Questions sur la théorie des ensembles

Chapix

Bonjour
J'aurais deux questions à destinations de n'importe quel gentil forumeur qui voudra bien m'éclairer.

1. Existe-t-il en théorie des ensembles un ensemble des lois de compositions, et si oui, quel est sa loi de composition interne ?

2. La question 1. a t-elle un sens mathématique ou est-elle issue d'une mé-compréhension des concepts d'ensemble et de loi de composition ?

Merci beaucoup pour l'aide !

Martial

Bonjour Chapix,
1) Non. Je note $V$ la "collection" de tous les ensembles, qui, c'est bien connu, n'est pas un ensemble (paradoxe de Russell);
A toute loi de composition tu peux associer son domaine, et réciproquement tu peux munir tout ensemble non vide d'une loi de composition, donc il y a une "surjection" de la collection des lois de composition sur $V \setminus \{\emptyset\}$, ce qui prouve qu'il y a "au moins autant" de lois de composition que d'ensembles, donc la collection des lois de composition est une classe propre, c'est-à-dire une classe qui n'est pas un ensemble.
Du coup la deuxième partie de ta question n'a plus lieu d'être.
2) Oui, sinon je n'aurais pas pu y répondre. Ton hésitation tient non pas à une mé-compréhension du sujet, mais simplement à une méconnaissance des axiomes de ZFC. Il est très facile de se renseigner là-dessus.

gerard0

Attention à "... quelle est sa loi de composition interne ? "
Cette question sous-entend qu'un ensemble a une loi de composition interne. Qu'il n'y en a qu'une. Or un ensemble existe, qu'on lui connaisse des LCI ou pas. Et en général, plusieurs LCI sont possibles. Pour {a,b}, la loi * est connue dès qu'on connaît a*a, a*b, b*a et b*b. Comme on a deux valeurs possible à chaque fois (soit a, soit b), ça fait 8 LCI possibles.

Cordialement.

Chapix

Merci beaucoup pour vos réponses, c'est très clair !

christophe c

Tout ensemble de couples est "une loi de composition", si tu ne précises pas plus, mais bon, tu as obtenu réponse.