Jean-Louis

Maxtimax, je me place à un niveau très très bas... Voilà ce que je vois. Il existe un ensemble (naïf) des entiers, que j'appelle N. 1,2, 50, 156987,....en font partie, et dès qu'un nombre en fait partie ce nombre plus 1 en fait partie....Tous ces entiers on me dit qu'ils sont naïfs, ou standard. Alors ma question, peut-on exhiber un entier non standard? Et de plus il me semble intuitif que la construction de N par Péano me donne tous ces entiers standard et pas d'autres....Je n'ai jamais compris vraiment la phrase de G.Reeb " et pourtant ils ne remplissent pas N!.
Cordialement.
Jean-Louis.

Martial

@Jean-Louis : tu ne peux pas exhiber un entier non standard sauf à sortit de l'univers.

Par exemple, tu te donnes un ultrafiltre $\mathscr U$ sur $\omega$, non principal, et tu considères l'ultrapuissance $\omega^{\omega}/ \mathscr U$, munie de la relation $\widetilde{\in}$ définie par $Cl(u) \widetilde{\in} Cl(v)$ ssi $\{n \in \omega : u_n \in v_n \} \in \mathscr U$.
Par le théorème de Los ce truc est élémentairement équivalent à $(\omega, \in)$, donc en particulier il satisfait Peano. Là-dedans les entiers naïfs sont les classes d'équivalence des suites constantes d'entiers. Mais la classe de la suite $(0,1,2,...,n,...)$ est clairement un entier non standard.

Bon, de là à dire que j'ai EXHIBE un entier non standard il y a un pas à franchir...

Thierry Poma

Je pense que ma contribution sur Bourbaki est à côté de la plaque, car il s'agit bien (pour lui) de distinguer les objets du langage formalisé du méta-langage. Rien à voir avec l'analyse standard. Il s'agit de considérer certains objets usuels au sens intuitif, voir purement naïf. Tout cela reste à préciser, sans entrer dans un débat philosophique.

Jean-Louis

Merci Thierry, j'avais déjà lu ce texte.
Martial, en fait mon problème n'est pas vraiment la compréhension de ces histoires de standard ou non , mais l'étonnement de voir de grands professeurs déclarer comme chose évidente "les entiers naïfs ne remplissent pas N". Et de ce que j'ai pu lire G.Reeb se plaisait à déclamer cette phrase mais ne donnait pas plus d'explications. Comme si c'était évident. Et mon tort a été de lire cette phrase avant d'entamer une étude sérieuse de l'analyse non standard.
Amicalement.
Jean-Louis.

Martial

Je pense que tu n'as pas besoin de maîtriser l'ANS (ce qui n'est pas mon cas non plus) pour comprendre qu'il y un problème sérieux dû à l'existence de modèles non standard (par exemple pour ZFC). Mais je ne comprends pas comment un type ayant autant pignon sur rue peut écrire une ânerie pareille, surtout sans justification. A moins de décréter manu militari que nous vivons dans un univers non standard.

Exemple :
Décret du 30 septembre 2020 : "Le modèle de ZFC dans lequel nous vivons a été obtenu comme ultrapuissance d'un autre univers par un ultrafiltre non principal sur $\omega$. Toute personne qui contestera cette décision sera passible d'une amende forfaitaire de 135 euros".

Alors là, oui, d'accord, ce monsieur pourra dire haut et fort, et preuve à l'appui, que les entiers naïfs ne remplissent pas $\mathbb{N}$.

Poirot

@Martial : tu veux dire que le livre de Reeb aurait dû s'appeler "Et pourtant, il se peut qu'ils ne remplissent pas $\mathbb N$ !" ?

Martial

@Poirot : exact !!!