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Probabilité d'une machine défectueuse

dream260dream260
dans Statistiques
Bonjour, j'ai eu l'énoncé suivant.

On récolte à distance des mesures en utilisant un appareil dédicacé. Lorsqu’un problème survient sur le site un test rapide permet de mettre en évidence dans 80% des cas. Lorsqu’il n’y a pas de problème, le test donne une réponse négative dans 95% des cas. On considère que la probabilité de présence d’un problème sur le site est de 0.10.
Quelle est la probabilité qu’il n’y ait pas de problème sur le site lorsque la réponse au test est négative ?

J'ai mis les infos que je savais déjà. PR le problème et TE le test positif.
P( T | PR) : 0.80 (je l'interprète comme sachant un problème alors on a T)
P( non T | non Pr) = 0.95 (je l'interprète comme sachant pas de problème il y a un test négatif
P(PR)= 0.10, j'en déduis que P(non Pr)= 0.90

Pour la question c'est calculer ceci je suppose P(non PR | non T).

Par contre je ne vois pas du tout comment calculer cela ? Et déjà si ma récolte d'information sous forme mathématique est correcte ?
Je ne vois pas trop comment calculer cela et quel est la bonne réponse ? J'avais fait un arbre de décision mais cela ne m'aide pas trop.
Merci.

Réponses

  • lourrranlourrran
    Avec un arbre, tu peux répondre à cette question.
    En principe, tu sais dessiner l'arbre, et tu sais mettre une valeur sur chaque feuille de l'arbre.
    Tu as toutes les informations pour ça.
    Ensuite , tu sais quel est le calcul qu'il faut faire : P(non Pr | non T)
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • jmajma
    Oui pour les probabilités posées. Il faut de nouveau utiliser la règle de Bayes sous une forme un tout petit peu plus compliquée. Soit, après pris la piste que je viens te donner tu en viens à une conclusion soit on t'aidera (P. est toujours en embuscade sur les probabilités, il ne peut résister :-)).

    Bonne journée.
  • P.P.
    Si tu permets, je remplace $T$ par $A$ et $PR$ par $B$. Tes donnees sont
    $$\Pr(A\cap B)=0.8 \Pr(B),\ \Pr(A^c\cap B^c)=0.95 \Pr(B^c),\ \Pr(B)=0.1.$$ Donc
    $$\Pr(A^c\cap B^c)=0.95\times 0.9,\ \Pr(A\cup B)=1-0.95\times 0.9$$ et puisque
    $$\Pr(A)+\Pr(B)-\Pr(A\cap B)=\Pr(A\cup B)$$ tu es en mesure de calculer $\Pr(A)$ , $\Pr(A^c)$ et $$\Pr(B^c|A^c)=\frac{\Pr(A^c\cap B^c)}{\Pr(A^c)}.$$
  • dream260dream260
    Merci beaucoup pour vos indications je vais le refaire pour voir ce que j’obtiens je mettrai ma réponse ici :)
  • dream260dream260
    J'ai dessiné l'arbre de probabilité. Je ne sais pas si mon arbre est correct ?
    Dans le cas de PR pour avoir non T j'ai fait 1 - 0.80. Dans le cas de non PR pour avoir T j'ai fait 1 - 0.95.
    Pour le calcul de pr(non PR | non T) = (pr(non T |non PR) * pr( non PR)) / Pr(non T) = ((0.90 * 0.95) * 0.90) / Pr(non T)
    Pour Pr(non T) en regardant l'arbre j'ai additionné 0.20 + 0.95 = 1.15 ensuite je fais ((0.90 * 0.95) * 0.90) / 1.15 = 0,669
    Mais j'ai l'impression que je me suis trompé pour le calcul de non T ?107752
  • lourrranlourrran
    Quand tu dessines un arbre, il y a une règle SYSTEMATIQUE.
    Il faut faire les 'multiplications'.
    Par exemple, la branche tout en haut, la valeur intéressante, la seule valeur exploitable, c'est 0.1*0.8, c'est à dire 0.08.

    Tu vas donc avoir 4 valeurs à calculer comme ça (ici, il y a 4 valeurs, parce que l'arbre a 2 niveaux, et 2 options à chaque niveau, parfois il y a plus de valeurs).

    Et la 2ème règle, avec un arbre, c'est de vérifier son calcul. Ici, tu vas calculer 4 nombres, et la somme de ces 4 nombres doit absolument faire 1.
    Si la somme ne fait pas 1, c'est qu'il y a une erreur de calcul quelque part.

    Quand tu auras ces 4 nombres, et quand tu auras vérifié que la somme des 4 nombres donne 1, alors ok, tu pourras dire que ton arbre est dessiné, et tu pourras commencer à répondre aux questions.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • dream260dream260
    Le total fait bien 1 :
    Si je fais 0.10 * 0.80 + 0.10 * 0.20 + 0.90 * 0.05 + 0.90 * 0.95 = 0,08+ 0,02 + 0,045 +0,855 = 1

    L'arbre est correct il me semble.

    Pour le calcul de (non T) d'après l'arbre = 0.10 * 0.20 + 0.90 * 0.95 = 0.02 + 0,855 = 0,875

    Cela veut dire que le calcul suivant est ok vu que je suis les valeurs que j'ai indiqué dans l'arbre?
    Pour le calcul de pr(non PR | non T) = (pr(non T |non PR) * pr( non PR)) / Pr(non T) = ((0.90 * 0.95) * 0.90) / 0,875 = 0.7695 / 0.875 = 0.879

    Est-ce correct?
  • lourrranlourrran
    Dans ton arbre, écrit les 4 valeurs ( 0.08, 0.02 etc ...)

    C'est un résultat acquis. Ecris le noir sur blanc. Ca t'évitera de recalculer les mêmes choses plusieurs fois ensuite.

    En particulier, tu as à un moment ce calcul : (0.90 * 0.95) * 0.90 . Je ne sais pas d'où ça vient, mais ça me paraît faux.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • dream260dream260
    Je ne vois pas pourquoi cela serait faux vu que la formule suivante P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B) du théorème de Bayes,
    Je l'ai appliqué ici : pr(non PR | non T) = (pr(non T |non PR) * pr( non PR)) / Pr(non T) = ((0.90 * 0.95) * 0.90) / 0,875 = 0.7695 / 0.875 = 0.879

    c'est pour que j'ai mis (0.90 * 0.95) * 0.90 car c'est le (pr(non T |non PR) * pr( non PR))
  • lourrranlourrran
    Les formules que tu donnes, c'est valable quand les événements sont indépendants.

    Ici, quand l'arbre est rempli, il n'y a quasiment plus qu'à lire le résultat.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • gerard0gerard0
    Bonjour.

    Quelques critiques sur l'écriture de l'arbre :
    * Il y a un gros mélange entre événements et probabilités. En général on met les événements sur les nœuds et les probas résultantes sur les feuilles, et on indexe les branches par les probabilités (conditionnelles dès le deuxième niveau). Ce qui fait que les $PR$ et $\bar{PR}$ sont mal placés. Ensuite, sur les branches secondaires, devraient figurer les probabilités conditionnelles (dans l'ordre, du haut en bas, 0,8, 0,2, 0,05 et 0,95) et sur les feuilles, on devrait avoir les probabilités produits 0,08, 0,02, 0,045, 0,855. Ce qui permet de répondre à la question

    Mais pour répondre à la question posée : "Quelle est la probabilité qu’il n’y ait pas de problème sur le site lorsque la réponse au test est négative ? ", il n'est nullement besoin de cette grosse machinerie. Ici ce n'est pas très lourd, mais s'il y a 3 niveaux et de 2 à 5 branches à chaque nœud, on perd un temps fou. On prend la formule de Bayes.

    Maintenant il y a un gros problème dans ton "0.90 * 0.95) * 0.90" : Pourquoi multiplies-tu trois probabilités ? Et pourquoi deux fois ce 0,90 qui n'apparaît qu'une fois en hypothèse ?
    On voit que tu veux appliquer pr(non T | non PR) * pr( non PR) et que tu ne l'as pas fait. Et que tu as déjà oublié l'énoncé, qui te donnait justement pr(non T | non PR) (=0,95).
    Je te laisse rectifier.

    Cordialement.
  • gerard0gerard0
    Lourran,

    je n'ai pas compris quelle formule nécessite l'indépendance ?
    Celle de Bayes nécessite l'incompatibilité des événements (et même plus, ils doivent être un système complet), aurais-tu confondu ?

    Cordialement.
  • dream260dream260
    Ah voilà grâce à vos indications j'ai refait sur feuille, voilà ce que cela me donne voir image. J'ai comme réponse 0.977107952
  • gerard0gerard0
    OK.

    Mais en fait, tu fais deux fois la même chose, puisque le calcul de $P(\bar{PR}\cap \bar T)$ se fait avec la proba conditionnelle. Ou l'arbre, qui utilise la formule.
    Le 2) évite de perdre du temps à faire l'arbre.

    Cordialement.
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