Mon cours de 6e

Dom

Même sans tout ce vocabulaire, je pense qu’on peut l’enseigner.
Mais c’est vrai : ce n’est pas fait partout, et c’est bâclé car de moins en moins dans les « exigibles » des programmes.

Pourtant même en 6e, rappeler les choses suivantes peuvent mettre sur les bons rails :

$3=1+1+1$
$3\times 7=7+7+7$
$4\times L=L+L+L+L$

Avec ça et la commutativité et l’associativité on peut proposer plein d’écritures plus simples d’expressions plus longues (pour ne pas dire « réduire »). Je pense à des périmètres de polygones ou de figures plus complexes.

philou22

Simple restitution historique, quand j’étais en 5e en 1993, je savais développer réduire ordonner alors que j’ai fini à 05/20 de moyenne (je suis devenu bon seulement en fin de 4e par motivation par les sciences physiques et « déclic » par la résolution d’équations). Aujourd’hui je suis content quand un élève arrive à faire cela en fin de 3e.

vorobichek

@Dom et $a^3 \times 2 \times y \times b^6 \times \frac{2}{5}$?

Dom

Non, je ne pense pas à cela.

vorobichek

Si on pose :
$$a^3 \times 2 \times y \times b^6 \times y + 3a^3 b^6 y^2$$
Combien d’élèves sauront trouver la somme? Pourtant c’est trivial.

xax

Ton point de vue est, hélas, très lucide Dom.

Le mieux c'est d'introduire l'inconnue sur des exemple simple au plus tard au CM2, sur des exemples simples est visuels du style la balance avec les objets : "un melon pèse un kilo plus la moitié de son poids, combien pèse-t-il", quand l'élève voit d'un côté le melon complet et de l'autre un demi melon et un poids d'un kilo, il comprend instantanément.
Après il n'y a qu'à poser l'équation d'inconnue P, et vogue le petit bateau. En introduisant progressivement puissances, distributivité simple et double, en reprenant le calcul fractionnaire bien maîtrisé, tout va extrêmement vite.

Je pense que la principale problématique des con-cepteurs de programme est de s'assurer que les élèves n'y arrivent pas.

Dom

Coquille vorobichek ? (À cause du $y$)

En effet très peu.
Là, pour des 6e, je ne parle même pas de la convention $ab$ signifie $a\times b$.

Par exemple : transformer $(2\times a)+4+a+2$.
J’imagine détailler comme suit :
$(a+a)+(1+1+1+1)+a+(1+1)$
Puis associativité et commutativité
Puis $(a+a+a)+(1+1+1+1+1+1)$.
Puis $(3\times a)+6$.

Tout est faisable même en CM2, voire avant.

philou22

Mais Monsieur c’est quoi $a$ ?

Dom

Ha mais attention, le $a$ a été présenté avant, comme dans tout énoncé mathématique qui se respecte.

Par exemple, $a$ est la longueur d’un segment d’une figure, ou bien l’âge du capitaine.
Ça, ça ne pose pas de problème.

On peut aussi remplacer $a$ par $\pi$.
Ou encore dire que $a$ est le nombre $2020,12345678910111213141516171819...$ et ainsi de suite en écrivant les entiers en écriture décimale les uns à côté des autres.

La lettre ne pose aucun problème si elle est présentée et un peu travaillée.

Ils connaissent récitent tous « longueur fois largeur » depuis l’école (sans savoir ce que c’est, en gros comme « quinze cent quinze Marignan »).
Pourquoi seraient-ils si apeurés par « $L$ fois $\ell$ » ?

JLT

Des $L\times \ell$ apparaissent dans des cours de CM1 : https://www.tablettesetpirouettes.com/wp-content/uploads/2018/06/Image1-1.png

vorobichek

@Dom, tu parles de quel coquille ? Je ne vois pas.

Dom

Houlala, c’est fou, j’ai cherché en vain le deuxième $y$ qui est pourtant bien là.
Non, non, c’est moi qui me trompe.

Au temps pour moi.

vorobichek

Hihi, j’ai fait exprès (:P)

zestiria

Je donne des exercices à faire aux 6e, ils les font à toute vitesse, et quand je regarde, en fait, ils n'ont rien justifié.
Certains lèvent la main à chaque fois, j'ai fini, qu'est-ce que je fais ? Du coup, ils s'ennuient, ils font bruit.

vorobichek

@zestiria

Je donne des exercices à faire aux 6e, ils les font à toute vitesse, et quand je regarde, en fait, ils n'ont rien justifié.

Bah... ils ne peuvent pas, ce n'est pas au programme de l'école. Pourrais tu donner un exemple?

Certains lèvent la main à chaque fois, j'ai fini, qu'est-ce que je fais ? Du coup, ils s'ennuient, ils font bruit.

Plus d'exercices ;-)

zestiria

J'ai fait cet exercice :

Manuel 6e a écrit:

Je suis un nombre strictement inférieur à 1000. La somme de mes chiffres est $21$. Mon chiffre des unités est le double de mon chiffre des centaines. Qui suis-je ?

La réponse est $498$. Les élèves écrivent la réponse, me la montrent et pensent qu'ils ont fini.
J'attendais que l'élève explique sa démarche.

zestiria

Je n'ai pas envie de leur donner plus d'exercices. Je prends du temps à les chercher, ils sont tous bâclés.

Superkarl

xax a écrit:

Le mieux c'est d'introduire l'inconnue sur des exemple simple au plus tard au CM2, sur des exemples simples est visuels du style la balance avec les objets : "un melon pèse un kilo plus la moitié de son poids, combien pèse-t-il", quand l'élève voit d'un côté le melon complet et de l'autre un demi melon et un poids d'un kilo, il comprend instantanément.
Après il n'y a qu'à poser l'équation d'inconnue P, et vogue le petit bateau. En introduisant progressivement puissances, distributivité simple et double, en reprenant le calcul fractionnaire bien maîtrisé, tout va extrêmement vite.

Je suis entièrement d'accord avec cela.
On part bêtement du principe que parce que les lettres font peur aux élèves, il est compliqué de faire de la théorie, alors qu'en fait, comme ce ne sont que des variables muettes que l'on peut remplacer par n'importe quel symbole, je suis très optimiste quant à l'idée qu'il suffirait de commencer par utiliser des formes géométriques ou mieux des dessins pour faire disparaître cette peur des lettres. Et même pour autre chose, les ensembles comme collection d'objet, pourquoi uniquement des nombres ou des lettres comme objets ?

zestiria

Comment cela se passe à l'école primaire ? Les élèves doivent bien expliquer par une phrase leur raisonnement.

Superkarl

Ne pars pas aussi défaitiste, je ne peux pas répondre à ta question sur le primaire, mais j'ai l'impression que vorobichek a raison et qu'ils ne justifient pas en primaire, je ne sais même pas s'ils y font autre chose que du calcul et de l'apprentissage de formes géométriques. Les enseignants du primaire (sur lesquels il ne faut pas cracher, ils font le métier le plus dur) sont généralement nuls en maths. L'année vient de commencer, tu ne peux pas déjà en avoir marre de leur donner des exercices, s'ils ne justifient pas, tu peux de toutes façons acter que c'est à toi de leur apprendre à le faire.

De toutes façons, pour ton exercice, il y a du avoir beaucoup de tatonnement. Donc si un élève arrive à t'expliquer le bon raisonnement, tu peux déjà être heureux, mais attendre une rédaction de la solution, c'est presque sûr que ça n'arrivera pas tout seul, d'autant que sans le calcul littéral c'est fastidieux.

vorobichek

Oui, @superkarl. D’après mon expérience, qui fait pas la statistique, il n’y a pas de justification en primaire ni comment présenter la solution à un problème. Et la phrase réponse est rarement exigée. L’omniprésence des cahiers qui remplacent le manuel, n’aide pas. Les enfants écrivent peu sur le cahier, ils font des exercices dans le cahier de maths où les exercices sont déjà pré remplis.

@zestiria, c’est à toi de leur enseigner la rédaction. Et il faut beaucoup de temps. On commence par des choses simples. Avec du temps le langage devient de plus en plus compliqué. Considère que les maths c’est une langue étrangère comme l’anglais. Ils commencent son apprentissage en 6e avec toi.

Cela veut dire qu’il faut expliquer tous les nouveaux mots, leurs donner des phrases exemples. Quand il y a une nouvelle écriture, il faut préciser comment la lire. Par exemple $f(x)$ se lit « f de x ». Ou encore $3+5$ se lit « trois plus cinq » ou « trois augmenté de cinq ». Au début de l’année il faut que tu expliques que signifie les énoncés des exercices.

Concernant ton exercice, il est bien compliqué. Et je suis d’accord avec @superkarl, au mieux ils arriveront à t’expliquer à l’oral avec grands gestes.

P.s. j’ai donné le lien vers le manuel russe. Même si c’est en cyrillique, il est possible de pomper une partie des exercices calculatoires.

Sato

Il fait aussi leur mettre des mauvaises notes quand ils ne justifient pas (après que tu leur as expliqué ce qui est attendu, comme dit ci-dessus). Cest con mais sinon, il y en a un paquet qui vont continuer à écrire ton 498 tout seul, jusqu’en Terminale, nonobstant toutes tes remarques.

PS : tes deux soucis sont archi archi typiques d’aujourd’hui.

zestiria

Il ne s'agit pas d'être défaitiste. Je suis irrité par certains élèves.
Ils lèvent la main à tout bout de champ, pour dire j'ai fini l'exercice. Et quand je regarde, ils ont juste écrit le résultat.

Superkarl

Oui, les 6èmes ne sont pas autonomes, par contre ils sont encore respectueux et motivés.

Dom

Une méthode, zestiria.

- Monsieur, j’ai fini, j’ai trouvé 5.
- Ha j’arrive, je vais regarder.
- Alors, monsieur, c’est juste ?
- Je ne sais pas puisque je ne sais pas d’où vient ce 5.

Il est courant d’ailleurs, qu’un autre trouve 7.
Il faut lui faire exactement la même réponse, le même dialogue.
« Je ne peux pas vous dire si c’est juste, je ne sais pas d’où ça sort. ».

On a aussi des « bah j’ai calculé dans ma tête » a quoi je préconise de répondre « écrivez ce calcul ».

On peut leur dire « vous aurez terminé quand vous aurez convaincu tout le monde ».

Évidemment, il s’agit d’une généralité.
Il faut être tenace. Et un peu sévère même : « attention, si vous dites avoir fini et que je ne sais pas d’où sort la réponse, je vous éclate la tronche ! ».
Bon il faut trouver un truc plus pédagogique que « éclater la tronche » et un peu plus dans les clous de la bienveillance édulcorée.
À la limite, un système infantilisant avec « au bout de trois croix, patati ! ».
Il faut bien que le gars qui dise avoir fini commence à se sentir un peu dérangé s’il n’a pas fait le boulot demandé, que diable !

Sato

Certains n’ont pas compris les attendus. Mais beaucoup le font exprès : le prof demande obstinément d’écrire un truc, ils écrivent autre chose. C’est de la provocation. (Certains diront : ils « testent ».) Parfois, il est vraiment difficile de distinguer la bonne foi de la provoc’.
Une solution simple mais un peu fastidieuse : noter. Zestiria, l’inspection te donne le droit et t’encourage à évaluer rapidement et en classe une partie seulement des élèves (sous l’appellation pompeuse d’évaluation différenciée). Tu les préviens qu’ils peuvent être évalués, que cela fera sans doute remonter leur moyenne s’ils s’appliquent, tu distribues des 4/5 ou 5/5 (avec tout petit coefficient) à ceux qui font le petit boulot demandé, la bonne rédaction, tu n’hésites pas à mettre 0, 1 ou 2 sur 5 à ceux qui font semblant de ne pas comprendre et ils diront très vite « ah-bon-d’accord ». En plus, tu auras plein de notes, ça fait classe au conseil de classe.

PS. Et en plus, tu pourras dire la bouche en cœur à l’INSPE que tu fais de l’évaluation formative. Ils seront au septième ciel !

vorobichek

@zestiria

Ils lèvent la main à tout bout de champ, pour dire j'ai fini l'exercice. Et quand je regarde, ils ont juste écrit le résultat.

Mais tu veux quoi d'eux? Si on reprend ton exemple :

Manuel 6e
Je suis un nombre strictement inférieur à 1000. La somme de mes chiffres est 21. Mon chiffre des unités est le double de mon chiffre des centaines. Qui suis-je ?

Quel réponse t'aurais convenu? Peux tu nous l'écrire?

Si tu veux des conseils plus concrets, tu peux nous montrer des exemples et demander ce qu'on peut attendre des élèves et comme l'enseigner. ;-)

Si tu ne leur dis jamais ce que tu attends d'eux, cela ne marchera pas. Et oui, à certains il faut répéter 100 fois, à d'autres il faut expliquer différemment. Et tu suis aussi les conseils de Dom et Sato. Mais n'oublie pas que cela fait une semaine et demi que les cours ont commencé. Ils n'ont pas encore acquis des bons réflexes et oublié des mauvais. Patience, cela viendra. Mais d'un côté il faut être ferme, de l'autre tout expliquer et leur apprendre à parler maths.

xax

Sato, je dirais même plus : "de l’évaluation formative comme herméneutique de la didactique".

Bon, j'ai eu le plaisir ce soir en allant chercher junior de revoir mon prof de TC, retraité après avoir enseigné en prépa l'essentiel de sa carrière, qui allait chercher son petit fils. Constat inquiet sur l'avenir de l'enseignement des maths et souvenirs d'un délabrement continu des programmes sous le prétexte démagogique "d'ouverture" et qui a retiré d'après lui bien des choses intéressantes.

En 6e c'est normal que toute référence aux ensemble soit proscrite puisque c'est partiellement le programme de CM1/CM2 "d'avant". En 2008 la réforme Sarko-Darcos ayant supprimé l'équivalent d'une année horaire de scolarité et les programmes ayant évolué comme on sait, on en arrive là.

Superkarl

+1 avec vorobichek. L'énoncé ne demande pas de justifier et heureusement parce qu'il s'agit de résoudre un système d'équations, même en toutes lettres c'est vachement long, et ça demande d'être au clair avec son raisonnement pour expliquer autant.

zestiria

Manuel 6e a écrit:

Je suis un nombre strictement inférieur à 1000. La somme de mes chiffres est $21$. Mon chiffre des unités est le double de mon chiffre des centaines. Qui suis-je ?

J'ai fait rédigé ainsi mes élèves :

correction a écrit:

... car le nombre est inférieur à 1000
J'essaie
1) 2
2) 4
3) 6
4) 8

5) 10 n'est pas possible.
Je trouve 498

philou22

Personnellement quand un jeune élève trouve la solution de ce genre de problème, je sais qu’il a obligatoirement eu une activité mathématiques consistante pour y arriver. Je félicite alors spontanément et donc sincèrement l’élève et je sens qu’il perçoit ma joie qu’il ait réussi quelque chose d’assez complexe. Cela lui procure un supplément de satisfaction consécutif à son activité mathématiques. « Enseigner ce n’est pas remplir un contenant mais allumer un feu ».

Dom

Une remarque qui n’est pas une critique :
Là tu as justifié une manière de trouver toutes les réponses.
Tu as sûrement déjà entendu parler de raisonnement « analyse-synthèse ».
En gros on cherche des conditions nécessaires avec un enchaînement de « donc » : l’analyse.
C’est la question « si ça existe alors comment c’est ? ».
Puis on vérifie que les solutions trouvées sont valides : la synthèse.

Piège d’un oral de concours : si on ne vérifie pas que ça marche, alors on n’a pas fini l’exercice.
Comme les résolutions d’équations (enfin, selon les rédactions ça se discute).

Pour moi, avec un tel énoncé (qui me convient très bien), un élève qui trouverait une réponse DEVRAIT me justifier qu’elle vérifie bien les contraintes de l’énoncé.
Par exemple :
-Monsieur, j’ai trouvé 498
-Peux-tu justifier ?
-Oui, c’est un nombre strictement inférieur à 1000, 4+9+8=21, et le chiffre des unités « 8 » est « le double du chiffre » des centaines « 4 ».
Pour moi c’est ça une justification, dans cet exercice.

Enfin : pense à donner des exercices comme ça qui proposent plusieurs solutions et pas qu’une seule. Ça peut faire réfléchir des élèves qui ne les auraient pas trouvées toutes.

zestiria

Une autre élève a considéré que si la somme des chiffres était $21$ donc grande, donc qu'il fallait chercher des grands chiffres et elle a directement testé $4.8$ et a trouvé donc $498$. Je lui ai fait remarquer qu'il y aurait pu avoir d'autres solutions.

zestiria

Je pense à préparer leur interrogation écrite de 55 minutes.
Je pense mettre un exercice sur les nombres de Kaprekar : faire une itération de l'exercice.
Avez-vous des idées pour cette séquence ?

- Nombres entiers.
- Additions.
- Soustractions.

biely

@Dom
Est-ce que ’’justifiez votre réponse’’ est synonyme de ’’vérifiez que votre réponse satisfait l’énoncé’’? Je me pose la question personnellement.

zestiria

"Justifier sa réponse" signifie dans le langage scolaire motiver sa réponse, c'est-à-dire faire plus qu'énoncer sa réponse.

biely

Mais que veut dire ’’motiver sa réponse’’?:-D Expliquer comment on a trouvé la ou les réponses ou seulement donner la vérification qu’une réponse satisfait au problème donné?

philou22

Si tu lances une balle à un chien et qu’il te la ramène, tu lui demande comment il a fait ?

Dom

« Trouver un nombre qui fait patati. Justifier »

Le « justifier » n’est pas pour « trouver » mais pour « qui fait patati ».

Il n’est pas inintéressant de savoir comment trouver. Mais ce n’est pas une justification.
Par contre si on veut démontrer que l’on a toutes les solutions, là, je ne connais pas d’autres méthodes que de travailler avec des conditions nécessaires (analyse).

Un exemple : (Pas pour les 6e pour ne pas être mis en défaut avec les programmes)
« Trouver un nombre inférieur à 10000, non premier, et dont le chiffre des unités dans l’écriture décimale est 3. Justifier. »
Bah moi j’en trouve un sans faire la liste de tous ceux qui marchent. Et je justifie qu’il est non premier.
Si on me demande comment j’ai trouvé, c’est une autre question, c’est tout.

biely

Dom
Le ’’« justifier » n’est pas pour « trouver » mais pour « qui fait patati »" c’est seulement ton interprétation ou une interprétation majoritairement admise? (C’est une vraie question, pas d’ironie là dedans)
Je trouve le terme ’’justifier ’’ parfois peu clair car personnellement je peux le traduire par un ’’démontrer’’ ou un ’’vérifier’’ et c’est encore plus obscur quand le terme est ’’implicite’’.
A l’oral ce n’est pas du tout un problème car on peut préciser ce que l’on veut vraiment mais pour un devoir écrit cela peut poser des soucis.
Je remarque que dans le problème posé ’’trouver un nombre...’’ et que l’élève demande si sa réponse 5 est juste tu as répondu ’’je ne sais pas (si c est juste), d’où sort ce 5 ?” et dans ce cas je comprends (mais je me trompe peut-être) que ta ’’justification’’ est plus le raisonnement qui amène à une solution et non pas une simple vérification.
Bref, je suis un peu perdu avec ces termes justifier, vérifier et je pourrais même ajouter les ’’montrer, prouver, démontrer’’ ou aussi ’’trouver, déterminer ’’. J’ai l’impression parfois que l’on met tout dans le même panier alors qu’il y a des nuances à mon avis même si dans certains cas je serais bien ennuyé pour les expliquer...

Dom

Tu as raison. Ce « justifier » est bancal.

Pour « d’où sort ce 5 ? », je pensais (sans information, mea culpa) à un exercice « j’ai acheté des choses et j’ai donné un billet, combien m’a-t-on rendu ? ».
Dans ce cadre « d’où sort ce 5 ? » demande de proposer le calcul qui donne 5 et pas n’importe lequel. Par exemple on peut inviter l’élèves à n’utiliser que les nombres de la consigne...
Et je te parie tout ce que tu veux : tout le monde fait la même démarche pour obtenir cette réponse. C’est un peu du « déterminisme ». À la limite si on me prouve que $5$ est la monnaie rendu par un autre raisonnement, ça me va.

Pour « trouver un nombre » sous la forme des énigmes comme ci-dessus.
L’exercice n’est pas le même. C’est une équation à résoudre finalement. Non. C’est une équation dont on demande de proposer une solution. On ne demande pas de la résoudre (c’est-à-dire qu’on ne demande pas de déterminer toutes ses solutions).

Comment ferais-tu, toi, pour justifier ta réponse à « trouve une nombre entier non premier, inférieur à 10000, tel que le chiffre des unités dans l’écriture décimale est 3 ? ».
Comment faire pour justifier une réponse à « trouver un multiple de $10$, non nul » ?
Comment faire pour justifier une réponse à « trouver un nombre $y$ tel que $(y^2+7y-19)(y^{29}+14y^5-37)=0$ » ?

Moi, pour ces trois exercices je dis qu’il suffit d’en proposer un et de rédiger que le nombre vérifie les contraintes.
Cela doit apporter tous les points. Pour moi le contre est rempli.

Enfin, je le répète : dérouler le raisonnement « si on a un nombre comme ça, alors ça peut n’être que des nombres qui vérifient ceci » NE SUFFIT PAS.
En effet, il faut vérifier qu’alors les nombres trouvés sont bien compatibles avec les contraintes.

biely

Pour le troisième exercice je ne sais pas trop car il me manque des précisions. Pour le deuxième, oui bof, c’est plus une question de savoir si l’élève connaît une définition. Pour le premier c’est un peu la même chose c’est ’’direct’’ et c’est plus un exercice sur la compréhension d’un énoncé et la connaissance de définitions. Tu prends des exemples où la question ne se pose pas vraiment.
Je vais plutôt reprendre ces exemples (imaginons extraits d’un manuel pour collégiens):

”Trouver un nombre entier strictement inférieur à 1000 tel que la somme des chiffres de ce nombre est 21 et que le chiffre des unités est le double de celui du chiffre des centaines.’’
Ici le ’’Justifier’’ n’est pas écrit donc si l’élève me répond 498 car on a 4+9+8=21 et 8=2×4 je dis OK et j’ose dire que si il m’écrit seulement la réponse 498 j’accepte aussi même si je vais m’en vouloir de ne pas avoir préciser ce que je voulais du style ’’il est demandé une vérification de la réponse donnée’’.

”Trouver un nombre entier strictement inférieur à 1000 tel que la somme des chiffres de ce nombre est 21 et que mon chiffre des unités est le double de celui du chiffre des centaines. Justifier. ’’
Personnellement dans ce cas j’attends plus que la première réponse c’est à dire un raisonnement qui amène à la solution ainsi qu’une vérification mais ce ’’justifier’’ est bancal et si l’élève me répond comme dans le premier cas (avec seulement la vérification) c’est ok mais je vais me sentir frustré et là aussi je vais m’en vouloir de ne pas avoir modifié l’énoncé pour exiger de l’élève qu'il m’explique comment il a trouvé sa réponse.

zeitnot

http://www.les-mathematiques.net/phorum/profile.php?18,46710

Sur ce type de question, expliquer sa démarche n'est pas forcément simple... Par contre, il me semble important qu'un élève justifie en quoi sa réponse vérifie bien les contraintes imposées.

Par analogie, si sur un problème d'échecs, on me demande un échec et mat en quatre coups. Si je trouve, je serais bien en peine de te dire comment j'ai fait. Je ne suis vraiment pas sûr que ce soit intéressant. Par contre, je pourrais expliquer pourquoi ma combinaison aboutit au résultat quelque soit la parade de l'adversaire. C'est ça qui semble essentiel.

Dom

Ok biely,

Tu sais, le fait de se sentir frustré est bien réel dans plein de cas. Mais comme tu le dis, c'est de la faute de celui qui rédige la consigne.
S'il a un truc dans la tête, s'il attend quelque chose, il n'a qu'à le dire.

Que manque-t-il dans le troisième énoncé ? peut-être dire "trouver un nombre réel $y$ tel que...".
Éventuellement on peut ajouter "écrit avec les fonctions usuelles" pour éviter les petits malins...

En fait je ne comprends toujours pas pourquoi tu veux absolument que la justification soit l'explication des pistes de recherche.
Sais-tu que d'une part c'est très difficile de savoir faire ça (peut-être même que des chercheurs ne savent pas du tout pourquoi ils sont partis dans une direction plutôt qu'une autre) et d'autre part, ce n'est pas du tout dans le contrat d'après moi avec une telle consigne.

Mais même dans les niveaux L1-L2 d'ailleurs :
A la consigne : "trouver une fonction continue non dérivable de [0;1] dans [0;1]" avec la mention "toute réponse doit être justifiée"en préambule, qu'attends-tu de la part de l'étudiant ?

Moi j'attends :
1) qu'il me propose une fonction de [0;1] dans [0;1].
2) qu'il démontre qu'elle est continue et qu'elle n'est pas dérivable.

S'il fait cela alors je lui mets tous les points.

Édit :
Si je souhaitais obtenir les méthodes de recherche je changerais « trouver un nombre tel que » en « trouver tous les nombres tels que ». Là, pour justifier qu’on les a tous, un raisonnement analyse-synthèse me semble irrémédiable dans la plupart des cas. En effet pour prouver l’exhaustivité, en trouver quelques-uns ne suffit pas.
Cela dit, je n’aurais sur la copie que les méthodes qui ont abouti à mon avis...

vorobichek

@zestiria,

Manuel 6e
Je suis un nombre strictement inférieur à 1000. La somme de mes chiffres est 21. Mon chiffre des unités est le double de mon chiffre des centaines. Qui suis-je ?

Hum, moi à cet âge et après 3 ans d'entrainement avec la maitresse d'école, j'aurais écris ceci:

Réponse : $498$ parce que $498$ est plus petit que $1000$, $4+9+8=21$ et il y a deux fois plus d'unités que des centaines.

Si personne ne m'aurait dit de justifier, il est fort possible que j'aurais écris juste $498$.

Comme tu peux voir dans les réponses des autres, on peut justifier et motiver de différentes façons. Quand on est en prépa ou en Licence, c'est plutôt standardisé. Mais pas au collège. Et dans les bonnes prépas on enseigne comment il faut rédiger les réponses!

Bref, si tu veux qu'ils te rendent des exercices avec des justifications, il faut l'enseigner chaque année à tes classes. Peut-importe leur niveau!

@Dom,

Mais même dans les niveaux L1-L2 d'ailleurs :
A la consigne : "trouver une fonction continue non dérivable de [0;1] dans [0;1]" avec la mention "toute réponse doit être justifiée"en préambule, qu'attends-tu de la part de l'étudiant ?

Très peu d'étudiants seront touts seuls comment justifier.

Moi j'attends :
1) qu'il me propose une fonction de [0;1] dans [0;1].
2) qu'il démontre qu'elle est continue et qu'elle n'est pas dérivable.

Est-ce que tu leurs dis que tu attends cela?

Dom

vorobichek,

Tout est écrit dans le sujet, non ?

« Toute réponse doit être justifiée. »

« Trouver une fonction patati patata »

En quoi n’est-ce pas clair sur ce que j’attends ?
Allez, je veux bien corriger la consigne :

« Toute réponse doit être justifiée. »

« Proposer une fonction patati patata »

vorobichek

@Dom,
Mon expérience dit que relier tes phrases à

1) qu'il me propose une fonction de [0;1] dans [0;1].
2) qu'il démontre qu'elle est continue et qu'elle n'est pas dérivable.

Est une autre affaire. Les étudiants, surtout les français après un programme catastrophique, ne puissent pas deviner ces deux points. En tant que étudiante, je savais qu'il y a des règles de jeu qu'il faut respecter et qu'il y a des étapes pour justifier. Parce que en tant que l'élève j'ai eu une riche expérience. Quand le cours ne dit pas comment justifier, je vais sur les sites des profs de prépa où tout est expliqué. Mais mes camarades français n'y pensent pas forcement. Nombreux sont sincèrement étonnés qu'il faut faire 1) et 2). Ils n'auraient jamais pensé que cela puisse exister. Et je n'exagère pas.

Dom

Bon, alors crois-tu qu’avec cette ultime suggestion cela irait mieux.

Exercice 1 :
1. Proposer une fonction $f$ de $[0;1]$ dans $[0;1]$ continue et non dérivable.
2. Démontrer que la fonction $f$ proposée dans la question « 1. » est définie sur $[0;1]$ et à valeurs dans $[0;1]$.
3. Démontrer que la fonction $f$ proposée dans la question « 1. » est continue.
4. Démontrer que la fonction $f$ proposée dans la question « 1. » n’est pas dérivable.

Ça me fait penser au proverbe : arrête de ramer, on attaque la falaise.

remarque : on va consommer du papier avec ce genre d’énoncé.

Le plus simple est de sabrer les premières copies quand on n’a pas les justifications et de dire qu’elles sont manquantes.
Il y a un peu d’abus, là, tout de même. Ça devient ridicule.

Ceci n’est pas un troll.
J’arrêterai là quand même sur ce sujet des justifications.

Édit : dans ton expérience, vorobichek, il faudrait retirer toutes les copies dont les élèves n’ont pas lu les consignes. Ça en fait bien 70% au très bas mot. Souvent ils essayent de se remémorer ce qu’il faut faire avec un exercice « référence » qu’ils ont en mémoire, qui ressemble « physiquement » à celui qu’ils sont en train de chercher. Tant les collégiens que les étudiants.

zestiria

Je commence à rédiger ma séquence : Droites et parties de droites.
1) Points, droites sécantes,
2) Droites et parties de droites
3) Notations
4) Premiers programmes de construction

Cela suppose d'apprendre à tracer des figures sur Geogebra, est-ce qu'il faut commencer par les axiomes d'Euclide ?

Dom

C’est délicat.
Je ne le crois pas (axiome d’Euclide).
Il me semble que presque plus personne ne le fait. Mais attendons des confirmations, bien entendu.

a) Je préconise (c’est un avis) de parler de « notion intuitive » car je ne trouve pas très sérieux d’en donner des définitions.
b) Certains profs présentent d’abord les objets « point, droite, demi-droite et segment » dans une séquence. En introduisant les moyens de les représenter et de les nommer. Dans cette première séquence on peut avoir un « paragraphe II » qui introduit le symbole et la notion d’appartenance.
Puis, dans une autre séquence, quelques semaines plus tard, ils définissent « droites sécantes (avec cas particulier perpendiculaires), point d’intersection, droites parallèles ».
Je ne dis pas que c’est bien ou pas bien.
c) Pour GeoGebra, pour certains c’est très très difficile. On croit qu’ils savent utiliser un ordinateur mais ce n’est pas du tout le cas.
Une séance de prise en main est nécessaire. Prévoir une aide pas à pas être aussi des figures « libres ».
On peut aussi ouvrir un manuel et proposer de reproduire à peu près la figure (pas trop complexe).
Avec les mêmes couleurs, les mêmes noms des lettres etc.



Je m’interroge : dans le 1) je vois « droites sécantes » et dans le 2) je vois « droites et parties de droites ». Ça semble incohérent (sans connaître l’intérieur de ces parties).