Correspondance biunivoque

Raskolnikov

Bonjour,
dans le livre de Halmos, page 43, il est écrit : "Une fonction qui applique toujours des éléments distincts sur des éléments distincts est appelée biunivoque (d'habitude, correspondance biunivoque)."
Plus loin, page 64, l'auteur écrit : "Deux ensembles $E$ et $F$ (non nécessairement sous-ensembles de $\omega$) sont appelés équivalents, s'il existe une correspondance biunivoque entre eux. Il est facile de vérifier que l'équivalence dans ce sens, pour des sous-ensembles d'un certain ensemble particulier $X$, est une relation d'équivalence dans l'ensemble des parties $\mathscr{P}(X)$."
Je ne comprends pas. Il parle d'injection page 43, mais de bijection page 64, non ?

Maxtimax

On dirait bien, oui.

Dom

Cela me fait penser à une traduction trop littérale d’un texte.
D’ailleurs je m’étonne de lire « est appelé » qui signifie « est qualifié de ».

Mais ça semble être ce que tu dis.

Raskolnikov

Merci pour vos réponses. La traduction date de 1967...

Thierry Poma

Je viens d'examiner la version française et la version originale. Pour ce qui est du chapitre sur les fonctions, tu devrais passer à un autre ouvrage, avec une terminologie largement actualisée, non ambigüe (injection ou bijection ?). Il est parfois très difficile de savoir de quoi Sir Halmos parle, parfois c'est très facile (voir page 49).

Question : comment Sir Halmos appelle-t-il une application surjective ?

Thierry Poma

L'on dit que "$f$ est une application de $a$ dans $b$" (ou que "$f$ applique [l'ensemble] $a$ dans [l'ensemble] $b$") lorsque l'énoncé suivant est vérifié\[\begin{gather*}f\in\mathfrak{P}(a\times{}b)\\\text{ et }(\forall\,x)(\forall\,u)(\forall\,v)\left((x,\,u)\in{f}\text{ et }(x,\,v)\in{}f\Rightarrow{}u=v\right)\qquad(\bullet)\\\text{ et }(\forall\,x)\left(x\in{}a\Rightarrow(\exists\,y)\left((x,\,y)\in{}f\right)\right)\end{gather*}\]où $(\bullet)$ traduit le fait que la relation $(x,\,y)\in{}f$ [en les lettres $x$ et $y$] est univoque en la lettre $y$. Si de plus l'énoncé suivant est également satisfait par $f$ [(\forall\,y)(\forall\,u)(\forall\,v)\left((u,\,y)\in{f}\text{ et }(v,\,y)\in{}f\Rightarrow{}u=v\right)\]l'on dit que la relation $(x,\,y)\in{}f$ est univoque en la lettre $x$.

Ainsi l'énoncé suivant, lorsqu'il est vérifié,\[\begin{gather*}f\in\mathfrak{P}(a\times{}b)\\\text{ et }(\forall\,x)(\forall\,u)(\forall\,v)\left((x,\,u)\in{f}\text{ et }(x,\,v)\in{}f\Rightarrow{}u=v\right)\\\text{ et }(\forall\,x)\left(x\in{}a\Rightarrow(\exists\,y)\left((x,\,y)\in{}f\right)\right)\\\text{ et }(\forall\,y)(\forall\,u)(\forall\,v)\left((u,\,y)\in{f}\text{ et }(v,\,y)\in{}f\Rightarrow{}u=v\right)\end{gather*}\]traduit-il que l'application $f:a\to{}b$ est biunivoque (ou simplement injective).

Sources :

• Théorie des ensembles, par Jean-Louis Krivine, page 17.
• Théorie des ensembles, par N. Bourbaki, E I.40

Raskolnikov

Merci beaucoup !