L'ordinal $\Theta$
Bonjour à tous
J'ai un peu du mal avec la définition de l'ordinal $\Theta$. (Moi, quand on me prive de AC, c'est un peu comme si on me coupait les mains).
Alors voilà. Dans certains papiers, on trouve la définition suivante :
$$\Theta = \sup \{\gamma \mid \exists f: \mathbb{R} \to \gamma,\ f \text{ surjective } \}.
$$ Ça, je comprends : c'est le plus petit ordinal tel que $\mathbb{R}$ ne puisse pas se surjecter sur lui, et en particulier si AC est vrai alors $\Theta = (2^{\aleph_0})^+$.
Ailleurs on trouve la définition alternative suivante :
$$\Theta = \sup \{\gamma \mid \exists f: \mathbb{R} \to \gamma,\ f \text{ surjective },\ f \in L(\mathbb{R}) \}.
$$ Pourquoi pas, mais ça me paraît déjà un peu plus abscons. Et puis pourquoi tout le monde ne prend pas la même définition ?
Enfin, je lis quelque part : " $\Theta$ is the supremum of the ordertypes of prewellorderings in $L(\mathbb{R})"$.
Et là, ça me dépasse complètement. Comment peut-on parler du type d'ordre d'un prewellordering ? Il me semblait que la notion de type d'ordre ne faisait sens que pour les bons ordres...
Merci d'avance.
Martial.
P.S. Pour info, un prewellordering c'est comme un bon ordre mais pas forcément antisymétrique.
J'ai un peu du mal avec la définition de l'ordinal $\Theta$. (Moi, quand on me prive de AC, c'est un peu comme si on me coupait les mains).
Alors voilà. Dans certains papiers, on trouve la définition suivante :
$$\Theta = \sup \{\gamma \mid \exists f: \mathbb{R} \to \gamma,\ f \text{ surjective } \}.
$$ Ça, je comprends : c'est le plus petit ordinal tel que $\mathbb{R}$ ne puisse pas se surjecter sur lui, et en particulier si AC est vrai alors $\Theta = (2^{\aleph_0})^+$.
Ailleurs on trouve la définition alternative suivante :
$$\Theta = \sup \{\gamma \mid \exists f: \mathbb{R} \to \gamma,\ f \text{ surjective },\ f \in L(\mathbb{R}) \}.
$$ Pourquoi pas, mais ça me paraît déjà un peu plus abscons. Et puis pourquoi tout le monde ne prend pas la même définition ?
Enfin, je lis quelque part : " $\Theta$ is the supremum of the ordertypes of prewellorderings in $L(\mathbb{R})"$.
Et là, ça me dépasse complètement. Comment peut-on parler du type d'ordre d'un prewellordering ? Il me semblait que la notion de type d'ordre ne faisait sens que pour les bons ordres...
Merci d'avance.
Martial.
P.S. Pour info, un prewellordering c'est comme un bon ordre mais pas forcément antisymétrique.
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Réponses
Pour la deuxième définition de $\Theta$, je pense que la motivation principale est la suivante : on s'intéresse à $\Theta$ principalement dans des modèles ne vérifiant pas l'axiome du choix $AC$. Il est même très intéressant dans des modèles de l'axiome de détermination $AD$. Le modèle usuel de l'axiome de détermination, si on a assez de grands cardinaux dans l'univers ambiant $V$, est $L(\mathbb R)$. Ainsi, le $\Theta$ de la première définition calculé dans $L(\mathbb R)$ est le $\Theta$ de la deuxième calculé dans $V$.
Auquel cas par ta remarque sur les surjections, c'est pile la même chose que la définition numéro 2
@Max : j'ai recopié bêtement la phrase dans l'article, mais tu as probablement raison. Mais comment, en l'absence de AC, s'assurer de l'existence d'un prewellordering de $\mathbb{R}$ ? (**)
En fait, j'essaye de lire le début de l'article de Vincenzo Dimonte : "Totally non-proper ordinals beyond $L(V_{\lambda +1})$" qui, comme son nom l'indique, s'intéresse à des renforcements de $I_0$.
L'auteur fait le parallèle entre $L(\mathbb{R})$ dans le cas où celui-ci satisfait AD, et $L(V_{\lambda +1})$ dans le cas où il existe un plongement élémentaire non trivial $j$ de ce truc dans lui-même, d'ordinal critique $\kappa < \lambda$ (avec donc $\lambda = j^{\omega}(\kappa)$). Il est donc amené à définir un analogue de $\Theta$ adapté à $V_{\lambda +1})$.
(**) Après réflexion, je pense que l'auteur veut dire : "le supremum des types d'ordres des prewellorderings dont le domaine est une partie de $\mathbb{R}$ et qui sont dans $L(\mathbb{R})$". Ça vous paraît tenir la route ?
Bah $\mathbb R$ a un prewellordering évident : donné par $\mathbb R\to 1$. Après, tu peux en trouver des simples aussi, $\mathbb R\to n$ pour tout $n$, et même $\mathbb R\to \omega + n$ etc. Bref, tu en as tout plein, et là on te demande de prendre le supremum.
(j'utilise le point de vue de Mattar qui te dit qu'un prewellordering n'est rien d'autre qu'une surjection sur un bon ordre, i.e. un ordinal)
Du coup $(\mathbb{R},<)$ hérite de toutes les propriétés de $(\omega_1, \in)$ sauf que $<$ n'est probablement pas antisymétrique. Pas grave, tu quotientes, et blablabla.
Un grand merci à tous deux !
Martial: un prébonordre ne doit pas être confondu avec un bon ordre. Toute surjection de IR sur un ordinal te donne de manière évidente le prébonordre $(x,y)\mapsto [f(x)<f(y)]$
Et réciproquement, si tu quotientes.
Quantà tes deux définitions, elles ne sont pas équivalentes du tout. Mattar te raconte (son paragraphe2) pourquoi la deuxième (qui est tout autre que la première) est parfois celle qui va intéresser les gens.
Enfin, petite remarque HS: certes, AD est "vérifié" par $L[\R]$ chez les ensemblistes conformistes, mais autant dire que ce n'est pas forcément le choix le plus jouissif, car $AD(\R)$, lui, n'a pas de raison même platonicienne d'y être vrai.
De sorte que c'est finalement ta première définition le meilleur choix, charge aux gens qui veulent $AD$, voire, $AD(\R)$ de l'admettre (et renoncer à AC). On n'a actuellement pas à ma connaissance de modèles franchement sexy de $AD(\R)$. Le paradigme de gout voulant "garder à tout prix AC" et disant "on est content, on a quand-même AD dans $L[\R]$" n'est pas si finaud. Selon Boban (conversation de café), d'ailleurs $ZF+CD+V=L[\R] + LebesgueAllmesurable+ Uniformization\vdash AD$, ce qui montre que $L[\R]$ est un terrain très politisé.
Je n'ai pas suffisamment avancé dans la lecture de l'article pour te dire si de tels modèles sont "jouissifs" ou "sexy", mais ça va peut-être venir.
Je poste l'article au cas où ça intéresse quelqu'un (je l'ai téléchargé légalement, donc no souci).
@AD : merci pour la modif, je ne savais pas qu'on pouvait mettre du latex dans le titre
De toutes façons il n'y a pas contradiction puisqu'en l'absence de AC on n'a (à ma connaissance) aucun contrôle sur la cofinalité d'un mesurable.
Mais t'es sûr que la preuve de mesurable $\Rightarrow$ régulier n'utilise pas AC ?
J'ai lu quelque part que seuls l'étaient $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_{\omega +1}$, $\omega_{\omega +2}$; $\omega _{\omega ^{\omega ^{\omega }}+1}$ et $\omega _{\omega ^{\omega ^{\omega }}+2}$. (Pas faciles à écrire, ces trucs).
C'est ici que j'ai vu que les omega n étaient singulier si n supérieur à 2.
C'est ici aussi qu'il est affirmé qu'ils ne sont pas mesurable (vu le niveau du type, pas de pb).
@martial Par contre, pour la singularité, je viens de voir que c'était aussi noté dans le premier papier que tu m'as donné "A brief history of determinacy".
En gros, j'ai une grosse bibliothèque, et un petit cerveau, et en plus je maudis les journées de ne faire que 24 heures !
(Bon, c'est vrai, ça fait longtemps que je le dis, ya pas plus débordé qu'un retraité, lol).
Plus sérieusement, je n'ai pas réussi à voir qui était le "type" dont tu causes. JDH ?
Le problème de la théorie des ensembles est qu'elle est tellement addictive que j'aimerais bien de pas dormir.
C'est le seul domaine des maths où je reste toujours méfiant (AC ou AD etc) et ne suis jamais sûr de moi. Mais ce n'est pas mon domaine et j'y passe trop de temps.
(Même le professeur du cours de logique à Ulm s'est bien pris la tête avec AC vendredi soir...).