Généraliser le théorème de Thalès
dans Géométrie
Bonjour.
Le théorème de Pythagore a été généralisé et qui porte le nom théorème de El - Kaschi
Par analogie peut-on généraliser le théorème de Thalès.
Cordialement.
Djelloul Seba
Le théorème de Pythagore a été généralisé et qui porte le nom théorème de El - Kaschi
Par analogie peut-on généraliser le théorème de Thalès.
Cordialement.
Djelloul Seba
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Réponses
Si on connaît le théorème de la droite des milieux, on peut interpréter le théorème de Thalès comme exprimant la « distributivité » de la multiplication d'un scalaire par un vecteur sur l'addition : on peut donc voir toute l'algèbre linéaire comme une vaste généralisation du théorème de Thalès.
La généralisation de Pythagore que tu évoques est une sorte de Pythagore dans un triangle non nécessairement rectangle.
Une généralisation de Thalès pourrait être une sorte de Thalès sans que la droite soit parallèle à un côté.
Mais est-ce que l’on va trouver quelque chose d’utilisable ? Je n’y ai pas réfléchi...
Comme le dit Math Coss, Thalès et l’algèbre linéaire sont liés dans le sens où l’homothétie est sous-jacente.
Il faut rappeler d’ailleurs qu’il s’agit d’un théorème qui n’a pas besoin de la structure euclidienne.
Une projection centrale conserve le rapport sur deux droites parallèles et quand elles ne le sont pas, elle conserve le birapport.
Quelle est la généralisation ainsi trouvée?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Voici la suite du problème posé :
Voici les deux réponses intégrales (voir ci-dessous)
D'une part il y a l'Axiome de Thalès en Géométrie Affine et d'autre part il y a l'Axiome de Pythagore en Géométrie euclidienne.
Si généralisation il y a, elle ne peut se faire que dans chaque géométrie.
En géométrie euclidienne, la généralisation de l'Axiome de Pythagore $a^2=b^2+c^2$ est la fameuse Loi des cosinus: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos \bf A$
Et en géométrie affine, quelle est la généralisation de l'Axiome de Thalès, je vous le donne en mille, tout simplement le théorème de Ménélaüs!!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Le théorème de Ménélaüs se lit :
$$\dfrac{\overline{RA}}{\overline{RB}}=\Big(\dfrac{\overline{PC}}{\overline{PB}}\Big)\times \dfrac{\overline{QA}}{\overline{QC}}.
$$ Le facteur $\dfrac{\overline{PC}}{\overline{PB}}\not =1\ $ mesure en quelque sorte le défaut de parallélisme.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Bien amicalement
JLB
Voici la suite de la solution :
Si le théorème de Ménélaüs est le théorème de Thalès GENERALISE'
Je peux dire encore : le theoreme de Ceva est aussi le theoreme de Thales GENERALISE'.
Ces deux theoremes ne sont pas analogoes au theoreme d'Al - Kachi.
Cordialement.
D.S
Pouvez-vous simplifier encore le résultat.
Bien Cordialement.
Djelloul Sebaa.