A-t-on $\bigcup_{i\in\Bbb N}A_i\in\cal{T}$ ?

zazou

Bonjour à tous
En cherchant un exercice de probabilités, j'ai été amené à me poser la question suivante.

Soit $E$ un ensemble non vide et $\mathcal{T}\subset\mathcal{P}(E)$. Soit $(A_i)_{i\in\mathbb{N}}$ une famille dénombrable de parties de $E$ telle que
$$\forall n\in\mathbb{N},\qquad \bigcup_{i=0}^nA_i\in\mathcal{T}.
$$ Peut-on conclure que $A=\bigcup_{i=0}^\infty A_i\in\mathcal{T}$ ?

J'ai envie de répondre oui "en passant à la limite", mais je ne sais pas donner de sens précis à cette limite. J'ai pensé me ramener à la définition de $A$, c'est-à-dire
$$\left\{\omega\in E,\ \exists i\in\mathbb{N},\ \omega\in A_i\right\},$$ mais ça ne m'avance pas beaucoup.

raoul.S

Si $\mathcal{T}$ est une tribu oui. Autrement non.

Contre-exemple : tu prends $E=\mathbb{N}$ et $\mathcal{T}\ $ l'ensemble des parties finies de $E$. Alors la suite des singletons $(\{i\})_{i\in\mathbb{N}}$ vérifie $$\forall n\in\mathbb{N},\qquad \bigcup_{i=0}^n\{i\}\in\mathcal{T},

$$ mais $\mathbb{N} = \bigcup_{i=0}^\infty \{i\}\not \in\mathcal{T}$.

zazou

Merci beaucoup pour le contre-exemple.

christophe c

Raoul a eu moralement tort de te donner un contre-exemple car tu avais tout dit:

J'ai envie de répondre oui "en passant à la limite", dis-tu.

[*** Hors sujet. AD]

L'expression "passage à la limite" est de l'argot. Jadis on utilisait "personne" ou "Dieu" (par exemple "Dieu seul sait", pour dire que personne ne sait). Aujourd'hui les expressions fleuries se sont généralisées, quand on n'arrive pas à faire un truc, on le localise "à la limite", par exemple le plus grand entier naturel.